数学A / 図形の性質
円と接線
要点整理
前のページでは、円に内接する四角形について学びました。今回は、円との関係の中でもとくによく使われる「接線(せっせん)」について学んでいきます。接線には、覚えておくと図形の問題がぐっと解きやすくなる、2つの大事な性質があります。順番に、なぜそうなるのかも含めて確認していきましょう。
接線・接点とは何か
まず言葉の確認です。円と1点だけで交わる(触れる)直線のことを接線といいます。そして、接線が円と触れているその1点のことを接点といいます。円の外側の1点を通り、円に接するように引いた直線をイメージしてください。
性質1:接線は接点を通る半径と垂直である
円の中心を$O$、接線を$\ell$、接点を$T$とします。このとき、次の関係が成り立ちます。
$OT \perp \ell$
ここで記号$\perp$は「垂直である」という意味です。つまり、中心$O$と接点$T$を結んだ半径$OT$は、接線$\ell$と直角に交わる、ということです。
なぜこうなるのか、考え方を確認しておきましょう。直線$\ell$上には、接点$T$以外にもたくさんの点がありますが、$T$以外の点はすべて円の外側にあります(接線は円と1点だけでしか交わらないからです)。ですから、中心$O$から直線$\ell$上の点までの距離を測ると、円の半径$r$と等しくなるのは接点$T$のときだけで、それ以外の点までの距離は必ず$r$より大きくなります。つまり、$OT$は「中心$O$から直線$\ell$までの距離の中で、最も短いもの」になっているのです。点と直線上の点との距離が最小になるのは、その点から直線に垂線を下ろしたときでしたね(中学校で学んだ性質です)。ですから、$OT$は$\ell$に対する垂線、つまり$OT \perp \ell$が成り立つ、というわけです。
この性質は、接線に関する問題で三平方の定理を使うときの土台になりますので、しっかり押さえておきましょう。
性質2:円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい
円$O$の外部に点$P$をとり、$P$から円$O$に接線を2本引きます。それぞれの接点を$A$、$B$とします。このとき、次の関係が成り立ちます。
$PA = PB$
これは「$P$から接点$A$までの長さ」と「$P$から接点$B$までの長さ」が等しい、という意味です。この長さのことを接線の長さと呼びます。
なぜこうなるのか、証明の考え方を見てみましょう。三角形$OAP$と三角形$OBP$を比べます。
- $OA = OB$($OA$、$OB$はどちらも円$O$の半径なので、長さが等しい)
- $OP = OP$(共通な辺)
- $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$(性質1より、半径は接点を通る接線と垂直だから)
直角三角形において、斜辺($OP$)と他の1辺($OA$と$OB$)がそれぞれ等しいので、三角形$OAP$と三角形$OBP$は合同です(直角三角形の合同条件「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」)。合同な図形では対応する辺の長さが等しいので、
$PA = PB$
が成り立ちます。さらに、この合同から$\angle APO = \angle BPO$、$\angle AOP = \angle BOP$も同時にわかります。つまり、線分$OP$は$\angle APB$も$\angle AOB$も、それぞれ半分に分けている(二等分している)ということです。これは例題3で実際に使いますので、覚えておいてください。
接線の長さの計算(三平方の定理の利用)
性質1により、三角形$OPT$(円の中心$O$、外部の点$P$、接点$T$でできる三角形)は、$T$を直角とする直角三角形になります。ですから、三平方の定理を使って、次のように接線の長さ$PT$を求めることができます。
$PT = \sqrt{OP^2 - r^2}$
ここで$r$は円$O$の半径、$OP$は中心$O$から外部の点$P$までの距離です。この式の使い方は、例題1で具体的に確認しましょう。
例題
例題1(基本)
問題
円$O$の半径は$5\,\text{cm}$です。円$O$の外部に点$P$があり、$OP = 13\,\text{cm}$です。点$P$から円$O$に引いた接線の接点を$T$とするとき、接線の長さ$PT$を求めなさい。
解答・解説を見る
まず、性質1「接線は接点を通る半径と垂直である」を使います。接点を$T$としているので、
$OT \perp PT$
が成り立ちます。つまり、三角形$OPT$は、頂点$T$の角が$90^\circ$の直角三角形です。
直角三角形なので、三平方の定理(直角三角形で、直角をはさむ2辺の長さをそれぞれ2乗して足すと、斜辺の長さの2乗に等しくなる、という定理)が使えます。斜辺は直角の向かい側の辺なので、この三角形では$OP$が斜辺です。よって、
$OP^2 = OT^2 + PT^2$
ここに、$OP = 13$、$OT = r = 5$(半径)を代入します。
$13^2 = 5^2 + PT^2$
左辺と右辺をそれぞれ計算します。$13^2 = 169$、$5^2 = 25$なので、
$169 = 25 + PT^2$
両辺から$25$を引きます。
$PT^2 = 169 - 25 = 144$
$PT$は長さなので正の値です。$144 = 12^2$なので、
$PT = \sqrt{144} = 12$
したがって、接線の長さは$PT = 12\,\text{cm}$です。
例題2(標準)
問題
三角形$ABC$があり、$AB = 8$、$BC = 9$、$CA = 7$です。この三角形に内接する円(3辺すべてに接する円)が、辺$BC$、辺$CA$、辺$AB$と接する点をそれぞれ$D$、$E$、$F$とします。このとき、線分$AF$、$BD$、$CE$の長さをそれぞれ求めなさい。
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内接円は3辺すべてに接する円なので、頂点$A$、$B$、$C$のそれぞれから見ると、「その頂点から引いた2本の接線」の関係になっていることに注目します。
- 頂点$A$から見ると、辺$AB$上の接点$F$と辺$CA$上の接点$E$は、どちらも「点$A$から円に引いた接線の接点」です。よって性質2より、$AF = AE$が成り立ちます。この長さを$x$とおきます。
- 頂点$B$から見ると、接点$F$と接点$D$は、どちらも「点$B$から円に引いた接線の接点」です。よって$BF = BD$が成り立ちます。この長さを$y$とおきます。
- 頂点$C$から見ると、接点$D$と接点$E$は、どちらも「点$C$から円に引いた接線の接点」です。よって$CD = CE$が成り立ちます。この長さを$z$とおきます。
いま、辺$AB$は点$F$によって$AF$と$FB$に分けられているので、
$AB = AF + FB = x + y$
同じように考えると、
$BC = BD + DC = y + z$
$CA = CE + EA = z + x$
問題の条件$AB = 8$、$BC = 9$、$CA = 7$を代入すると、次の3つの式が得られます。
$x + y = 8 \quad \text{…①}$
$y + z = 9 \quad \text{…②}$
$z + x = 7 \quad \text{…③}$
①、②、③の左辺どうし、右辺どうしをすべて足してみます。
$(x+y) + (y+z) + (z+x) = 8 + 9 + 7$
左辺は$x$、$y$、$z$がそれぞれ2回ずつ出てくるので、
$2(x+y+z) = 24$
両辺を$2$でわると、
$x + y + z = 12 \quad \text{…④}$
④から②を引くと、$x+y+z - (y+z) = 12 - 9$より、
$x = 3$
④から③を引くと、$x+y+z - (z+x) = 12 - 7$より、
$y = 5$
④から①を引くと、$x+y+z - (x+y) = 12 - 8$より、
$z = 4$
念のため①〜③に代入して確認します。①:$3+5=8$、②:$5+4=9$、③:$4+3=7$となり、すべて成り立っています。
したがって、$AF = 3$、$BD = 5$、$CE = 4$です。
例題3(応用)
問題
円$O$の半径を$r$とします。円$O$の外部の点$P$から2本の接線を引き、接点をそれぞれ$A$、$B$とします。$\angle APB = 60^\circ$のとき、次の問いに答えなさい。
(1) $\angle AOB$の大きさを求めなさい。 (2) 四角形$OAPB$の面積を$r$を用いて表しなさい。
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(1) $\angle AOB$を求める
性質1より、半径は接点を通る接線と垂直なので、
$\angle OAP = 90^\circ, \qquad \angle OBP = 90^\circ$
四角形$OAPB$の内角の和は$360^\circ$なので、
$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle PBO = 360^\circ$
わかっている角の大きさを代入します。
$\angle AOB + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ$
左辺の数の部分をまとめると、
$\angle AOB + 240^\circ = 360^\circ$
両辺から$240^\circ$を引いて、
$\angle AOB = 120^\circ$
(2) 四角形$OAPB$の面積を求める
性質2の証明でも確認したとおり、三角形$OAP$と三角形$OBP$は合同です($OA=OB=r$、$OP$共通、$\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$より、直角三角形の合同条件「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」が成り立つため)。合同な図形では対応する角の大きさも等しいので、この合同によって$\angle APB$と$\angle AOB$はそれぞれ半分ずつに分けられます。
$\angle APO = \angle BPO = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
$\angle AOP = \angle BOP = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$
そこで、三角形$OAP$だけに注目します。この三角形は$\angle OAP = 90^\circ$の直角三角形で、$\angle APO = 30^\circ$、辺$OA = r$です。
まず辺$AP$の長さを求めます。角$\angle APO$から見て、$OA$は「向かい側の辺(対辺)」、$AP$は「隣りの辺(隣辺)」にあたるので、正接(タンジェント)の定義より、
$\tan(\angle APO) = \frac{OA}{AP}$
$\angle APO = 30^\circ$を代入すると、
$\tan 30^\circ = \frac{OA}{AP}$
$\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$(三角比の表で確認できる値)なので、
$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{r}{AP}$
この式を$AP$について解きます。両辺に$AP$をかけて、
$\frac{\sqrt{3}}{3} \, AP = r$
両辺に$\dfrac{3}{\sqrt{3}}$をかけると、
$AP = r \times \frac{3}{\sqrt{3}} = r\sqrt{3}$
(途中で$\dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$と約分しています。)
三角形$OAP$の面積は、直角をはさむ2辺$OA$と$AP$を使って、
$\triangle OAP = \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} \times r \times r\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}r^2$
四角形$OAPB$は、対角線$OP$によって、合同な三角形$OAP$と三角形$OBP$の2つに分けられているので、
$OAPB = \triangle OAP + \triangle OBP = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}r^2 = \sqrt{3}\,r^2$
したがって、四角形$OAPB$の面積は$\sqrt{3}\,r^2$です。
練習問題
問題
円$O$の半径は$7\,\text{cm}$です。円$O$の外部に点$P$があり、$OP = 25\,\text{cm}$です。点$P$から円$O$に引いた接線の接点を$T$とするとき、接線の長さ$PT$を求めなさい。
答え
$PT = 24\,\text{cm}$
(考え方:性質1より$OT \perp PT$なので、三角形$OPT$は直角三角形です。三平方の定理より$OP^2 = OT^2 + PT^2$なので、$25^2 = 7^2 + PT^2$、すなわち$625 = 49 + PT^2$。よって$PT^2 = 576$、$PT = \sqrt{576} = 24$となります。)