剰余の定理と因数定理

剰余の定理を使うと、実際に割り算をしなくても余りだけを求めることができます。

剰余の定理:整式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ に等しい。

ここでは $x-2$ で割るので、$a=2$ です。よって、求める余りは $P(2)$ を計算すれば求まります。

$P(x) = x^3-3x^2+2x-5$ に $x=2$ を代入します。

$P(2) = 2^3 - 3\times2^2+2\times2-5$

まず $2^3=8$、$2^2=4$ なので $3\times2^2=3\times4=12$、$2\times2=4$ です。これらを代入すると、

$P(2) = 8-12+4-5$

左から順に計算します。$8-12=-4$、$-4+4=0$、$0-5=-5$ となるので、

$P(2) = -5$

したがって、$P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りは $-5$ です。

まず、問題文の条件を剰余の定理の言葉に翻訳します。

$P(x)$ を $x-1$ で割った余りが $2$ ということは、剰余の定理より $P(1)=2$ ということです。

$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $5$ ということは、$x+2=x-(-2)$ なので、剰余の定理より $P(-2)=5$ ということです。

次に、$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを考えます。割る式 $(x-1)(x+2)$ は展開すると2次式になるので、余りの次数は2次式で割った余りとして2次未満、つまり1次以下になります。そこで、余りを $mx+n$($m,n$ は定数)とおきます。商を $Q(x)$ とすると、次の等式が成り立ちます。

$P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + mx+n$

この等式は $x$ にどんな値を代入しても成り立つ恒等式です。そこで、都合の良い $x$ の値を代入して $m,n$ を求めます。

まず $x=1$ を代入すると、$(1-1)(1+2)Q(1)=0\times3\times Q(1)=0$ となるので、

$P(1) = 0 + m\times1+n = m+n$

一方、$P(1)=2$ だったので、

$m+n=2 \quad \cdots ①$

次に $x=-2$ を代入すると、$(-2-1)(-2+2)Q(-2)=(-3)\times0\times Q(-2)=0$ となるので、

$P(-2) = 0+m\times(-2)+n=-2m+n$

一方、$P(-2)=5$ だったので、

$-2m+n=5 \quad \cdots ②$

①と②を連立方程式として解きます。①から②を引くと、

$(m+n)-(-2m+n)=2-5$

左辺を計算すると $m+n+2m-n=3m$ となるので、

$3m=-3$

よって、

$m=-1$

これを①に代入すると、

$-1+n=2$

より、

$n=3$

したがって、求める余りは、

$mx+n=-x+3$

まず、因数定理を使って $P(a)=0$ となる $a$ の値、つまり $P(x)$ の因数の候補を探します。$P(x)$ は整数係数の3次式で、最高次の項($x^3$の項)の係数が1なので、もし整数の解があるとすれば、それは定数項 $6$ の約数の中にあります。$6$ の約数は $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ なので、これらを順番に代入して調べます。

$x=1$ を代入すると、

$P(1)=1^3-4\times1^2+1+6=1-4+1+6=4$

$4\neq0$ なので、$x-1$ は因数ではありません。

$x=-1$ を代入すると、

$P(-1)=(-1)^3-4\times(-1)^2+(-1)+6$

$(-1)^3=-1$、$(-1)^2=1$ なので $4\times(-1)^2=4$ です。これらを代入すると、

$P(-1)=-1-4-1+6$

順に計算すると、$-1-4=-5$、$-5-1=-6$、$-6+6=0$ となるので、

$P(-1)=0$

$P(-1)=0$ になったので、因数定理より、$x-(-1)$ すなわち $x+1$ は $P(x)$ の因数であることがわかります。

次に、$P(x)$ を $x+1$ で実際に割り算して商を求めます(整式の除法)。

$x^3-4x^2+x+6 \div (x+1)$

筆算で計算していきます。まず $x^3\div x=x^2$ なので、商の最初の項は $x^2$ です。$x^2\times(x+1)=x^3+x^2$ を引くと、

$(x^3-4x^2+x+6)-(x^3+x^2)=-5x^2+x+6$

次に $-5x^2\div x=-5x$ なので、商の次の項は $-5x$ です。$-5x\times(x+1)=-5x^2-5x$ を引くと、

$(-5x^2+x+6)-(-5x^2-5x)=6x+6$

最後に $6x\div x=6$ なので、商の最後の項は $6$ です。$6\times(x+1)=6x+6$ を引くと、

$(6x+6)-(6x+6)=0$

余りが $0$ になったので、割り切れることが確認できました。商は $x^2-5x+6$ です。よって、

$P(x)=(x+1)(x^2-5x+6)$

さらに、$x^2-5x+6$ は「積が $6$、和が $-5$ になる2つの数」を探すと $-2$ と $-3$ が見つかるので、

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

したがって、

$P(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$

$x+3=x-(-3)$ なので、剰余の定理より余りは $P(-3)$ です。

$P(-3)=(-3)^3+2\times(-3)^2-5\times(-3)-6=-27+18+15-6=0$

余りが $0$ なので、因数定理より $x+3$ は $P(x)$ の因数です。