章末問題

累乗根の積の法則 $\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ を使います。

$\sqrt[3]{9}\times\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{9\times24}$

かけ算を計算します。

$9\times24 = 216$

$\sqrt[3]{9}\times\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{216}$

$216$ を3乗根がとれる形に直します。$6^3=6\times6\times6=216$ なので、

$\sqrt[3]{216} = 6$

したがって、答えは $6$ です。

右辺の $27$ を、底を $\dfrac13$ にそろえた形に直します。$27=3^3=\left(\dfrac13\right)^{-3}$ なので、

$\left(\frac13\right)^{2x-1} < \left(\frac13\right)^{-3}$

底 $\dfrac13$ は $0<\dfrac13<1$ なので、対数関数ならぬ指数関数 $y=\left(\dfrac13\right)^x$ は単調減少です。単調減少のときは、不等号の向きが反転することに注意します。

$0q$

ここで $p=2x-1$, $q=-3$ なので、

$2x-1 > -3$

両辺に $1$ を足します。

$2x > -2$

両辺を $2$ でわります。

$x > -1$

したがって、$x>-1$ です。

$9^x=(3^2)^x=(3^x)^2$ なので、$t=3^x$ とおきます($t>0$ という条件がつきます)。元の方程式は、

$t^2-4t-45=0$

という2次方程式になります。左辺を因数分解します。かけて $-45$、足して $-4$ になる2数を探すと、$-9$ と $5$ が見つかります($-9\times5=-45$、$-9+5=-4$)。

$(t-9)(t+5)=0$

よって $t=9$ または $t=-5$ です。$t>0$ という条件があるので、$t=-5$ は不適です。

$t=9$ のとき、$3^x=9=3^2$ なので、

$x=2$

したがって、$x=2$ です。

検算:$x=2$ を元の式に代入すると、$9^2-4\times3^2-45=81-36-45=0$ となり、成り立ちます。

商の法則 $\log_aM-\log_aN=\log_a\dfrac{M}{N}$ を使います。

$\log_248-\log_23 = \log_2\frac{48}{3}$

分数を計算します。

$\frac{48}{3}=16$

$\log_248-\log_23 = \log_216$

$\log_216$ は「$2$ を何乗すると $16$ になるか」を表す数です。$2^4=16$ なので、

$\log_216=4$

したがって、答えは $4$ です。

底は $0.5$ で $0<0.5<1$ なので、対数関数 $y=\log_{0.5}x$ は単調減少です。単調減少のときは、真数が大きいほど対数の値は小さくなります。

真数を比べると $0.2<0.3$ なので、単調減少の性質より、

$\log_{0.5}0.2 > \log_{0.5}0.3$

したがって、$\log_{0.5}0.2 > \log_{0.5}0.3$ です。

真数条件を確認する

$x+3>0$ より $x>-3$、$2x-1>0$ より $x>\dfrac12$ です。両方を満たす範囲は $x>\dfrac12$ です。

方程式を解く

底がそろった対数どうしが等しいので、真数どうしも等しくなります。

$x+3 = 2x-1$

$x$ を含む項を右辺に、数だけの項を左辺に移項します。

$3+1 = 2x-x$

$4=x$

真数条件の確認

$x=4$ は $x>\dfrac12$ を満たしています。

したがって、$x=4$ です。

$\log_{10}5$ を、与えられた $\log_{10}2$ から求めます。$5=\dfrac{10}{2}$ なので、商の法則を使うと、

$\log_{10}5 = \log_{10}10-\log_{10}2 = 1-0.3010=0.6990$

これを使って、

$\log_{10}(5^{30}) = 30\times\log_{10}5 = 30\times0.6990$

計算します。

$=20.97$

整数部分は $20$ です。$20\leqq20.97<21$ なので、$k=20$、つまり桁数は $k+1=21$ 桁です。

したがって、$5^{30}$ は $21$桁の整数です。

$t=2^x$ とおきます($t>0$ という条件がつきます)。

$4^x=(2^x)^2=t^2$ です。また、$2^{x+2}$ は、指数法則 $a^{p+q}=a^pa^q$ を使うと、

$2^{x+2} = 2^x\times2^2 = 4\times2^x = 4t$

これらを $y$ の式に代入します。

$y = t^2-4t+5$

右辺を平方完成します。$t^2-4t$ を $(t-\bigcirc)^2$ の形に近づけるため、$-4$ を2でわった $-2$ を使うと、

$t^2-4t = (t-2)^2-4$

したがって、

$y = (t-2)^2-4+5 = (t-2)^2+1$

$(t-2)^2$ は、$t$ がどんな実数でも $0$ 以上の値になり、$t=2$ のときにちょうど $0$ になります。$t=2$ は $t>0$ の条件を満たしているので、$y$ が最小になるのは $t=2$ のときで、そのときの最小値は、

$y=(2-2)^2+1=0+1=1$

$t=2$ に対応する $x$ を求めます。$2^x=2$ より、

$x=1$

したがって、$y$ の最小値は $1$ で、そのときの $x$ の値は $x=1$ です。

検算:$x=1$ を元の式に代入すると、$4^1-2^{1+2}+5=4-8+5=1$ となり、確かに最小値 $1$ と一致します。