数学A / 図形の性質
方べきの定理
要点整理
みなさんはすでに「円と接線」を学び、接線と弦がつくる角の性質(接弦定理)や、円の外部の点から引いた2本の接線の長さが等しいことを学びました。この単元では、その知識を土台にして、円の中や外にある1つの点Pを通る直線と円との関係を表す方べきの定理を学びます。
方べきの定理には、点Pの位置と直線の引き方によって、大きく3つのパターンがあります。1つずつ順番に見ていきましょう。
パターン1:円の内部で2本の弦が交わるとき
円の内部に点Pがあり、Pを通る2本の弦AB、CDが、点Pでちょうど交わっているとします。つまり、Pは線分ABの間にあり、同時に線分CDの間にもある、という状況です。このとき、次の式が成り立ちます。
$PA \times PB = PC \times PD$
左辺の$PA \times PB$は「点Pから弦ABの両端までの距離の積」、右辺の$PC \times PD$は「点Pから弦CDの両端までの距離の積」です。この2つの積が、必ず等しくなる、というのがこの式の意味です。
なぜこれが成り立つのか、三角形の相似を使って確認してみましょう。三角形PACと三角形PDBの2つに注目します。
ステップ1:$\angle APC$と$\angle DPB$は、直線ABと直線CDが点Pで交わってできる対頂角(向かい合った角)なので、等しくなります。
$\angle APC = \angle DPB$
ステップ2:Pは線分ABの間にあるので、点Aから見ると、Pの方向とBの方向は同じ向きです。そのため、$\angle PAC$は$\angle BAC$と同じ角を指しています。同じように、Pは線分CDの間にあるので、点Dから見ると、Pの方向とCの方向は同じ向きです。そのため、$\angle PDB$は$\angle CDB$と同じ角を指しています。$\angle BAC$と$\angle CDB$は、どちらも弧BCに対する円周角(すでに学習済みの円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は等しい)なので、
$\angle PAC = \angle PDB$
ステップ3:ステップ1、ステップ2より、2組の角がそれぞれ等しいので、
$\triangle PAC \backsim \triangle PDB$
ステップ4:相似な図形では、対応する辺の長さの比がすべて等しくなります。対応関係は$P \leftrightarrow P$、$A \leftrightarrow D$、$C \leftrightarrow B$なので、
$PA : PD = PC : PB$
ステップ5:比例式では「外側の項の積 = 内側の項の積」が成り立つので、
$PA \times PB = PD \times PC$
右辺は掛ける順序を入れかえても値は同じなので、$PA \times PB = PC \times PD$が示されました。
パターン2:円の外部から2本の割線を引くとき
今度は、点Pが円の外部にある場合を考えます。点Pを通る2本の直線が、それぞれ円と2点で交わっているとします。1本目の直線は円と点A、点B(ただし$PA $PA \times PB = PC \times PD$ 証明の考え方はパターン1ととてもよく似ています。三角形PACと三角形PDBに注目すると、 2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle PAC \backsim \triangle PDB$となり、パターン1とまったく同じ計算によって、 $PA \times PB = PC \times PD$ が成り立ちます。 最後は、点Pが円の外部にあり、点Pから円に接線を1本、割線を1本引く場合です。接線の接点をTとし、割線が円と点A、点B(ただし$PA $PT^2 = PA \times PB$ 左辺の$PT^2$は「接線の長さの2乗」です。右辺は、これまでと同じ「点Pから割線が円と交わる2点までの距離の積」です。この式も、三角形の相似で確認できます。三角形PTAと三角形PBTに注目します。 ステップ1:$\angle P$(接線PTと割線PABがつくる角)は、三角形PTAにとっても三角形PBTにとっても共通の角です。 $\angle TPA = \angle BPT$ ステップ2:ここで「円と接線」ですでに学んだ接弦定理を使います。接弦定理より、接線PTと弦TAがつくる角$\angle PTA$は、その角と反対側にある弧TAに対する円周角、つまり点Bから弦TAを見た角$\angle TBA$と等しくなります。さらに、Pは線分BAの延長線上(Aの外側)にあるので、点Bから見ると、Aの方向とPの方向は同じ向きです。そのため、$\angle TBA$は$\angle TBP$と同じ角を指しています。したがって、 $\angle PTA = \angle PBT$ ステップ3:ステップ1、ステップ2より、2組の角がそれぞれ等しいので、 $\triangle PTA \backsim \triangle PBT$ ステップ4:対応関係は$P \leftrightarrow P$、$T \leftrightarrow B$、$A \leftrightarrow T$なので、対応する辺の比より、 $PT : PB = PA : PT$ ステップ5:比例式の性質「外側の項の積 = 内側の項の積」より、 $PT \times PT = PB \times PA$ 左辺は$PT^2$と書けるので、$PT^2 = PA \times PB$が示されました。 このパターン3は、パターン1・パターン2で登場した「2つの交点A、B」が、接線では1点Tに重なってしまった特別な場合、と考えることもできます。$PA \times PB$の代わりに、同じ点を2回かけた形である$PT \times PT = PT^2$になっている、とイメージすると覚えやすくなります。 どの場合も、「点Pを通る直線と円が交わる2点までの距離の積(接線のときはその長さの2乗)は、直線の引き方によらず一定である」という同じ考え方に基づいています。 方べきの定理は、逆向きにも使うことができます。線分ABと線分CDが点Pで交わっていて、 $PA \times PB = PC \times PD$ が成り立つならば、4点A、B、C、Dは同一円周上にある(=1つの円周上に乗っている)ことが証明できます。これを方べきの定理の逆といいます。「4点が同じ円周上にあることを示しなさい」という問題でよく使われる考え方なので、あわせて覚えておきましょう。 問題
円の内部にある点Pで、2本の弦ABとCDが交わっている。$PA=3$, $PB=8$, $PC=4$のとき、線分PDの長さを求めなさい。 点Pは円の内部にあり、2本の弦が交わっているので、パターン1の方べきの定理 $PA \times PB = PC \times PD$ がそのまま使えます。 ステップ1:与えられた値$PA=3$, $PB=8$, $PC=4$を代入します。 $3 \times 8 = 4 \times PD$ ステップ2:左辺を計算します。$3\times8=24$なので、 $24 = 4 \times PD$ ステップ3:両辺を4で割ります。 $PD = \frac{24}{4} = 6$ よって、$PD=6$です。 問題
点Pから円に接線を引き、接点をTとする。$PT=6$である。また、点Pを通る直線が円と2点A、B(ただし$PA 接線と割線が点Pから引かれているので、パターン3の方べきの定理 $PT^2 = PA \times PB$ を使います。 ステップ1:与えられた値$PT=6$, $PA=4$を代入します。 $6^2 = 4 \times PB$ ステップ2:左辺を計算します。$6^2=36$なので、 $36 = 4 \times PB$ ステップ3:両辺を4で割ります。 $PB = \frac{36}{4} = 9$ これで$PB=9$と求まりました。 ステップ4:線分ABの長さを求めます。点Aは線分PBの間にある点なので、線分PBの長さは、線分PAの長さと線分ABの長さを足したものになっています。つまり$PB=PA+AB$という関係があるので、 $AB = PB - PA$ ステップ5:$PB=9$, $PA=4$を代入すると、 $AB = 9-4=5$ よって、$PB=9$、$AB=5$です。線分PBを「PからAまでの距離」と勘違いしてしまう間違いが多いので、Aが線分PBの途中の点であることを、しっかり図でイメージしながら解くようにしましょう。 問題
線分ABと線分CDが点Pで交わっており、$PA=6$, $PB=4$, $PC=3$, $PD=8$であるとする。4点A、B、C、Dは同一円周上にあるといえるか、理由をつけて答えなさい。 この問題は、方べきの定理そのものではなく、要点整理で確認した「方べきの定理の逆」を使う問題です。方べきの定理の逆は、次のような内容でした。 線分ABと線分CDが点Pで交わっていて、$PA \times PB = PC \times PD$が成り立つならば、4点A、B、C、Dは同一円周上にある。 そこで、まず$PA \times PB$と$PC \times PD$の値をそれぞれ計算し、2つが等しいかどうかを確かめます。 ステップ1:$PA \times PB$を計算します。$PA=6$, $PB=4$なので、 $PA \times PB = 6 \times 4 = 24$ ステップ2:$PC \times PD$を計算します。$PC=3$, $PD=8$なので、 $PC \times PD = 3 \times 8 = 24$ ステップ3:ステップ1、ステップ2の結果を比べると、 $PA \times PB = 24 = PC \times PD$ となり、2つの積は等しいことがわかりました。 ステップ4:線分ABと線分CDは点Pで交わっており、かつ$PA \times PB = PC \times PD$が成り立つことが確認できたので、方べきの定理の逆より、4点A、B、C、Dは同一円周上にあるといえます。 問題
点Pの外部から円に2本の割線を引く。1本目の直線は円と2点A、B(ただし$PA まず、Aが線分PBの間にある点であることから、$PB=PA+AB=4+5=9$です。同じように、Cが線分PDの間にある点であることから、$PD=PC+CD=3+x$です。 方べきの定理$PA \times PB = PC \times PD$に代入すると、 $4 \times 9 = 3 \times (3+x)$ 左辺を計算すると$36$、右辺を展開すると$9+3x$なので、 $36 = 9+3x$ 両辺から9を引くと$27=3x$となり、両辺を3で割ると、 $x=9$ よって、$x=9$です。
パターン3:接線と割線を引くとき
3つのパターンのまとめ
参考:方べきの定理の逆
例題
例題1(基本)
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例題2(標準)
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例題3(応用)
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練習問題
答え