数学II / 図形と方程式
円と直線の位置関係
要点整理
前のトピック「円の方程式」で学んだとおり、中心が $(a, b)$、半径が $r$ の円は
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
と表されるのでした。この式はすでに知っている前提として、ここでは「円」と「直線」を同時に考えたときに、2つの図形がどのように交わるのかを調べていきます。
円と直線の位置関係には、次の3パターンしかありません。
- 2点で交わる(直線が円を貫いている)
- 接する(直線が円にぴったり触れていて、共有点が1個だけ)
- 共有点をもたない(直線と円が離れている)
これを判定する方法は2通りあります。順番に見ていきましょう。
方法1:連立方程式の判別式を使う
円の方程式と直線の方程式を連立させると、$x$(または $y$)についての2次方程式が得られます。この2次方程式の実数解の個数が、そのまま円と直線の共有点の個数になります。
具体例で確認してみます。円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=x+1$ を考えます。
まず、直線の式 $y=x+1$ を円の式に代入します。
$x^2+(x+1)^2=5$
右辺の $(x+1)^2$ を展開します。
$x^2+x^2+2x+1=5$
同類項(同じ文字の同じ次数の項)をまとめます。
$2x^2+2x+1=5$
両辺から $5$ を引いて、右辺を $0$ にします。
$2x^2+2x-4=0$
両辺を $2$ で割って係数を簡単にします。
$x^2+x-2=0$
これを因数分解します。積が $-2$、和が $1$ になる2数は $2$ と $-1$ なので、
$(x+2)(x-1)=0$
よって $x=-2$ または $x=1$ という、2個の実数解が出てきました。つまりこの円と直線は2点で交わることが分かります。
このとき使った「2次方程式が実数解をいくつもつか」を調べる道具が判別式です。2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ に対して、
$D=b^2-4ac$
を判別式と呼びます。上の例では $x^2+x-2=0$ なので $a=1,\ b=1,\ c=-2$ となり、
$D=1^2-4\times1\times(-2)=1+8=9$
となります。$D=9>0$ なので実数解が2個、つまり円と直線は2点で交わる、という結果と一致します。
一般に、円の方程式に直線の方程式を代入してできる2次方程式の判別式を $D$ とすると、次のように位置関係が判定できます。
- $D>0$ のとき:2点で交わる
- $D=0$ のとき:接する(共有点は1個)
- $D<0$ のとき:共有点をもたない
方法2:中心と直線の距離を使う
もう1つの方法は、円の中心から直線までの距離 $d$ と、円の半径 $r$ の大きさを比べる方法です。ここで、点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ との距離は、
$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
という式で求められるのでした(この公式自体は以前の学習内容なので、ここでは思い出す程度にとどめます)。
先ほどと同じ例で確かめてみましょう。円 $x^2+y^2=5$ の中心は原点 $(0,0)$、半径は $r=\sqrt{5}$ です。直線 $y=x+1$ は、右辺を左辺に移項して $x-y+1=0$ と書き直せます。これは $a=1,\ b=-1,\ c=1$ の形なので、中心 $(0,0)$ から直線までの距離は、
$d=\frac{|1\times0+(-1)\times0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
となります。$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ はおよそ $0.71$、半径 $r=\sqrt{5}$ はおよそ $2.24$ なので、$d 一般に、円の中心と直線の距離を $d$、円の半径を $r$ とすると、次のように位置関係が判定できます。 方法1は交点の座標まで具体的に求められるのが利点ですが、計算がやや大変です。方法2は交点の座標までは分かりませんが、位置関係の判定だけなら計算が速いという利点があります。問題に応じて使い分けましょう。 円と直線が接するとき、その直線を円の接線、共有点を接点と呼びます。接線には「接点を通る半径と垂直に交わる」という性質があります(円の基本的な性質として、これまでの学習でなじみがあるはずです)。 この性質を使って、原点を中心とする円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $P(x_1,y_1)$(つまり $x_1^2+y_1^2=r^2$ を満たす点)における接線の式を導いてみましょう。 $x_1\neq0,\ y_1\neq0$ の場合を考えます。半径 $OP$ の傾きは $\dfrac{y_1}{x_1}$ です。接線は半径 $OP$ と垂直なので、接線の傾きはその逆数に負の符号をつけた $-\dfrac{x_1}{y_1}$ になります。点 $P(x_1,y_1)$ を通り、傾きが $-\dfrac{x_1}{y_1}$ の直線の式は、 $y-y_1=-\frac{x_1}{y_1}(x-x_1)$ 両辺に $y_1$ をかけて分母を払います。 $y_1(y-y_1)=-x_1(x-x_1)$ 両辺を展開します。 $y_1y-y_1^2=-x_1x+x_1^2$ $-x_1x$ を左辺に、$-y_1^2$ を右辺に移項します。 $x_1x+y_1y=x_1^2+y_1^2$ ここで、点 $P$ は円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点なので $x_1^2+y_1^2=r^2$ が成り立ちます。これを右辺に代入すると、 $x_1x+y_1y=r^2$ という接線の公式が得られます。この式は $x_1=0$ や $y_1=0$ の場合にもそのまま成り立ちます。 なお、中心が $(a,b)$、半径が $r$ の円の上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は、同じ考え方で $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$ と表せます。 問題 円 $x^2+y^2=13$ と直線 $y=2x+1$ の位置関係を調べ、共有点があればその座標をすべて求めなさい。 直線の式 $y=2x+1$ を円の式に代入します。 $x^2+(2x+1)^2=13$ $(2x+1)^2$ を展開します。 $x^2+4x^2+4x+1=13$ 同類項をまとめます。 $5x^2+4x+1=13$ 両辺から $13$ を引きます。 $5x^2+4x-12=0$ 判別式 $D=b^2-4ac$ を計算します。$a=5,\ b=4,\ c=-12$ なので、 $D=4^2-4\times5\times(-12)=16+240=256$ $D=256>0$ なので、実数解が2個あります。つまり、この円と直線は2点で交わります。 続けて、2次方程式 $5x^2+4x-12=0$ を解の公式で解きます。$\sqrt{D}=\sqrt{256}=16$ なので、 $x=\frac{-4\pm16}{2\times5}=\frac{-4\pm16}{10}$ 複号を分けて計算します。 $x=\frac{-4+16}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}, \qquad x=\frac{-4-16}{10}=\frac{-20}{10}=-2$ それぞれの $x$ の値を $y=2x+1$ に代入して $y$ を求めます。 $x=\dfrac{6}{5}$ のとき、 $y=2\times\frac{6}{5}+1=\frac{12}{5}+\frac{5}{5}=\frac{17}{5}$ $x=-2$ のとき、 $y=2\times(-2)+1=-4+1=-3$ 以上より、共有点は $\left(\dfrac{6}{5},\ \dfrac{17}{5}\right)$ と $(-2,-3)$ の2点です。 (検算)$(-2,-3)$ が円 $x^2+y^2=13$ 上にあるか確認すると、$(-2)^2+(-3)^2=4+9=13$ となり成り立ちます。$\left(\dfrac{6}{5},\dfrac{17}{5}\right)$ についても $\left(\dfrac{6}{5}\right)^2+\left(\dfrac{17}{5}\right)^2=\dfrac{36}{25}+\dfrac{289}{25}=\dfrac{325}{25}=13$ となり、こちらも成り立っています。 問題 円 $x^2+y^2=8$ と直線 $y=x+k$ が接するとき、定数 $k$ の値と、そのときの接点の座標を求めなさい。 円の中心と直線の距離を使う方法(方法2)で考えます。 円 $x^2+y^2=8$ の中心は原点 $(0,0)$、半径は $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ です。 直線 $y=x+k$ を $ax+by+c=0$ の形に書き直すと、$x-y+k=0$ となります。この直線と原点 $(0,0)$ との距離 $d$ は、 $d=\frac{|1\times0+(-1)\times0+k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|k|}{\sqrt{2}}$ 円と直線が接するのは $d=r$ のときなので、 $\frac{|k|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ 両辺に $\sqrt{2}$ をかけます。 $|k|=2\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\times2=4$ よって $k=4$ または $k=-4$ です。 次に、接点の座標を求めます。$k=4$ のとき、直線は $y=x+4$ です。これを円の式に代入します。 $x^2+(x+4)^2=8$ $(x+4)^2$ を展開します。 $x^2+x^2+8x+16=8$ 同類項をまとめます。 $2x^2+8x+16=8$ 両辺から $8$ を引きます。 $2x^2+8x+8=0$ 両辺を $2$ で割ります。 $x^2+4x+4=0$ 左辺は $(x+2)^2$ の形に因数分解できます。 $(x+2)^2=0$ よって $x=-2$(重解)です。接するときは共有点が1個なので、判別式が $0$ になる(=重解をもつ)ことと対応しています。$x=-2$ を $y=x+4$ に代入すると、$y=-2+4=2$ となるので、接点は $(-2,2)$ です。 同様に $k=-4$ のときは、直線 $y=x-4$ と円の式から $x^2-4x+4=0$、すなわち $(x-2)^2=0$ となり $x=2$、$y=2-4=-2$ となるので、接点は $(2,-2)$ です。 (検算)接点 $(-2,2)$ が円 $x^2+y^2=8$ 上にあるか確認すると、$(-2)^2+2^2=4+4=8$ となり成り立ちます。 したがって、$k=4$ のとき接点は $(-2,2)$、$k=-4$ のとき接点は $(2,-2)$ です。 問題 円 $x^2+y^2=5$ の外部にある点 $A(3,1)$ から、この円に引いた2本の接線の方程式をそれぞれ求めなさい。 まず、点 $A(3,1)$ が円 $x^2+y^2=5$ の外部にあることを確認します。$3^2+1^2=9+1=10$ となり、これは半径の2乗 $5$ より大きいので、点 $A$ は円の外部にあります。円の外部の点からは、接線がちょうど2本引けます。 点 $A(3,1)$ を通る直線のうち、$x$軸に垂直でないもの(傾きが定義できるもの)を、傾きを $m$ として表します。点 $A$ を通り傾き $m$ の直線の式は、 $y-1=m(x-3)$ 右辺を展開して整理すると、 $y=mx-3m+1$ これを $ax+by+c=0$ の形に書き直すと、 $mx-y+(1-3m)=0$ となります。円 $x^2+y^2=5$ の中心は原点 $(0,0)$、半径は $r=\sqrt{5}$ です。この直線が円に接するのは、原点からこの直線までの距離が半径 $\sqrt{5}$ に等しいときなので、 $\frac{|m\times0-0+(1-3m)|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=\sqrt{5}$ 分子を整理します。 $\frac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5}$ 両辺に $\sqrt{m^2+1}$ をかけます。 $|1-3m|=\sqrt{5}\times\sqrt{m^2+1}=\sqrt{5(m^2+1)}$ 両辺を2乗して絶対値と根号を外します。 $(1-3m)^2=5(m^2+1)$ 左辺を展開します。 $1-6m+9m^2=5m^2+5$ 右辺の項をすべて左辺に移項します。 $9m^2-6m+1-5m^2-5=0$ 同類項をまとめます。 $4m^2-6m-4=0$ 両辺を $2$ で割ります。 $2m^2-3m-2=0$ これを因数分解します。積が $2\times(-2)=-4$、和が $-3$ になる2数は $-4$ と $1$ なので、 $2m^2-4m+m-2=0$ $2m(m-2)+(m-2)=0$ $(2m+1)(m-2)=0$ よって $m=-\dfrac{1}{2}$ または $m=2$ です。 ここで念のため、傾きが定義できない場合、つまり点 $A(3,1)$ を通る垂直な直線 $x=3$ も接線になっていないか確認します。原点から直線 $x=3$ までの距離は $3$ であり、これは半径 $\sqrt{5}$(およそ $2.24$)と異なるので、$x=3$ は接線ではありません。したがって、接線は傾きが定義できる2本、$m=-\dfrac{1}{2}$ と $m=2$ の場合だけです。 最後に、それぞれの $m$ を $y=mx-3m+1$ に代入して接線の式を求めます。 $m=2$ のとき、 $y=2x-3\times2+1=2x-6+1=2x-5$ $m=-\dfrac{1}{2}$ のとき、 $y=-\frac{1}{2}x-3\times\left(-\frac{1}{2}\right)+1=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ (検算)直線 $y=2x-5$、すなわち $2x-y-5=0$ について、原点からの距離は $\dfrac{|-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ となり、半径と一致します。 したがって、点 $A(3,1)$ から円 $x^2+y^2=5$ に引いた2本の接線は、 $y=2x-5, \qquad y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ です。 問題 円 $x^2+y^2=10$ と直線 $y=-x+2$ の位置関係を調べ、共有点があればその座標をすべて求めなさい。 直線 $y=-x+2$ を円の式に代入すると、 $x^2+(-x+2)^2=10$ を展開・整理すると $2x^2-4x-6=0$、両辺を $2$ で割ると $x^2-2x-3=0$ となります。判別式は $D=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0$ なので、2点で交わります。 因数分解すると $(x-3)(x+1)=0$ より $x=3$ または $x=-1$ です。それぞれ $y=-x+2$ に代入すると、$x=3$ のとき $y=-1$、$x=-1$ のとき $y=3$ となります。 よって、共有点は $(3,-1)$ と $(-1,3)$ の2点です。
円の接線の求め方
例題
例題1(基本)
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例題3(応用)
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練習問題
答え