三角方程式・不等式の基礎

ステップ1: 値の表から、条件を満たす角を1つ見つける

上の表を見ると、$\theta = 60^\circ$ のとき $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ です。これは条件を満たす角の1つです。

ステップ2: sinθ が「山の形」であることを思い出す

$\sin\theta$ は $0^\circ$ から $90^\circ$ まで増加し、$90^\circ$ から $180^\circ$ まで減少する山の形をしています。$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ は $0$ より大きく $1$ より小さい値なので、山の頂上($\theta = 90^\circ$)より低い高さです。ですから、$\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、一般に2つあります。

ステップ3: もう1つの解を求める

前の単元で学んだ関係式 $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$ を使います。$\theta = 60^\circ$ が解の1つなので、

$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

も解になります。実際に表を見ても $\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となっており、確かに条件を満たしています。

ステップ4: 範囲を確認する

$\theta = 60^\circ$ も $\theta = 120^\circ$ も、どちらも $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲に入っています。

答え

$\theta = 60^\circ,\ 120^\circ$

ステップ1: cosθ について解く

$2\cos\theta + 1 < 0$

両辺から $1$ を引きます。

$2\cos\theta < -1$

両辺を $2$(正の数)で割ります。正の数で割るときは不等号の向きは変わりません。

$\cos\theta < -\frac{1}{2}$

ステップ2: 境界となる角を求める

まず、境界の方程式 $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ を解きます。値の表を見ると、

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$

なので、境界となる角は $\theta = 120^\circ$ です。

ステップ3: cosθ の増減を使って範囲を判断する

$\cos\theta$ は $\theta$ が $0^\circ$ から $180^\circ$ まで増えるにつれて、$1$ から $-1$ まで単調に減少する関数です。つまり、$\theta$ が大きいほど $\cos\theta$ は小さくなります。

境界の角 $120^\circ$ でちょうど $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ なので、$\cos\theta$ がそれより小さい値($<-\dfrac{1}{2}$)になるのは、$\theta$ が $120^\circ$ より大きいときです。

ステップ4: 範囲を確定する

$\theta = 120^\circ$ ちょうどのときは $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ であり、不等号は等号を含まない $<$ なので、$\theta = 120^\circ$ 自身はこの不等式を満たしません。一方、$\theta = 180^\circ$ のときは $\cos 180^\circ = -1 < -\dfrac{1}{2}$ となり満たすので、$\theta = 180^\circ$ は範囲に含みます。

答え

$120^\circ < \theta \leq 180^\circ$

この方程式には $\cos\theta$ と $\sin\theta$ の両方が入っていて、このままでは値の表を見てもすぐには解けません。そこで、三角比の相互関係(以前に学んだ、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ という関係)を使って、$\sin\theta$ だけの式に書きかえます。

ステップ1: cos²θ を sinθ で表す

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を $\cos^2\theta$ について解くと、

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$

ステップ2: 方程式に代入する

もとの方程式 $2\cos^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$ の $\cos^2\theta$ の部分に、ステップ1の式を代入します。

$2(1 - \sin^2\theta) + \sin\theta - 1 = 0$

ステップ3: かっこを展開する

$2 - 2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

ステップ4: 同類項をまとめる

定数項 $2$ と $-1$ をまとめます。

$-2\sin^2\theta + \sin\theta + 1 = 0$

ステップ5: 両辺に $-1$ をかけて、$\sin^2\theta$ の係数を正にする

$2\sin^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$

ステップ6: s = sinθ とおく

見やすくするために $s = \sin\theta$ とおくと、これは $s$ についての2次方程式になります。

$2s^2 - s - 1 = 0$

ステップ7: 左辺を因数分解する

$(2s + 1)(s - 1) = 0$

(確認: $(2s+1)(s-1) = 2s^2 - 2s + s - 1 = 2s^2 - s - 1$ となり、もとの式と一致します。)

ステップ8: sの値を求める

$2s + 1 = 0 \quad \text{または} \quad s - 1 = 0$

より、

$s = -\frac{1}{2} \quad \text{または} \quad s = 1$

ステップ9: sinθ に戻して、範囲をチェックする

$s = \sin\theta$ だったので、

$\sin\theta = -\frac{1}{2} \quad \text{または} \quad \sin\theta = 1$

ここで注意が必要です。$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲では、単位円上の点Pはx軸より上側(またはx軸上)にあるので、点Pのy座標である $\sin\theta$ は必ず $0$ 以上になります。つまりこの範囲では $\sin\theta$ が負の値になることはありません。

したがって、$\sin\theta = -\dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ はこの範囲に存在しないので、この解は除外します。

ステップ10: 残った解を求める

$\sin\theta = 1$ を満たすのは、値の表より $\theta = 90^\circ$ です。

答え

$\theta = 90^\circ$

$90^\circ < \theta \leq 135^\circ$

(考え方:まず境界の方程式 $\tan\theta = -1$ を解くと、値の表より $\theta = 135^\circ$ です。また、$0^\circ \leq \theta < 90^\circ$ では $\tan\theta \geq 0$ なので、この範囲に $\tan\theta \leq -1$ を満たす $\theta$ はありません。$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ の範囲では、$\theta$ が $90^\circ$ に近いほど $\tan\theta$ は絶対値の大きい負の数になり、$\theta$ が大きくなるにつれて $\tan\theta$ は $0$ に向かって増加していきます。境界の $\theta = 135^\circ$ でちょうど $\tan\theta = -1$ なので、それより $90^\circ$ に近い側($\theta \leq 135^\circ$)で $\tan\theta \leq -1$ を満たします。)