章末問題

まず、記号を整理します。クラス全体の集合(ものの集まり)を$U$とし、数学が好きな人の集合を$A$、英語が好きな人の集合を$B$とします。集合$X$に含まれる要素(集合の中の個々のもの)の個数は、記号$n(X)$で表します。

問題文から、次のことがわかります。

$n(U) = 40, \quad n(A) = 25, \quad n(B) = 18, \quad n(A \cap B) = 10$

ここで$A \cap B$は「共通部分」と呼ばれ、$A$と$B$の両方に属する要素全体の集合を表します。つまり$n(A \cap B) = 10$は、「数学と英語の両方が好きな人が10人いる」という意味です。

ステップ1:数学または英語が好きな人の人数を求める

「数学が好きな人」と「英語が好きな人」を合わせた集合を、記号$A \cup B$(和集合、または合併集合と呼びます)で表します。これは「$A$または$B$のどちらかに属する要素全体の集合」という意味です。

単純に$n(A)+n(B)$を計算すると、両方好きな人($A \cap B$の部分)を2回数えてしまうことになります。そこで、重なっている部分を1回分だけ引く、という考え方(集合の要素の個数の公式)を使います。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

数値を代入すると、

$n(A \cup B) = 25 + 18 - 10$

まず$25+18$を計算すると、

$25 + 18 = 43$

次に、これから$10$を引くと、

$43 - 10 = 33$

したがって、$n(A \cup B) = 33$です。つまり、数学と英語の少なくとも一方が好きな人は33人いる、ということです。

ステップ2:どちらも好きではない人数を求める

「数学も英語も好きではない人」は、クラス全体40人から、「数学または英語が好きな人」33人を除いた残りの人数になります。

$n(U) - n(A \cup B) = 40 - 33 = 7$

したがって、答えは7人です。

4桁の整数が奇数になるかどうかは、一番右の位(一の位)の数字だけで決まります。一の位が奇数であれば、その整数全体も奇数になります。

まず、7枚のカードのうち、奇数が書かれているカードと偶数が書かれているカードを整理します。

• 奇数のカード:1, 3, 5, 7 の4枚
• 偶数のカード:2, 4, 6 の3枚

ステップ1:一の位を決める

一の位には奇数のカードを置く必要があるので、候補は4枚あります。よって、一の位の決め方は

$4\text{通り}$

です。

ステップ2:残りの3つの位(千の位・百の位・十の位)を決める

一の位で1枚のカードを使ったので、残りのカードは$7-1=6$枚です。この6枚の中から3枚を選び、千の位・百の位・十の位に順序を区別して並べることになります。これは「異なる6個から3個を取り出して並べる順列」なので、順列の記号${}_{n}\mathrm{P}_{r}$(異なる$n$個から$r$個を取り出し、順序を区別して並べる場合の数)を使うと、

${}_{6}\mathrm{P}_{3}$

を計算すればよいことになります。順列の公式${}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots$(nから1つずつ小さくしながらr個かけ合わせる)にあてはめると、

${}_{6}\mathrm{P}_{3} = 6 \times 5 \times 4$

これを計算すると、まず$6 \times 5 = 30$、次に$30 \times 4 = 120$なので、

${}_{6}\mathrm{P}_{3} = 120\text{通り}$

です。

ステップ3:積の法則で合わせる

「一の位を決める作業」と「残り3つの位を決める作業」は、順番に行う独立した作業なので、積の法則(いくつかの作業を順に行うとき、それぞれの場合の数をすべてかけ合わせると全体の場合の数になるという考え方)を使って、

$4 \times 120 = 480$

したがって、答えは480通りです。

円形に並ぶ場合の数は「円順列」と呼ばれ、回転させて同じ配置になるものは1通りとして数えます。異なる$n$個のものを円順列で並べる場合の数は、

$(n-1)!$

で求められることを思い出しておきましょう(基準になる1個を固定して、残りの$n-1$個を並べると考えるためです)。

この問題では「女子3人が続けて座る」という条件があるので、順列の応用問題と同じように、続けて座る女子3人をひとまとめにして「1つのブロック」とみなす工夫を使います。

ステップ1:女子3人を1つのブロックとみなして円順列を考える

女子3人を1つのブロックとみなすと、円形のテーブルに並ぶ対象は「男子1人目」「男子2人目」「男子3人目」「女子ブロック」の合計4つになります。この4つを円順列で並べる場合の数は、

$(4-1)! = 3!$

$3!$を計算すると、

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\text{通り}$

です。

ステップ2:ブロックの中で女子3人を並べ替える

女子ブロックの中でも、3人の並ぶ順番によって異なる座り方として数える必要があります。これは円順列ではなく、ブロックの中に3人を1列に並べる(左右の並び順を区別する)ふつうの順列なので、

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\text{通り}$

です。

ステップ3:積の法則で合わせる

「男子3人と女子ブロックを円形に並べる並べ方」と「ブロックの中で女子を並べる並べ方」は、独立に決められる作業なので、積の法則を使って、

$6 \times 6 = 36$

したがって、答えは36通りです。

委員を選ぶ問題では、「誰が委員長か」のような順序の区別がないので、順列ではなく「組合せ」の考え方を使います。異なる$n$個の中から、順序を考えずに$r$個を選ぶ場合の数を${}_{n}\mathrm{C}_{r}$で表し、公式は

${}_{n}\mathrm{C}_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

です($n!$は「$n$の階乗」で、$n$から1までのすべての整数をかけ合わせたものです)。

(1) 男子2人、女子2人を選ぶ場合

「男子5人から2人を選ぶ」作業と「女子4人から2人を選ぶ」作業を、それぞれ別々に行い、最後に積の法則で合わせます。

男子5人から2人を選ぶ組合せの数は、

${}_{5}\mathrm{C}_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \, 3!}$

$\dfrac{5!}{2!\,3!}$を計算するときは、$5! = 5\times4\times3\times2\times1$のうち、後ろの$3\times2\times1$の部分が$3!$と約分できることを使うと早く計算できます。

${}_{5}\mathrm{C}_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10\text{通り}$

女子4人から2人を選ぶ組合せの数は、

${}_{4}\mathrm{C}_{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = \frac{12}{2} = 6\text{通り}$

積の法則より、男子2人・女子2人の選び方の総数は、

$10 \times 6 = 60$

したがって、(1)の答えは60通りです。

(2) 少なくとも1人は女子が含まれる場合

「少なくとも1人は女子」という条件を直接数えようとすると、「女子が1人だけの場合」「女子が2人の場合」「女子が3人の場合」「女子が4人の場合」を全部数えて足し合わせる必要があり、手間がかかります。このようなときは、反対の場合(女子が1人も選ばれない場合、つまり全員男子の場合)を全体から引く、という考え方(余事象の考え方)を使うと簡単になります。

まず、9人の中から4人を選ぶ、条件なしの組合せの総数を求めます。

${}_{9}\mathrm{C}_{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4! \, 5!}$

これは、$9! = 9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1$のうち、後ろの$5\times4\times3\times2\times1$の部分が$5!$と約分できるので、

${}_{9}\mathrm{C}_{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

分子を計算すると、$9\times8=72$、$72\times7=504$、$504\times6=3024$です。分母は$4\times3\times2\times1=24$です。よって、

${}_{9}\mathrm{C}_{4} = \frac{3024}{24} = 126\text{通り}$

次に、女子が1人も選ばれない場合、つまり男子5人の中だけから4人を選ぶ場合の数を求めます。

${}_{5}\mathrm{C}_{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \, 1!} = 5\text{通り}$

(これは「5人の中から4人を選ぶ」ことと「5人の中から選ばない1人を決める」ことが同じ意味になるので、$5$通りとすぐにわかります。)

したがって、「少なくとも1人は女子」となる選び方の総数は、全体からこの場合を引いて、

$126 - 5 = 121$

したがって、(2)の答えは121通りです。

事象$A$を「引いたカードの数が3の倍数である」、事象$B$を「引いたカードの数が5の倍数である」とします。求めたいのは、$A$または$B$が起こる確率、つまり$P(A \cup B)$です。

$A$と$B$は同時に起こることがある(3の倍数かつ5の倍数、つまり15の倍数のカードが存在する)ので、単純に$P(A)+P(B)$を計算すると重なった部分を2回数えてしまいます。そこで、集合のときと同じように、確率の加法定理

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

を使います。

ステップ1:それぞれの事象が起こる場合の数を数える

1から20までの整数のうち、3の倍数は、

$3, 6, 9, 12, 15, 18$

の6個です。よって、$A$が起こる場合の数は6です。

1から20までの整数のうち、5の倍数は、

$5, 10, 15, 20$

の4個です。よって、$B$が起こる場合の数は4です。

3の倍数かつ5の倍数、つまり15の倍数は、1から20までの中には

$15$

の1個だけです。よって、$A \cap B$が起こる場合の数は1です。

ステップ2:確率を求める

全部で20枚のカードがあり、どのカードを引くことも同様に確からしい(同じ程度に起こりやすい)ので、それぞれの確率は、場合の数を全体の枚数20で割って求められます。

$P(A) = \frac{6}{20}, \qquad P(B) = \frac{4}{20}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{20}$

加法定理に代入すると、

$P(A \cup B) = \frac{6}{20} + \frac{4}{20} - \frac{1}{20}$

分母がすべて20で揃っているので、分子だけを計算すると、$6+4=10$、$10-1=9$なので、

$P(A \cup B) = \frac{9}{20}$

したがって、答えは$\dfrac{9}{20}$です。

「同じ試行(さいころを投げるという動作)を independent に何回も繰り返す」タイプの確率は、「反復試行の確率」と呼ばれる考え方を使います。1回1回の結果が他の回の結果に影響を与えない(独立である)ことがポイントです。

反復試行の確率の公式を確認しておきましょう。1回の試行で事象$A$が起こる確率を$p$、起こらない確率を$q = 1-p$とするとき、この試行を$n$回繰り返して、事象$A$がちょうど$k$回起こる確率は、

${}_{n}\mathrm{C}_{k} \, p^{k} \, q^{n-k}$

で求められます。${}_{n}\mathrm{C}_{k}$の部分は、「$n$回のうち、どの$k$回で$A$が起こるか」という組合せの数を表しています。

ステップ1:条件を公式にあてはめる

この問題では、「1の目が出る」ことを事象$A$とします。さいころの1回の目の出方は6通りで、どの目が出るのも同様に確からしいので、

$p = \frac{1}{6}, \qquad q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

です。さいころを投げる回数は$n=5$回、1の目がちょうど出てほしい回数は$k=2$回です。

ステップ2:${}_{5}\mathrm{C}_{2}$を計算する

${}_{5}\mathrm{C}_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

ステップ3:$p^{2}$と$q^{3}$を計算する

$p^{2} = \left(\frac{1}{6}\right)^{2} = \frac{1}{36}$

$q^{3} = \left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{5 \times 5 \times 5}{6 \times 6 \times 6} = \frac{125}{216}$

ステップ4:すべてをかけ合わせる

${}_{5}\mathrm{C}_{2} \, p^{2} \, q^{3} = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216}$

まず、分数のかけ算は分子どうし、分母どうしをかけ合わせます。分子は$10 \times 1 \times 125 = 1250$、分母は$36 \times 216 = 7776$なので、

$10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776}$

最後に、この分数を約分します。分子$1250$と分母$7776$はどちらも2で割り切れるので、

$\frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$

分子の$625$は$5 \times 5 \times 5 \times 5$、分母の$3888$は$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$であり、共通の素因数(2でも5でもない)がないので、これ以上は約分できません。

したがって、答えは$\dfrac{625}{3888}$です。

まず、事象を記号で整理します。

• 事象$A$:取り出した製品がA機械で作られたものである
• 事象$B$:取り出した製品がB機械で作られたものである
• 事象$D$:取り出した製品が不良品である

問題文の割合を、パーセントではなく分数で表しておきます。

$P(A) = 60\% = \frac{3}{5}, \qquad P(B) = 40\% = \frac{2}{5}$

また、「条件付き確率」という考え方を使います。条件付き確率$P(D \mid A)$とは、「$A$が起こったという条件のもとで、$D$が起こる確率」のことです。ここでは「A機械で作られたという条件のもとで、それが不良品である確率」を表し、

$P(D \mid A) = 2\% = \frac{1}{50}, \qquad P(D \mid B) = 5\% = \frac{1}{20}$

です。

(1) 不良品である確率$P(D)$を求める

不良品が出るパターンは、「A機械で作られていて、かつ不良品である」場合と、「B機械で作られていて、かつ不良品である」場合の2通りに分けられ、この2つは同時には起こりません。それぞれの確率は、条件付き確率の意味から、

$P(A \cap D) = P(A) \times P(D \mid A), \qquad P(B \cap D) = P(B) \times P(D \mid B)$

と計算できます。この2つを足し合わせると、$P(D)$が求められます。

まず、$P(A \cap D)$を計算します。

$P(A \cap D) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{50} = \frac{3}{250}$

次に、$P(B \cap D)$を計算します。

$P(B \cap D) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{20} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$

この2つを足すために、分母を250にそろえます。$\dfrac{1}{50}$は、分母・分子に5をかけると、

$\frac{1}{50} = \frac{1 \times 5}{50 \times 5} = \frac{5}{250}$

したがって、

$P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = \frac{3}{250} + \frac{5}{250} = \frac{8}{250}$

この分数を約分します。分子・分母をともに2で割ると、

$\frac{8}{250} = \frac{4}{125}$

したがって、(1)の答えは$\dfrac{4}{125}$(小数で表すと$0.032$)です。

(2) 不良品だったとき、それがB機械製である確率$P(B \mid D)$を求める

これは、(1)とは逆向きの条件付き確率で、「不良品であるという条件のもとで、それがB機械で作られたものである確率」を求める問題です。このように、結果(不良品だったという事実)から原因(どちらの機械で作られたか)の確率を求める考え方を、ベイズの考え方と呼びます。

条件付き確率の定義にしたがうと、

$P(B \mid D) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)}$

です。これは「$D$が起こった場合の中で、さらに$B$も同時に起こっている割合」を表しています。

先ほど求めた$P(B \cap D) = \dfrac{5}{250}$と$P(D) = \dfrac{8}{250}$を代入すると、

$P(B \mid D) = \frac{\frac{5}{250}}{\frac{8}{250}}$

分母がどちらも250で共通しているので、約分すると、

$P(B \mid D) = \frac{5}{8}$

したがって、(2)の答えは$\dfrac{5}{8}$です。不良品が見つかったときは、B機械で作られたものである可能性のほうが高い(5/8はA機械の3/8より大きい)ことがわかります。

期待値とは、ある試行を行ったときに得られる値の「平均的な見込み」を表す量で、それぞれの値に、その値が起こる確率をかけたものをすべて足し合わせることで求められます。確率変数(試行の結果によって値が決まる変数)を$X$とすると、期待値$E(X)$は次の式で定義されます。

$E(X) = (\text{値}_1) \times (\text{その確率}) + (\text{値}_2) \times (\text{その確率}) + \cdots$

ステップ1:目ごとにもらえる金額(支払いはマイナス)を整理する

さいころの目は1から6までの6通りあり、それぞれの目が出る確率はすべて等しく$\dfrac{1}{6}$です。目ごとの金額を整理すると、次のようになります。

• 目が1(奇数):$1 \times 50 = 50$円を支払うので、金額は$-50$円
• 目が2(偶数):$2 \times 100 = 200$円もらえるので、金額は$+200$円
• 目が3(奇数):$3 \times 50 = 150$円を支払うので、金額は$-150$円
• 目が4(偶数):$4 \times 100 = 400$円もらえるので、金額は$+400$円
• 目が5(奇数):$5 \times 50 = 250$円を支払うので、金額は$-250$円
• 目が6(偶数):$6 \times 100 = 600$円もらえるので、金額は$+600$円

ステップ2:期待値の式を立てる

それぞれの目が出る確率は等しく$\dfrac{1}{6}$なので、期待値$E(X)$は、

$E(X) = \frac{1}{6}(-50) + \frac{1}{6}(200) + \frac{1}{6}(-150) + \frac{1}{6}(400) + \frac{1}{6}(-250) + \frac{1}{6}(600)$

すべての項に共通する$\dfrac{1}{6}$を、かっこの外にくくり出すと、

$E(X) = \frac{1}{6} \left( -50 + 200 - 150 + 400 - 250 + 600 \right)$

ステップ3:かっこの中を順番に計算する

かっこの中を、左から順に1つずつ計算していきます。

$-50 + 200 = 150$

$150 - 150 = 0$

$0 + 400 = 400$

$400 - 250 = 150$

$150 + 600 = 750$

したがって、かっこの中は$750$になります。

ステップ4:$\dfrac{1}{6}$をかける

$E(X) = \frac{1}{6} \times 750 = \frac{750}{6}$

$750 \div 6$を計算すると、

$\frac{750}{6} = 125$

したがって、答えは125円です。このゲームを何度も繰り返すと、平均して1回あたり125円もらえる見込みがある、という意味になります。