複雑な式の因数分解(置換・工夫)

ステップ1:繰り返し出てくるまとまりを見つける

この式には $x-1$ というまとまりが2回出てきています。そこで、このまとまりを新しい文字に置き換えます(置換)。

$A = x-1$

ステップ2:置換して式を書き直す

$x-1$ を $A$ に置き換えると、式は次のようになります。

$A^2+5A+6$

ステップ3:$A$ についての2次式を因数分解する

かけて $6$、足して $5$ になる2つの整数を探すと、$2$ と $3$ が見つかります。

$A^2+5A+6 = (A+2)(A+3)$

ステップ4:$A$ を元の $x-1$ に戻す

$(A+2)(A+3) = (x-1+2)(x-1+3)$

ステップ5:それぞれのかっこの中を計算して整理する

$x-1+2 = x+1$、$x-1+3 = x+2$ なので、

$(x-1+2)(x-1+3) = (x+1)(x+2)$

答え

$(x-1)^2+5(x-1)+6 = (x+1)(x+2)$

(確かめ)右辺を展開すると $(x+1)(x+2) = x^2+3x+2$ となります。左辺も展開すると $(x-1)^2+5(x-1)+6 = x^2-2x+1+5x-5+6 = x^2+3x+2$ となり、一致します。

ステップ1:式の一部を公式の形にまとめる

最初の3つの項 $x^2+2xy+y^2$ に注目すると、これは乗法公式 $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ とちょうど同じ形になっています($a=x$、$b=y$ とみたときの形です)。そこで、この3項をまとめます。

$x^2+2xy+y^2-x-y-6 = (x+y)^2-x-y-6$

ステップ2:残りの項も同じまとまりでくくれることに気づく

残っている $-x-y$ の部分も、$x+y$ というまとまりを使って書き直せます。

$-x-y = -(x+y)$

これを使うと、式全体は次のようになります。

$(x+y)^2-(x+y)-6$

ステップ3:$x+y$ を置換する

$A=x+y$ とおくと、

$A^2-A-6$

ステップ4:$A$ についての2次式を因数分解する

かけて $-6$、足して $-1$ になる2つの整数を探すと、$-3$ と $2$ が見つかります。

$A^2-A-6=(A-3)(A+2)$

ステップ5:$A$ を元の $x+y$ に戻す

$(A-3)(A+2) = (x+y-3)(x+y+2)$

答え

$x^2+2xy+y^2-x-y-6 = (x+y-3)(x+y+2)$

(確かめ)右辺を展開すると、$(x+y-3)(x+y+2) = (x+y)^2+2(x+y)-3(x+y)-6 = (x+y)^2-(x+y)-6 = x^2+2xy+y^2-x-y-6$ となり、もとの式と一致します。

この式には $x$ と $y$ の2種類の文字があり、しかも $(x+y)$ のような分かりやすい共通のまとまりも見当たりません。このようなときは、「1つの文字について整理する」という工夫を使います。ここでは $x$ に着目します。

ステップ1:$x$ について降べきの順に整理する

もとの式 $x^2+xy-2y^2+x+5y-2$ の中から、$x$ を含む項と含まない項に分けます。

• $x^2$ の項:$x^2$
• $x^1$ の項:$xy$ と $x$ → まとめると $(y+1)x$
• $x$ を含まない項:$-2y^2+5y-2$

これらを次数の高い順(降べきの順)に並べると、

$x^2+(y+1)x+(-2y^2+5y-2)$

ステップ2:$x$ を含まない部分を、$y$ の式として因数分解する

$-2y^2+5y-2$ を、まず符号を整理します。

$-2y^2+5y-2 = -(2y^2-5y+2)$

$2y^2-5y+2$ をたすき掛けで因数分解します。かけて $2y^2$、$2$ になり、クロスに掛けて足すと $-5y$ になる組み合わせを探すと、$2y-1$ と $y-2$ の組が見つかります。実際に確かめてみましょう。

$(2y-1)(y-2) = 2y^2-4y-y+2 = 2y^2-5y+2$

たしかに一致します。したがって、

$-2y^2+5y-2 = -(2y-1)(y-2)$

ステップ3:式全体を $x$ についての2次式とみて、たすき掛けで因数分解する

ステップ1・2の結果をまとめると、もとの式は次のように書けます。

$x^2+(y+1)x-(2y-1)(y-2)$

これは、$x^2+px+q$ の形で、$p=y+1$、$q=-(2y-1)(y-2)$ にあたります。たすき掛けでは、この $p,q$ に対して、足すと $p$、かけると $q$ になる2つの数(ここでは $y$ の式)を探しましたね。それと同じように、次の2つの式を試してみます。

$a = 2y-1, \qquad b = -(y-2) = -y+2$

和の確認($a+b$ が $p=y+1$ になるか)

$a+b = (2y-1)+(-y+2) = y+1$

たしかに $p=y+1$ と一致します。

積の確認($ab$ が $q=-(2y-1)(y-2)$ になるか)

$ab = (2y-1)(-y+2) = -(2y-1)(y-2)$

たしかに $q=-(2y-1)(y-2)$ と一致します。

よって、$x^2+(y+1)x-(2y-1)(y-2) = (x+a)(x+b)$ に $a,b$ を代入して、

$(x+2y-1)(x-y+2)$

答え

$x^2+xy-2y^2+x+5y-2 = (x+2y-1)(x-y+2)$

(確かめ)右辺を展開すると、$(x+2y-1)(x-y+2) = x^2-xy+2x+2xy-2y^2+4y-x+y-2 = x^2+xy+x-2y^2+5y-2$ となり、もとの式と一致します。

まず、$y^2$ を除いた3つの項 $x^2+6x+9$ に注目すると、これは $(x+3)^2$ の形(乗法公式 $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ で $a=x,b=3$ の場合)になっています。そこで式を並べ替えて、

$x^2-y^2+6x+9 = (x^2+6x+9)-y^2 = (x+3)^2-y^2$

これは $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ の形(差の平方の公式)なので、$A=x+3$、$B=y$ として因数分解できます。

$(x+3)^2-y^2=(x+3+y)(x+3-y)$

答え:$x^2-y^2+6x+9=(x+y+3)(x-y+3)$