整式の整理(次数・係数・同類項) | 高校数学まるごと解説

要点整理

単項式・多項式・整式とは

数や文字を掛け合わせただけの式を「単項式(たんこうしき)」といいます。たとえば $3x^2y$ や $-5$ は単項式です($-5$ のように文字を含まない数だけの単項式もあります)。

単項式をいくつか足し合わせた式を「多項式(たこうしき)」といいます。たとえば $3x^2-2x+5$ は、$3x^2$、$-2x$、$5$ という3つの単項式(これらを「項(こう)」と呼びます)を足し合わせてできた多項式です。

単項式と多項式をまとめて「整式(せいしき)」と呼びます。つまり「整式」という言葉は、「単項式か多項式のどちらか」を指す、より広い呼び方だと考えてください。

次数(じすう)

次数とは、その項で文字が何個掛け合わされているかを表す数のことです。

単項式の次数は、掛け合わされている文字の個数(それぞれの文字の指数の合計)で決まります。たとえば $3x^2y$ は、$x$ が2個、$y$ が1個掛け合わされているので、次数は $2+1=3$ です。
多項式の次数は、その中に含まれる各項の次数のうち、いちばん大きいものです。たとえば $3x^2-2x+5$ では、各項の次数はそれぞれ $2$、$1$、$0$(文字を含まない項の次数は $0$ と決められています)なので、この多項式全体の次数は $2$ です。

係数(けいすう)

係数とは、単項式の中から文字の部分を取り除いた、数の部分のことです。たとえば $3x^2y$ の係数は $3$ です。多項式 $3x^2-2x+5$ では、$x^2$ の項の係数は $3$、$x$ の項の係数は $-2$、定数項(文字を含まない項)は $5$ というように、項ごとに係数を考えます。

文字が2種類以上ある式では、「どの文字に着目するか」によって係数の見え方が変わります。たとえば $3x^2y$ を「$x$ についての式」として見るときは、$y$ の部分も含めた $3y$ が $x^2$ の係数だと考えます。この考え方は、あとで複数の文字を含む式を整理するときに重要になります。

同類項(どうるいこう)

文字の部分(文字の種類とその指数)がまったく同じである項どうしを「同類項」といいます。たとえば $3x^2y$ と $-5x^2y$ は、どちらも「$x^2y$」という同じ文字の部分を持っているので同類項です。

同類項は、分配法則($ma+na=(m+n)a$ という、文字でくくり出せるという計算のきまり)を使って1つの項にまとめることができます。

$3x^2y-5x^2y=(3-5)x^2y=-2x^2y$

このように、同類項をまとめて式をできるだけ簡単な形に書き直すことを「式を整理する」といいます。

降べきの順・昇べきの順に整理する

同類項をまとめたあとの式は、次数の高い項から低い項へと並べるのが基本のルールです。これを「降べきの順(こうべきのじゅん)」に整理する、といいます。反対に、次数の低い項から高い項へ並べることを「昇べきの順(しょうべきのじゅん)」に整理する、といいます。高校の教科書では、降べきの順を使うことが多いです。

たとえば $4x^2-3x+5-2x^2+7x-1$ という式は、同類項をまとめると $2x^2+4x+4$ になります。これはすでに次数の高い順($x^2 \to x \to$ 定数)に並んでいるので、降べきの順に整理された状態です。

2種類以上の文字を含む式を整理するときは、まず「どの文字について整理するか」を決めます。そのうえで、着目していない文字はすべて係数の一部として扱います。この考え方は、例題3で詳しく確認します。

例題

例題1(基本)

問題

次の式の同類項をまとめて、$x$ について降べきの順に整理しなさい。また、整理した式の次数と、各項の係数を答えなさい。

$4x^2-3x+5-2x^2+7x-1$

解答・解説を見る

まず、次数が同じ項どうし(同類項)をグループに分けます。

$x^2$ の項:$4x^2$ と $-2x^2$
$x$ の項:$-3x$ と $7x$
定数項(文字を含まない項):$5$ と $-1$

それぞれのグループで係数どうしを足し算します。

$x^2$ の項をまとめると、

$4x^2+(-2x^2)=(4-2)x^2=2x^2$

$x$ の項をまとめると、

$-3x+7x=(-3+7)x=4x$

定数項をまとめると、

$5+(-1)=4$

まとめた3つの項を、次数の高い順(降べきの順)に並べます。次数はそれぞれ $x^2$ が2、$x$ が1、定数項が0なので、もとから正しい順番で書けます。

$4x^2-3x+5-2x^2+7x-1=2x^2+4x+4$

この式の中でいちばん次数が高い項は $2x^2$ で、その次数は $2$ です。したがって、この整式の次数は $2$ です。

各項の係数は、$x^2$ の係数が $2$、$x$ の係数が $4$、定数項が $4$ です。

例題2(標準)

問題

次の式の同類項をまとめて、$x$ について降べきの順に整理しなさい。

$2x^3-5x+3x^2-x^3+4-2x^2$

解答・解説を見る

同じ次数の項どうしをグループに分けます。

$x^3$ の項:$2x^3$ と $-x^3$
$x^2$ の項:$3x^2$ と $-2x^2$
$x$ の項:$-5x$(同類項の相手はありません)
定数項:$4$(同類項の相手はありません)

$x^3$ の項をまとめると、

$2x^3+(-x^3)=(2-1)x^3=x^3$

$x^2$ の項をまとめると、

$3x^2+(-2x^2)=(3-2)x^2=x^2$

$x$ の項と定数項は、まとめる相手がないのでそのままです。$-5x$ と $4$ です。

以上をまとめて、次数の高い順に並べます。次数は $x^3$ が3、$x^2$ が2、$x$ が1、定数項が0です。

$2x^3-5x+3x^2-x^3+4-2x^2=x^3+x^2-5x+4$

この整式の次数は $3$ です。

例題3(応用)

問題

次の式を、$x$ について降べきの順に整理しなさい。ただし、$y$ を含む部分は $x$ の係数の一部として扱うこと。

$3x^2y-2xy+5y^2-x^2+4xy-3y^2+7$

解答・解説を見る

この式には $x$ と $y$ の2種類の文字が含まれています。今回は「$x$ について整理する」ので、$x$ の次数(何個の $x$ が掛けられているか)に注目して項をグループ分けします。$y$ はすべて係数の一部として扱います。

まず、それぞれの項に $x$ が何個含まれているかを確認します。

$3x^2y$:$x$ が2個($x^2$)
$-2xy$:$x$ が1個
$5y^2$:$x$ は含まれない(0個)
$-x^2$:$x$ が2個($x^2$)
$4xy$:$x$ が1個
$-3y^2$:$x$ は含まれない(0個)
$7$:$x$ は含まれない(0個)

これをもとに、$x$ の次数ごとにグループ分けします。

$x^2$ を含む項:$3x^2y$、$-x^2$
$x^1$ を含む項:$-2xy$、$4xy$
$x$ を含まない項:$5y^2$、$-3y^2$、$7$

それぞれのグループをまとめます。まず $x^2$ の項です。$3x^2y$ は $3y\cdot x^2$、$-x^2$ は $-1\cdot x^2$ と考えられるので、

$3x^2y-x^2=3y\cdot x^2-1\cdot x^2=(3y-1)x^2$

次に $x^1$ の項です。$-2xy$ は $-2y\cdot x$、$4xy$ は $4y\cdot x$ と考えられるので、

$-2xy+4xy=-2y\cdot x+4y\cdot x=(-2y+4y)x=2yx$

最後に、$x$ を含まない項をまとめます。これらは $x$ について見ると、すべて定数項(係数の一部)としてひとまとめにできます。

$5y^2+(-3y^2)+7=2y^2+7$

以上を、$x$ の次数が高い順に並べます。

$3x^2y-2xy+5y^2-x^2+4xy-3y^2+7=(3y-1)x^2+2yx+(2y^2+7)$

このように、複数の文字を含む式でも「どの文字に注目するか」を決めてしまえば、それ以外の文字は数と同じように係数として扱ってよいのです。

練習問題

問題

次の式の同類項をまとめて、$x$ について降べきの順に整理しなさい。

$-x^2+3x-7x^2+2-5x+4$

答え

$x^2$ の項:$-x^2-7x^2=-8x^2$

$x$ の項:$3x-5x=-2x$

定数項:$2+4=6$

$-x^2+3x-7x^2+2-5x+4=-8x^2-2x+6$