数学C

平面上の曲線と複素数平面

円以外のさまざまな曲線と、複素数を平面上の点として扱う複素数平面を学びます。数学IIIの微分積分にもつながります。

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この単元のトピック一覧

• 放物線 放物線を「焦点と準線から等距離にある点の集まり」として定義し直し、標準形の方程式 $y^2=4px$ を導いて、焦点・準線を求める問題を学びます。
• 楕円 楕円を「2つの焦点までの距離の和が一定である点の集まり」として定義し、標準形 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ を導いて、焦点や頂点を求める問題を学びます。
• 双曲線 双曲線を「2つの焦点までの距離の差が一定である点の集まり」として定義し、標準形 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ と漸近線を学びます。
• 2次曲線と直線の関係 放物線・楕円・双曲線(まとめて2次曲線と呼びます)と直線が交わる点の個数を判別式で調べる方法と、接線の公式を学びます。
• 媒介変数表示 $x$、$y$ をそれぞれ別の文字(媒介変数)の式で表す「媒介変数表示」の考え方を学び、円・楕円・直線の表し方や、媒介変数の消去の方法を身につけます。
• 極座標と極方程式 点の位置を「原点からの距離」と「角度」の組で表す極座標の考え方と、直交座標との変換、円や直線・2次曲線を表す極方程式を学びます。
• 複素数平面の基本 複素数 $a+bi$ を座標平面上の点として表す「複素数平面」の考え方と、絶対値・共役複素数の図形的な意味、2点間の距離の求め方を学びます。
• 複素数の極形式とド・モアブルの定理 複素数を「大きさ」と「角度」で表す極形式を学び、掛け算・割り算の図形的な意味と、累乗の計算を一気に行うド・モアブルの定理を学びます。
• 複素数平面と図形 複素数平面における内分点の公式、点の回転を表す掛け算、そして共線条件・垂直条件を学び、複素数を使って図形の性質を調べる方法を学びます。