母平均の推定

要点整理

点推定と区間推定

母平均 $m$ の値が分からないとき、標本から得られる標本平均 $\overline{X}$ を、そのまま母平均の推定値として使う方法を点推定と呼びます。しかし、標本平均はあくまで標本ごとに変わりうる確率変数なので、「$\overline{X}$ がぴったり母平均と同じ値になる」とは限りません。

そこで、「母平均はだいたいこのくらいの範囲にあるはずだ」というように、区間の形で母平均を推測する方法があります。これを区間推定と呼び、求められた区間のことを信頼区間と呼びます。

信頼区間の作り方

前の単元で学んだように、母標準偏差が $\sigma$ である母集団から大きさ $n$ の標本を取り出すとき、標本の大きさ$n$が十分大きければ、中心極限定理により、標本平均 $\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N\left(m,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ に従います。したがって、これを標準化した、

$Z = \frac{\overline{X}-m}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

は近似的に標準正規分布 $N(0,1)$ に従います。正規分布表から、標準正規分布において、

$P(-1.96\leq Z\leq1.96) = 0.95$

であることが分かっています（これは、$P(0\leq Z\leq1.96)=0.4750$ という値を使って、$0.4750\times2=0.9500$ と計算したものです）。この式の $Z$ に、上の標準化した式を代入します。

$P\left(-1.96 \leq \frac{\overline{X}-m}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \leq 1.96\right) = 0.95$

かっこの中の不等式を、$m$について解いていきます。まず、各辺に $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$（正の数）をかけます。

$-1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \leq \ \overline{X}-m \ \leq \ 1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

各辺から $\overline{X}$ を引きます。

$-\overline{X}-1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \leq \ -m \ \leq \ -\overline{X}+1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

各辺に $-1$ をかけます。負の数をかけるので、不等号の向きがすべて反対になります。

$\overline{X}+1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \geq \ m \ \geq \ \overline{X}-1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

これを、小さい方から大きい方の順に書き直すと、次の信頼区間の公式が得られます。

$\overline{X} - 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \leq \ m \ \leq \ \overline{X} + 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

これが、信頼度95%の信頼区間の公式です。同じ考え方で、$P(-2.58\leq Z\leq2.58)\approx0.99$ であることを使うと、信頼度99%の信頼区間の公式、

$\overline{X} - 2.58\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \leq \ m \ \leq \ \overline{X} + 2.58\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

が得られます。信頼度を高くする（95%→99%）と、かけ算する数（$1.96\to2.58$）が大きくなるため、信頼区間の幅は広くなります。「より確実に母平均を含む区間にしたいなら、その分区間を広く取らなければならない」というトレードオフがあることを覚えておきましょう。

注意: 本来、これらの公式には母標準偏差 $\sigma$ が必要ですが、実際の問題では $\sigma$ が分かっていないことも多いです。標本の大きさ $n$ が十分大きいときは、$\sigma$ の代わりに標本から計算した標準偏差（標本標準偏差）を近似的に使うことが認められています。

例題

例題1（基本）

問題

ある工場で製造される製品1個の重さの母標準偏差は $8$ g であることが分かっています。この製品の中から $100$ 個を無作為に抽出したところ、標本平均は $250$ g でした。母平均を、信頼度95%で区間推定しなさい。

解答・解説を見る

信頼度95%の信頼区間の公式 $\overline{X}-1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X}+1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を使います。$\overline{X}=250$、$\sigma=8$、$n=100$ を代入します。

まず、$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を計算します。$\sqrt{100}=10$ なので、

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{10} = 0.8$

次に、$1.96\times0.8$ を計算します。

$1.96\times0.8 = 1.568$

これを信頼区間の公式に代入します。

$250 - 1.568 \ \leq \ m \ \leq \ 250+1.568$

$248.432 \ \leq \ m \ \leq \ 251.568$

したがって、母平均 $m$ の信頼度95%の信頼区間は、

$248.432 \ \leq \ m \ \leq \ 251.568 \ (\text{g})$

です。

例題2（標準）

問題

母標準偏差が $12$ である母集団から、大きさ $225$ の標本を無作為に抽出したところ、標本平均は $80$ でした。母平均を、信頼度99%で区間推定しなさい。

解答・解説を見る

信頼度99%の信頼区間の公式 $\overline{X}-2.58\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X}+2.58\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を使います。$\overline{X}=80$、$\sigma=12$、$n=225$ を代入します。

まず、$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を計算します。$\sqrt{225}=15$ なので、

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{15} = 0.8$

次に、$2.58\times0.8$ を計算します。

$2.58\times0.8 = 2.064$

これを信頼区間の公式に代入します。

$80-2.064 \ \leq \ m \ \leq \ 80+2.064$

$77.936 \ \leq \ m \ \leq \ 82.064$

したがって、母平均 $m$ の信頼度99%の信頼区間は、

$77.936 \ \leq \ m \ \leq \ 82.064$

です。

例題3（応用）

問題

母標準偏差が $20$ である母集団について、信頼度95%の信頼区間の幅（区間の右端から左端を引いた長さ）を $4$ 以下にしたいと考えています。標本の大きさ $n$ をいくつ以上にすればよいか求めなさい。

解答・解説を見る

信頼度95%の信頼区間は、$\overline{X}-1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X}+1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ という形をしています。区間の右端から左端を引いた「幅」は、

$\left(\overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) - \left(\overline{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 2\times1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

です。この幅が $4$ 以下になればよいので、次の不等式を作ります。$\sigma=20$ を代入します。

$2\times1.96\times\frac{20}{\sqrt{n}} \leq 4$

左辺の $2\times1.96\times20$ を計算します。

$2\times1.96\times20 = 78.4$

したがって、

$\frac{78.4}{\sqrt{n}} \leq 4$

両辺に $\sqrt{n}$ をかけます（$\sqrt{n}>0$なので不等号の向きは変わりません）。

$78.4 \leq 4\sqrt{n}$

両辺を $4$ で割ります。

$19.6 \leq \sqrt{n}$

両辺を2乗します（両辺とも正の数なので、不等号の向きは変わりません）。

$19.6^2 \leq n$

$19.6^2$ を計算します。$19.6^2 = 19.6\times19.6$ を計算すると、

$19.6\times19.6 = 384.16$

したがって、

$384.16 \leq n$

標本の大きさ $n$ は整数でなければならないので、$n\geq384.16$ を満たす最小の整数は $n=385$ です。

したがって、標本の大きさを385以上にすればよいです。

練習問題

問題1

母標準偏差が $15$ である母集団から、大きさ $225$ の標本を無作為に抽出したところ、標本平均が $60$ でした。母平均を、信頼度95%で区間推定しなさい。

答え

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{15}{15}=1$、$1.96\times1=1.96$ より、$58.04 \leq m \leq 61.96$

問題2

母標準偏差が $10$ である母集団から、大きさ $400$ の標本を無作為に抽出したところ、標本平均が $120$ でした。母平均を、信頼度99%で区間推定しなさい。

答え

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{10}{20}=0.5$、$2.58\times0.5=1.29$ より、$118.71 \leq m \leq 121.29$

問題3

母標準偏差が $30$ である母集団について、信頼度95%の信頼区間の幅を $3$ 以下にしたい。標本の大きさ $n$ をいくつ以上にすればよいか求めなさい。

答え

$2\times1.96\times\dfrac{30}{\sqrt{n}}\leq3$ より $\dfrac{117.6}{\sqrt{n}}\leq3$、$\sqrt{n}\geq39.2$、$n\geq39.2^2=1536.64$ なので $n=1537$ 以上。