章末問題

$f(x)=x^2+2x$、$g(x)=x-3$ とおきます。それぞれの導関数は、

$f'(x)=2x+2,\qquad g'(x)=1$

積の微分法 $\{fg\}'=f'g+fg'$ に代入します。

$y' = (2x+2)(x-3) + (x^2+2x)\times 1$

$(2x+2)(x-3)$ を展開します。

$(2x+2)(x-3) = 2x^2-6x+2x-6 = 2x^2-4x-6$

これに $(x^2+2x)$ を足します。

$y' = (2x^2-4x-6)+(x^2+2x) = 3x^2-2x-6$

答え:$y'=3x^2-2x-6$

$g(x)=x^2-1$ とおくと $g'(x)=2x$ です。べき乗型の合成関数の微分公式 $\{g(x)^n\}'=n\,g(x)^{n-1}g'(x)$ に $n=4$ を当てはめます。

$y' = 4(x^2-1)^3\times 2x = 8x(x^2-1)^3$

答え:$y'=8x(x^2-1)^3$

$f(x)=e^x$、$g(x)=\cos x$ とおきます。それぞれの導関数は、

$f'(x)=e^x,\qquad g'(x)=-\sin x$

積の微分法に代入します。

$y' = e^x\cos x + e^x(-\sin x)$

共通因数 $e^x$ でくくり出します。

$y' = e^x(\cos x-\sin x)$

答え:$y'=e^x(\cos x-\sin x)$

$x$、$y$ をそれぞれ $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = 2t,\qquad \frac{dy}{dt} = 3t^2-3$

公式 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2-3}{2t}$

分子は $3(t^2-1)$ とくくれます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(t^2-1)}{2t}\quad(t\neq 0)$

答え:$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(t^2-1)}{2t}$

両辺を $x$ で微分します。$x^2$ の微分は $2x$、$xy$ の微分は積の微分法を使って $1\times y+x\times y'$、$y^2$ の微分は連鎖律を使って $2y\,y'$、右辺の定数 $3$ の微分は $0$ です。

$2x-\left(y+xy'\right)+2yy' = 0$

かっこを外します。

$2x-y-xy'+2yy' = 0$

$y'$ を含む項を左辺にまとめ、それ以外を右辺に移項します。

$-xy'+2yy' = y-2x$

左辺を $y'$ でくくります。

$y'(2y-x) = y-2x$

両辺を $(2y-x)$ で割ります。

$y' = \frac{y-2x}{2y-x}$

答え:$y'=\dfrac{y-2x}{2y-x}$

$f'(x)$ を求めて因数分解する

積の微分法(と合成関数の微分法)を使います。

$f'(x) = 2xe^{-x} + x^2\times(-e^{-x}) = e^{-x}(2x-x^2) = e^{-x}\,x(2-x)$

符号を調べる

$e^{-x}$ はどんな $x$ に対しても常に正なので、$f'(x)$ の符号は $x(2-x)$ の符号だけで決まります。

• $x<0$(例えば $x=-1$):$x<0$、$2-x>0$ なので積は負 → 減少
• $00$、$2-x>0$ なので積は正 → 増加
• $x>2$(例えば $x=3$):$x>0$、$2-x<0$ なので積は負 → 減少

$x=0$ の前後で負から正に変わるので極小、$x=2$ の前後で正から負に変わるので極大です。

$f(0) = 0^2\times e^0 = 0,\qquad f(2) = 2^2\times e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$

極大点における接線

極大点(極値を取る点)では、必ず $f'(x)=0$ となっており、接線の傾きが $0$、つまり接線は水平な直線になります。$x=2$ での接線の方程式は、

$y = f(2) = \frac{4}{e^2}$

答え:$x=0$ で極小値 $0$、$x=2$ で極大値 $\dfrac{4}{e^2}$。極大点 $x=2$ における接線は $y=\dfrac{4}{e^2}$(水平な直線)。

$f'(x)$、$f''(x)$ を求める

$f'(x) = 4x^3-12x$

$f''(x) = 12x^2-12 = 12(x^2-1) = 12(x-1)(x+1)$

$f''(x)=0$ となる $x$ を求める

$x=1,\ -1$

符号を調べる

• $x<-1$(例えば $x=-2$):$f''(-2)=12(-2-1)(-2+1)=12(-3)(-1)=36>0$ → 下に凸
• $-1
• $x>1$(例えば $x=2$):$f''(2)=12(2-1)(2+1)=12(1)(3)=36>0$ → 下に凸

$x=-1$、$x=1$ のどちらでも符号が変わっているので、両方とも変曲点です。

$f(-1) = (-1)^4-6(-1)^2 = 1-6 = -5,\qquad f(1) = 1^4-6\times 1^2 = 1-6 = -5$

答え:$x<-1$、$x>1$ で下に凸、$-1