仮説検定の方法

ステップ1（仮説を立てる）: 「表の出る確率は$0.5$である」という主張を帰無仮説とし、「表の出る確率は$0.5$ではない」という主張を対立仮説とします。

$H_0: p=0.5, \qquad H_1: p\neq0.5$

対立仮説が「等しくない」なので、これは両側検定です。

ステップ2（有意水準）: 問題文より、有意水準 $5\%$ とします。

ステップ3（検定統計量の計算）: 標本比率は $R=\dfrac{220}{400}=0.55$、$n=400$、$p_0=0.5$ です。母比率の検定統計量の公式に代入します。

まず、分母の $\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}$ を計算します。

$\sqrt{\frac{0.5\times0.5}{400}} = \sqrt{\frac{0.25}{400}} = \sqrt{0.000625}$

$0.000625 = 0.025^2$（$0.025\times0.025=0.000625$）なので、

$\sqrt{0.000625} = 0.025$

これを使って $Z$ を計算します。

$Z = \frac{0.55-0.5}{0.025} = \frac{0.05}{0.025} = 2$

ステップ4（棄却域と比較する）: 両側検定・有意水準5%の基準値は $1.96$ です。$|Z|=2$ は $1.96$ より大きいので、$Z$は棄却域に入っています。

ステップ5（結論）: 帰無仮説 $H_0$ を棄却します。したがって、このコインは、表と裏が同じ確率で出るコインとは言えない（表が出やすい傾向があると考えられる）と結論できます。

ステップ1（仮説を立てる）: 「設定変更後も平均は変わらず$50.0$ mm である」という主張を帰無仮説とし、「設定変更後は平均が$50.0$ mm より大きくなった」という主張を対立仮説とします。

$H_0: m=50.0, \qquad H_1: m>50.0$

対立仮説が「より大きい」という片方向の主張なので、これは片側検定です。

ステップ2（有意水準）: 問題文より、有意水準 $5\%$ とします。

ステップ3（検定統計量の計算）: $\overline{X}=50.6$、$m_0=50.0$、$\sigma=2.0$、$n=100$ です。母平均の検定統計量の公式に代入します。まず分母を計算します。

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2.0}{\sqrt{100}} = \frac{2.0}{10} = 0.2$

これを使って $Z$ を計算します。

$Z = \frac{50.6-50.0}{0.2} = \frac{0.6}{0.2} = 3$

ステップ4（棄却域と比較する）: 片側検定・有意水準5%の基準値は $1.64$ です。$Z=3$ は $1.64$ より大きいので、$Z$は棄却域に入っています。

ステップ5（結論）: 帰無仮説 $H_0$ を棄却します。したがって、設定変更によってボルトの平均の長さは $50.0$ mm より大きくなったと言えます。

ステップ1（仮説を立てる）: 「肥料を使っても平均は変わらず$50$ cm である」という主張を帰無仮説とし、「肥料を使うと平均が$50$ cm より大きくなる」という主張を対立仮説とします。

$H_0: m=50, \qquad H_1: m>50$

これは片側検定です。

ステップ3（検定統計量の計算）: $\overline{X}=52$、$m_0=50$、$\sigma=6$、$n=36$ です。まず分母を計算します。

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{36}} = \frac{6}{6} = 1$

これを使って $Z$ を計算します。

$Z = \frac{52-50}{1} = 2$

(1) 有意水準5%で検定する場合

片側検定・有意水準5%の基準値は $1.64$ です。$Z=2$ は $1.64$ より大きいので、棄却域に入ります。したがって、有意水準5%では帰無仮説を棄却し、「肥料には成長を促進する効果があると言える」と結論します。

(2) 有意水準1%で検定する場合

片側検定・有意水準1%の基準値は $2.33$ です。$Z=2$ は $2.33$ より小さいので、棄却域に入りません。したがって、有意水準1%では帰無仮説を棄却するに至らず、「肥料に成長を促進する効果があるとまでは言えない」と結論します。

まとめ

同じデータ（$Z=2$）であっても、判断の厳しさを表す有意水準を変えると、結論が変わることがあります。有意水準を小さくする（$5\%\to1\%$）ということは、「よりめったに起こらないことが起きた場合にしか帰無仮説を疑わない」という、より厳しい基準で判断することを意味します。そのため、同じデータでも、有意水準1%のような厳しい基準では、5%のときには棄却できた帰無仮説を棄却できない場合があります。どちらの結論がより「正しい」ということではなく、どのくらい厳しい基準で判断したいかによって、有意水準を使い分ける必要があります。

$R=\dfrac{120}{600}=0.2$、$p_0=\dfrac{1}{6}$、$\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\dfrac{\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}}{600}}=\sqrt{\dfrac{5}{21600}}\approx0.0152$。

$Z=\dfrac{0.2-0.1667}{0.0152}\approx2.19$。$|Z|\approx2.19>1.96$ なので帰無仮説を棄却し、偏りがあると言える。

$H_0:m=37.0$、$H_1:m<37.0$。$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{0.4}{8}=0.05$。$Z=\dfrac{36.9-37.0}{0.05}=-2$。

片側検定の基準値$1.64$と比較して$|Z|=2>1.64$なので棄却域に入り、体温を下げる効果があると言える。

片側検定・有意水準1%の基準値は$2.33$。$|Z|=2<2.33$なので棄却域に入らず、有意水準1%では効果があるとまでは言えない。