空間図形の計量

対角線AGは、頂点Aと、Aから一番遠い頂点Gを結ぶ線です。これを直接求める公式はないので、直角三角形を2つ取り出して、三平方の定理を2回使います。

ステップ1:底面の対角線ACを求める

底面の長方形ABCDに注目します。長方形の内側の角はすべて90°なので、$\angle ABC=90^\circ$です。よって三角形ABCは、頂点Bを直角とする直角三角形です。$AB=4$, $BC=AD=3$(長方形の向かい合う辺は長さが等しいので、$BC=AD$)を使って、三平方の定理より、

$AC^2 = AB^2+BC^2$

に数値を代入します。

$AC^2 = 4^2+3^2$

$4^2=16$, $3^2=9$なので、

$AC^2 = 16+9 = 25$

$AC>0$なので、

$AC = \sqrt{25} = 5$

ステップ2:対角線AGを求める

次に、辺CGに注目します。辺CGは直方体の垂直な辺の1つなので、底面ABCDに垂直です。底面に垂直ということは、底面の中にある直線ACとも垂直になるので、$CG \perp AC$です。よって、三角形ACGは、頂点Cを直角とする直角三角形です。ここで、$CG=AE=12$(直方体の垂直な辺はすべて長さが等しい)であることに注意して、三平方の定理より、

$AG^2 = AC^2+CG^2$

ステップ1で求めた$AC=5$と、$CG=12$を代入します。

$AG^2 = 5^2+12^2$

$5^2=25$, $12^2=144$なので、

$AG^2 = 25+144 = 169$

$AG>0$なので、

$AG = \sqrt{169} = 13$

よって、対角線AGの長さは$13$です。このように、空間図形の対角線は「底面の対角線」と「垂直な高さ」を2辺とする直角三角形をつくることで、三平方の定理を2回使って求められます。

正四面体は4つの面がすべて合同な正三角形でできている、対称性の高い立体です。要点整理で確認した通り、対称な立体では、頂点から底面に下ろした垂線の足は、底面の図形の中心にきます。底面BCDは正三角形なので、その中心は重心であり、同時に外接円の中心(外心)でもあります。この点を$G$とします。

ステップ1:正弦定理で、外心Gから底面の各頂点までの距離を求める

底面の正三角形BCDに注目します。1辺は$BC=6$で、その対辺(向かい合う角)は$\angle BDC=60^\circ$です(正三角形の角はすべて60°)。三角形BCDの外接円の半径を$R$とすると、正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = 2R$

に数値を代入します。

$\frac{6}{\sin60^\circ} = 2R$

$\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

分数の分母がさらに分数になっているので整理します。$6\div\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\times\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{12}{\sqrt{3}}$なので、

$\frac{12}{\sqrt{3}} = 2R$

両辺を2で割ると、

$R = \frac{6}{\sqrt{3}}$

分母に根号があるので、分母を有理化します(分母と分子に$\sqrt{3}$をかけます)。

$R = \frac{6\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

外接円の中心Gは、外接円の周上にある頂点B, C, Dまで、どこも同じ距離($=$半径$R$)にあります。つまり、

$BG = 2\sqrt{3}$

ステップ2:三平方の定理で、正四面体の高さAGを求める

頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足はGなので、$AG \perp$ 底面BCDです。したがって、$AG$と、底面の中にある線分$BG$は垂直になります。よって、三角形ABGは、頂点Gを直角とする直角三角形です。三平方の定理より、

$AB^2 = AG^2+BG^2$

この式を、$AG^2$について解く形に変形します。両辺から$BG^2$を引くと、

$AG^2 = AB^2-BG^2$

$AB=6$(正四面体の1辺)、$BG=2\sqrt{3}$を代入します。

$AG^2 = 6^2-(2\sqrt{3})^2$

$6^2=36$、$(2\sqrt{3})^2=2^2\times(\sqrt{3})^2=4\times3=12$なので、

$AG^2 = 36-12 = 24$

$AG>0$なので、

$AG = \sqrt{24}$

$\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=\sqrt{4}\times\sqrt{6}=2\sqrt{6}$なので、

$AG = 2\sqrt{6}$

ステップ3:底面積を求める

底面BCDは1辺6の正三角形です。正三角形の面積は、面積公式$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\theta$を、2辺BC, BDとその間の角$\angle DBC=60^\circ$に使うことで求められます。

$S = \frac{1}{2}\times BC\times BD\times\sin(\angle DBC) = \frac{1}{2}\times6\times6\times\sin60^\circ$

$\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$を代入すると、

$S = \frac{1}{2}\times6\times6\times\frac{\sqrt{3}}{2}$

掛け算を順に計算します。$\dfrac{1}{2}\times6\times6=18$なので、

$S = 18\times\frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$

ステップ4:体積公式で体積を求める

角錐の体積公式$V=\dfrac{1}{3}Sh$に、底面積$S=9\sqrt{3}$、高さ$h=AG=2\sqrt{6}$を代入します。

$V = \frac{1}{3}\times9\sqrt{3}\times2\sqrt{6}$

まず$9\times2=18$を計算し、$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=\sqrt{18}$を計算します。

$V = \frac{1}{3}\times18\times\sqrt{18}$

$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}$なので、

$V = \frac{1}{3}\times18\times3\sqrt{2}$

$\dfrac{1}{3}\times18=6$、$6\times3=18$なので、

$V = 18\sqrt{2}$

よって、正四面体の高さは$2\sqrt{6}$、体積は$18\sqrt{2}$です。

ステップ1:OMの長さを求める

Oは正方形ABCDの対角線の交点(中心)、Mは辺BCの中点です。正方形の中心から1つの辺までの距離(中心から辺に垂線を下ろしたときの長さ)は、その辺の長さの半分になります。これは、正方形を4つの合同な直角三角形に分けて考えるとわかる性質です。底面の1辺は4なので、

$OM = \frac{4}{2} = 2$

また、OMは辺BCの中点に向かってまっすぐ引かれた線なので、$OM \perp BC$が成り立っています。

ステップ2:三垂線の定理で$PM\perp BC$を確認する

頂点Pは、底面ABCDの中心Oの真上にあるので、線分POは底面ABCDに垂直です。つまり、$PO\perp$平面ABCDです。

三垂線の定理は、「$PO\perp$平面ABCD」であることを前提として、「平面ABCDの中の直線BC上の点Mについて、$OM\perp BC$であることと、$PM\perp BC$であることが同じ意味になる」という定理でした。いま、ステップ1で$OM\perp BC$が確認できているので、三垂線の定理より、

$PM \perp BC$

も成り立ちます。

ステップ3:$\angle PMO$が二面角であることの説明

面PBCの中では、$PM\perp BC$($M$は辺BC上の点)が成り立っています。底面ABCDの中では、$OM\perp BC$($M$は辺BC上の点)が成り立っています。二面角とは、2つの平面が交わる直線(ここではBC)上の同じ1点から、それぞれの平面の中でその直線に垂直な線を引いたときにできる角のことでした。PMとOMはどちらも同じ点Mから引かれ、どちらもBCに垂直なので、$\angle PMO$は面PBCと底面ABCDがつくる二面角そのものです。

ステップ4:PMの長さを求める

$PO\perp$平面ABCDより、POは底面の中にあるOMとも垂直です($PO\perp OM$)。よって三角形POMは、頂点Oを直角とする直角三角形です。三平方の定理より、

$PM^2 = PO^2+OM^2$

$PO=2$(正四角錐の高さ)、$OM=2$(ステップ1の結果)を代入します。

$PM^2 = 2^2+2^2 = 4+4 = 8$

$PM>0$なので、

$PM = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

ステップ5:$\angle PMO$の大きさを求める

三角形POMは、頂点Oを直角とする直角三角形で、直角をはさむ2辺が$PO=2$、$OM=2$です。$\angle PMO$についての三角比tan(タンジェント、「向かい合う辺の長さ」を「隣り合う辺の長さ」で割った値)を考えると、

$\tan(\angle PMO) = \frac{PO}{OM} = \frac{2}{2} = 1$

$\tan\theta=1$となる角は、$0^\circ<\theta<90^\circ$の範囲では$\theta=45^\circ$だけです(三角比の定義や、三角比の表・単位円で確認できます)。よって、

$\angle PMO = 45^\circ$

よって、面PBCと底面ABCDのつくる角(二面角)は$45^\circ$です。このように、頂点から底面に垂線を下ろすことができる立体では、三垂線の定理を使うことで、二面角を測るための正しい角($\angle PMO$)を見つけることができます。

例題2と同じ手順で計算します。底面の正三角形(1辺4)について、正弦定理より外接円の半径は

$R = \frac{4}{2\sin60^\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

三平方の定理より、正四面体の高さ$h$は

$h^2 = 4^2-\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 16-\frac{48}{9} = 16-\frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3}$

$h = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

底面積は$S=\dfrac{1}{2}\times4\times4\times\sin60^\circ=4\sqrt{3}$なので、体積は

$V = \frac{1}{3}\times4\sqrt{3}\times\frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{16\sqrt{18}}{9} = \frac{16\times3\sqrt{2}}{9} = \frac{48\sqrt{2}}{9} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

よって、体積は$\dfrac{16\sqrt{2}}{3}$です。