章末問題

左辺、右辺をそれぞれ展開します。

$2(\vec{x}-\vec{a}) = 2\vec{x} - 2\vec{a}$

$3(\vec{x}+\vec{b}) = 3\vec{x} + 3\vec{b}$

もとの式に代入すると、

$2\vec{x} - 2\vec{a} = 3\vec{x} + 3\vec{b}$

$\vec{x}$ の項を右辺に、それ以外を左辺に集めます。左辺の $2\vec{x}$ を右辺に移項すると、右辺には $3\vec{x}-2\vec{x}=\vec{x}$ が残ります。同時に、右辺の $3\vec{b}$ を左辺に移項します。

$-2\vec{a} - 3\vec{b} = 3\vec{x} - 2\vec{x}$

$-2\vec{a} - 3\vec{b} = \vec{x}$

答え: $\vec{x} = -2\vec{a} - 3\vec{b}$

まず、$\vec{x}$ について方程式を解きます。$3\vec{a}-2\vec{x}=\vec{b}$ の両辺に $2\vec{x}$ を加え、$\vec{b}$ を左辺に移項すると、

$3\vec{a} - \vec{b} = 2\vec{x}$

両辺を $2$ で割ります。

$\vec{x} = \frac{3\vec{a}-\vec{b}}{2}$

ここに成分を代入します。まず $3\vec{a}$ を計算します。

$3\vec{a} = 3(2,-1) = (6, -3)$

$3\vec{a} - \vec{b}$ を計算します。

$3\vec{a} - \vec{b} = (6,-3) - (4,3) = (6-4,\ -3-3) = (2, -6)$

これを $2$ で割ります。

$\vec{x} = \frac{(2,-6)}{2} = (1, -3)$

$|\vec{x}|$ を求めます。

$|\vec{x}| = \sqrt{1^2+(-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$

答え: $\vec{x} = (1, -3)$、$|\vec{x}| = \sqrt{10}$

垂直条件 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ を使います。

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 3x + 4\times(-3) = 3x - 12$

$3x - 12 = 0$

$x = 4$

したがって $\vec{b} = (4, -3)$ です。$\vec{a}+\vec{b}$ を計算します。

$\vec{a}+\vec{b} = (3,4)+(4,-3) = (7, 1)$

大きさを求めます。

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{7^2+1^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$

$\sqrt{50}$ を簡単にします。$50=25\times2$ なので、

$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

答え: $x=4$、$|\vec{a}+\vec{b}| = 5\sqrt{2}$

内分点の公式を使って、$\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ の位置ベクトルを求めます。$\mathrm{P}$ は $\mathrm{AB}$ を $1:2$ に内分するので($m=1$、$n=2$)、

$\vec{p} = \frac{2\vec{a}+1\cdot\vec{b}}{1+2} = \frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}$

$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{AC}$ を $1:2$ に内分するので、

$\vec{q} = \frac{2\vec{a}+\vec{c}}{3}$

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \vec{q}-\vec{p}$ を計算します。

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{2\vec{a}+\vec{c}}{3} - \frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3} = \frac{(2\vec{a}+\vec{c})-(2\vec{a}+\vec{b})}{3}$

分子の $2\vec{a}$ どうしが打ち消し合うので、

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{\vec{c}-\vec{b}}{3}$

一方、$\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \vec{c}-\vec{b}$ なので、

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ の実数倍で表せたので、$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ です。(証明終わり)

答え: $\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ であり、これより $\mathrm{PQ} \parallel \mathrm{BC}$、かつ $\mathrm{PQ}:\mathrm{BC}=1:3$ である。

$\mathrm{C}$ は $\mathrm{OA}$ を $1:3$ に内分するので $\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \dfrac{1}{4}\vec{a}$、$\mathrm{D}$ は $\mathrm{OB}$ を $3:1$ に内分するので $\overrightarrow{\mathrm{OD}} = \dfrac{3}{4}\vec{b}$ です。

手順1: $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{BC}$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて、

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} + t\left(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right) = \vec{b} + t\left(\frac{1}{4}\vec{a}-\vec{b}\right) = \frac{t}{4}\vec{a} + (1-t)\vec{b} \quad \cdots \text{①}$

手順2: $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AD}$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて、

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + s\left(\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right) = \vec{a} + s\left(\frac{3}{4}\vec{b}-\vec{a}\right) = (1-s)\vec{a} + \frac{3s}{4}\vec{b} \quad \cdots \text{②}$

手順3: ①$=$②で、$\vec{a}$、$\vec{b}$ は一次独立なので、係数比較します。

$\frac{t}{4} = 1-s \quad \cdots \text{(i)}$

$1-t = \frac{3s}{4} \quad \cdots \text{(ii)}$

手順4: 連立方程式を解きます。(i)より $s = 1-\dfrac{t}{4}$ です。これを(ii)に代入します。

$1-t = \frac{3}{4}\left(1-\frac{t}{4}\right) = \frac{3}{4}-\frac{3t}{16}$

両辺を $16$ 倍します。

$16(1-t) = 16\left(\frac{3}{4}-\frac{3t}{16}\right)$

$16-16t = 12-3t$

$-3t$ を左辺に、$16$ を右辺に移項します。

$16-12 = 16t-3t$

$4 = 13t$

$t = \frac{4}{13}$

手順5: $t=\dfrac{4}{13}$ を①に代入します。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{4}\times\frac{4}{13}\vec{a} + \left(1-\frac{4}{13}\right)\vec{b} = \frac{1}{13}\vec{a} + \frac{9}{13}\vec{b}$

答え: $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{13}\vec{a} + \dfrac{9}{13}\vec{b}$

$\mathrm{P}$ は $z$ 軸上の点なので、$\mathrm{P}(0, 0, z)$ とおけます。$\mathrm{PA}^2 = \mathrm{PB}^2$ という条件を作ります。

$\mathrm{PA}^2 = (0-2)^2+(0-1)^2+(z-(-1))^2 = 4+1+(z+1)^2$

$(z+1)^2 = z^2+2z+1$ なので、

$\mathrm{PA}^2 = 4+1+z^2+2z+1 = z^2+2z+6$

$\mathrm{PB}^2 = (0-1)^2+(0-(-2))^2+(z-3)^2 = 1+4+(z-3)^2$

$(z-3)^2=z^2-6z+9$ なので、

$\mathrm{PB}^2 = 1+4+z^2-6z+9 = z^2-6z+14$

$\mathrm{PA}^2=\mathrm{PB}^2$ より、

$z^2+2z+6 = z^2-6z+14$

両辺から $z^2$ を引きます。

$2z+6 = -6z+14$

$-6z$ を左辺に、$6$ を右辺に移項します。

$2z+6z = 14-6$

$8z = 8$

$z = 1$

答え: $\mathrm{P}(0, 0, 1)$

内積を成分公式で計算します。

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\times2 + 2\times(-1) + (-2)\times2 = 2-2-4 = -4$

$|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$ を求めます。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$

なす角の公式に代入します。

$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-4}{3\times3} = -\frac{4}{9}$

答え: $\cos\theta = -\dfrac{4}{9}$

(この値は負なので、$\theta$ は鈍角であることがわかります。)

平面の方程式の公式 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ に、$(a,b,c)=(3,1,-2)$、$(x_0,y_0,z_0)=(2,-1,1)$ を代入します。

$3(x-2) + 1(y-(-1)) - 2(z-1) = 0$

$3(x-2) + (y+1) - 2(z-1) = 0$

かっこを展開します。

$3x-6+y+1-2z+2 = 0$

定数項をまとめます。$-6+1+2=-3$ なので、

$3x+y-2z-3 = 0$

これが平面の方程式です。次に、点 $(1,2,3)$ がこの平面上にあるかどうかを、方程式の左辺に代入して調べます。

$3\times1 + 2 - 2\times3 - 3 = 3+2-6-3 = -4$

$-4 \neq 0$ なので、方程式は成り立ちません。

答え: 平面の方程式は $3x+y-2z-3=0$。点 $(1,2,3)$ はこの平面上にない。