確率変数の期待値・分散 | 高校数学まるごと解説

要点整理

期待値とは

前の単元で学んだ確率分布は、確率変数$X$がとる値とその確率をまとめたものでした。この確率分布全体を、1つの代表的な数値でまとめて表したものが期待値（きたいち）です。期待値は、確率変数の「平均的にどれくらいの値になるか」を表す数値で、次の式で計算します。

$E(X) = x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+\cdots+x_nP(X=x_n)$

これは、$\Sigma$の記号を使うと $E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)$ とも書けます。それぞれの値 $x_i$ に、その値が起こる確率 $P(X=x_i)$ を「重み」としてかけてから、すべて足し合わせるという計算です。

たとえば、サイコロを1回投げて出る目を$X$とすると、$X$の期待値は、

$E(X) = 1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{6}+4\times\frac{1}{6}+5\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{6}$

$= \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

サイコロの目そのものに $3.5$ という目はありませんが、「たくさん投げたときの平均的な出目」が $3.5$ であるという意味です。

分散と標準偏差

期待値は「平均的な値」を表しますが、実際の値が期待値からどれくらいバラついているかは分かりません。この「バラつきの大きさ」を表す量が分散です。分散は、期待値 $m=E(X)$ からのズレ（偏差）$X-m$ を2乗して、その期待値をとったものと定義されます。

$V(X) = E\bigl((X-m)^2\bigr)$

しかし、この定義のまま計算すると手間がかかることが多いため、実際の計算では次の変形した公式をよく使います。

$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$

（「2乗の期待値から、期待値の2乗を引く」という覚え方をするとよいでしょう。）$E(X^2)$ は、確率変数の値をそれぞれ2乗してから期待値の計算をしたもので、

$E(X^2) = x_1^2P(X=x_1)+x_2^2P(X=x_2)+\cdots+x_n^2P(X=x_n)$

で計算します。

分散は、値を2乗して計算しているため、単位も2乗されてしまっています（たとえば元の値が「円」なら、分散は「円$^2$」のような単位になってしまいます）。そこで、分散の正の平方根をとることで、元の値と同じ単位に戻したものを標準偏差と呼びます。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

1次式で変換したときの期待値と分散

確率変数 $X$ を使って新しい確率変数 $Y=aX+b$（$a,b$は定数）を作ったとき、$Y$ の期待値と分散は、$X$の期待値・分散を使って簡単に計算できます。

$E(aX+b) = aE(X)+b$

これは、期待値の定義式に $ax_i+b$ を代入して、$\Sigma$の性質（和を分ける、定数倍を前に出す）を使うことで確かめられます。

$E(aX+b) = \sum (ax_i+b)P(X=x_i) = a\sum x_i P(X=x_i) + b\sum P(X=x_i) = aE(X)+b\times1$

（最後で $\sum P(X=x_i)=1$ という確率分布の性質を使いました。）

分散については、次の公式が成り立ちます。

$V(aX+b) = a^2 V(X)$

これは、分散の定義 $V(Y)=E\bigl((Y-E(Y))^2\bigr)$ に $Y=aX+b$、$E(Y)=aE(X)+b$ を代入すると、

$Y-E(Y) = (aX+b)-(aE(X)+b) = a\bigl(X-E(X)\bigr)$

となり、$b$が消えて $a$ でくくれる形になることから分かります。これを2乗すると $a^2\bigl(X-E(X)\bigr)^2$ となり、期待値をとると $a^2$ が前に出せるので $V(aX+b)=a^2V(X)$ となります。

標準偏差については、$\sigma(aX+b)=\sqrt{V(aX+b)}=\sqrt{a^2V(X)}=|a|\sqrt{V(X)}$ なので、

$\sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)$

（$a$が負の数でも、標準偏差は必ず$0$以上になるように絶対値をつけます。）

例題

例題1（基本）

問題

次の確率分布に従う確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を求めなさい。

$X$	$0$	$1$	$2$	計
$P$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$	$1$

解答・解説を見る

期待値の公式 $E(X)=\displaystyle\sum x_i P(X=x_i)$ を使います。表の値をそのまま代入します。

$E(X) = 0\times\frac{1}{4} + 1\times\frac{1}{2} + 2\times\frac{1}{4}$

それぞれの項を計算します。

$0\times\frac{1}{4}=0, \quad 1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \quad 2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

これらを足し合わせます。

$E(X) = 0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1$

したがって、$E(X)=1$ です。

例題2（標準）

問題

例題1と同じ確率分布に従う確率変数 $X$ について、分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めなさい。

解答・解説を見る

分散の公式 $V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$ を使います。例題1で $E(X)=1$ が求まっているので、まず $E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = 0^2\times\frac{1}{4} + 1^2\times\frac{1}{2} + 2^2\times\frac{1}{4}$

それぞれの項を計算します。

$0^2\times\frac{1}{4}=0, \quad 1^2\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \quad 2^2\times\frac{1}{4}=4\times\frac{1}{4}=1$

これらを足し合わせます。

$E(X^2) = 0+\frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}$

分散の公式に代入します。

$V(X) = E(X^2)-\{E(X)\}^2 = \frac{3}{2} - 1^2 = \frac{3}{2}-1 = \frac{1}{2}$

したがって、$V(X)=\dfrac{1}{2}$ です。標準偏差は分散の正の平方根なので、

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

（分母に根号が残らないように、分子・分母に $\sqrt{2}$ をかけて有理化しました。）

したがって、$\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ です。

例題3（応用）

問題

あるキャンペーンの当選者が得られる特典ポイント $X$ の確率分布が、次の表で与えられています。

$X$（ポイント）	$0$	$1000$	$5000$	計
$P$	$0.5$	$0.3$	$0.2$	$1$

このポイントをもとに、実際に受け取れる商品券の金額は $Y=3X+2000$（円）という式で計算されます。$Y$ の期待値、分散、標準偏差を求めなさい。

解答・解説を見る

まず、$X$の期待値 $E(X)$ を求めます。

$E(X) = 0\times0.5+1000\times0.3+5000\times0.2$

それぞれの項を計算します。

$0\times0.5=0, \quad 1000\times0.3=300, \quad 5000\times0.2=1000$

これらを足します。

$E(X) = 0+300+1000=1300$

次に、$E(X^2)$ を求めます。

$E(X^2) = 0^2\times0.5+1000^2\times0.3+5000^2\times0.2$

それぞれの項を計算します。$1000^2=1000000$、$5000^2=25000000$ です。

$0\times0.5=0, \quad 1000000\times0.3=300000, \quad 25000000\times0.2=5000000$

これらを足します。

$E(X^2) = 0+300000+5000000 = 5300000$

分散の公式に代入します。

$V(X) = E(X^2)-\{E(X)\}^2 = 5300000 - 1300^2$

$1300^2$ を計算します。$1300^2 = 13^2\times100^2 = 169\times10000=1690000$ です。

$V(X) = 5300000-1690000 = 3610000$

したがって、$V(X)=3610000$ です。ここまでで $X$ の期待値と分散が求まりました。

次に、$Y=3X+2000$ の期待値を、1次変換の公式 $E(aX+b)=aE(X)+b$（$a=3$、$b=2000$）を使って求めます。

$E(Y) = 3\times E(X)+2000 = 3\times1300+2000$

$E(Y) = 3900+2000 = 5900$

次に、$Y$ の分散を、1次変換の公式 $V(aX+b)=a^2V(X)$（$a=3$）を使って求めます。

$V(Y) = 3^2\times V(X) = 9\times3610000$

$V(Y) = 32490000$

最後に、$Y$ の標準偏差を、公式 $\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)$、または $\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}$ を使って求めます。ここでは $\sqrt{V(Y)}$ から直接求めてみましょう。

$\sigma(Y) = \sqrt{32490000}$

$32490000 = 3249\times10000$ で、$10000$ の平方根は $100$ です。$3249$ については、$57^2=3249$（$57\times57$ を計算すると、$57\times57=57\times50+57\times7=2850+399=3249$）なので、$\sqrt{3249}=57$ です。

$\sigma(Y) = 57\times100 = 5700$

したがって、$E(Y)=5900$、$V(Y)=32490000$、$\sigma(Y)=5700$ です。

練習問題

問題1

次の確率分布に従う確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を求めなさい。

$X$	$1$	$2$	$3$	計
$P$	$0.2$	$0.5$	$0.3$	$1$

答え

$E(X)=1\times0.2+2\times0.5+3\times0.3=0.2+1.0+0.9=2.1$

問題2

問題1と同じ確率分布に従う $X$ について、分散 $V(X)$ を求めなさい。

答え

$E(X^2)=1^2\times0.2+2^2\times0.5+3^2\times0.3=0.2+2.0+2.7=4.9$

$V(X)=4.9-2.1^2=4.9-4.41=0.49$

問題3

確率変数 $X$ が $E(X)=4$、$V(X)=3$ であるとき、$Y=2X-1$ の期待値と分散を求めなさい。

答え

$E(Y)=2\times4-1=7$

$V(Y)=2^2\times3=12$