一般角と弧度法

要点整理

一般角とは何か

中学校や数学Ⅰでは、角度は $0°$ から $180°$ までの範囲で考えることがほとんどでした。しかし数学Ⅱでは、角度をもっと自由に、$360°$ を超えたり、負の数になったりする場合まで考えます。これを一般角といいます。

一般角を考えるときは、次のように角を「回転」としてとらえます。

• 原点 $O$ から出発する半直線を1本引き、これを始線と呼びます(ふつうは $x$ 軸の正の部分にとります)。
• 始線を原点を中心にくるっと回転させた半直線を動径と呼びます。
• 回転の向きが反時計回り(左回り)のとき、角度を正とします。
• 回転の向きが時計回り(右回り)のとき、角度を負とします。

例えば、動径が反時計回りに $1$ 周と $30°$ ぶん回転した状態は、角度としては $360° + 30° = 390°$ と表せます。また、時計回りに $30°$ 回転した状態は $-30°$ と表せます。

大事な性質として、動径が同じ位置にある角(これを動径が一致するといいます)は、もとの角に $360°$ の整数倍を足したものすべてです。角 $\theta$ と動径が一致する角は、$n$ を整数として

$\theta + 360° \times n$

と表せます。例えば $30°$ と動径が一致する角は、$30°, \ 390°, \ 750°, \ -330°, \ -690°, \ \ldots$ のように無数にあります。

弧度法(ラジアン)とは何か

これまで角度の単位として「度(°)」を使ってきましたが、数学Ⅱ以降では弧度法という新しい単位を使います。単位は**ラジアン(radian)**です。

弧度法の定義は次の通りです。

半径 $r$ の円において、長さ $r$(半径と同じ長さ)の弧に対応する中心角の大きさを $1$ ラジアンとする。

つまり、「弧の長さが半径の何倍か」という比の値で角度を表す、という考え方です。半径 $r$ の円で、中心角 $\theta$ ラジアンに対応する弧の長さを $l$ とすると、

$\theta = \frac{l}{r}$

という関係になります。弧の長さも半径も同じ「長さ」の単位なので、この比 $\dfrac{l}{r}$ には単位が付きません。そのため、ラジアンを表すときは単位の「rad」を省略して、ただの数として書くことが多いです(例えば $\dfrac{\pi}{3}$ ラジアンを単に $\dfrac{\pi}{3}$ と書きます)。

度とラジアンの変換

半径 $r$ の円周の長さは $2\pi r$ です。円周は中心角 $360°$ に対応する弧でもあるので、$360°$ をラジアンで表すと、

$360° = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi$

となります。両辺を $2$ で割ると、

$180° = \pi$

という、度とラジアンの変換の基本になる関係式が得られます。ここから、次の変換公式が作れます。

• 度からラジアンへ: $180°$ が $\pi$ に対応するので、$1° = \dfrac{\pi}{180}$ です。よって $x°$ をラジアンに直すには、$x° \times \dfrac{\pi}{180}$ を計算します。
• ラジアンから度へ: 同じ式を逆に使って、$\theta$ ラジアンを度に直すには、$\theta \times \dfrac{180}{\pi}$ を計算します。

代表的な角の対応を表にまとめます(覚えておくと計算がとても速くなります)。

度	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$	$270°$	$360°$
ラジアン	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

扇形の弧の長さと面積

半径 $r$、中心角 $\theta$ ラジアンの扇形を考えます。

弧の長さ $l$: 弧度法の定義そのものから、$\theta = \dfrac{l}{r}$ なので、両辺に $r$ をかけて、

$l = r\theta$

面積 $S$: 扇形の面積は、中心角に比例します。全体の円(中心角 $2\pi$、面積 $\pi r^2$)に対して、中心角が $\theta$ の扇形は全体の $\dfrac{\theta}{2\pi}$ 倍なので、

$S = \pi r^2 \times \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1}{2} r^2 \theta$

さらに、$l = r\theta$ を使うと $\theta = \dfrac{l}{r}$ なので、これを代入すると、

$S = \frac{1}{2} r^2 \cdot \frac{l}{r} = \frac{1}{2} r l$

という、弧の長さ $l$ を使った面積の公式も得られます。

例題

例題1(基本)

問題 次の角度をラジアンで表しなさい。また、$\dfrac{5\pi}{4}$ ラジアンを度で表しなさい。 (1) $210°$ (2) $-120°$

解答・解説を見る

(1) 度からラジアンに直すには $\dfrac{\pi}{180}$ をかけます。

$210° = 210 \times \frac{\pi}{180}$

まず $210$ と $180$ を約分します。$210$ と $180$ の最大公約数は $30$ なので、

$\frac{210}{180} = \frac{7}{6}$

よって、

$210° = \frac{7}{6}\pi$

(2) 同じように $\dfrac{\pi}{180}$ をかけます。

$-120° = -120 \times \frac{\pi}{180}$

$120$ と $180$ の最大公約数は $60$ なので、

$\frac{120}{180} = \frac{2}{3}$

よって、

$-120° = -\frac{2}{3}\pi$

$\dfrac{5\pi}{4}$ を度に直す: ラジアンから度に直すには $\dfrac{180}{\pi}$ をかけます。

$\frac{5\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{5 \times 180}{4} = \frac{900}{4} = 225$

よって $\dfrac{5\pi}{4}$ ラジアンは $225°$ です。

例題2(標準)

問題 $\theta = \dfrac{11\pi}{3}$ で表される角について、次の問いに答えなさい。 (1) この角と動径が一致する角のうち、$0$ 以上 $2\pi$ 未満のものを求めなさい。 (2) この角は第何象限の角か答えなさい。

解答・解説を見る

(1) 動径が一致する角は、もとの角に $2\pi$ の整数倍を加えたもの(度でいう $360°$ の整数倍にあたるのが、ラジアンでは $2\pi$ の整数倍です)。$\theta = \dfrac{11\pi}{3}$ から $2\pi = \dfrac{6\pi}{3}$ を引いてみます。

$\frac{11\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

$\dfrac{5\pi}{3}$ は $0$ 以上 $2\pi\left(=\dfrac{6\pi}{3}\right)$ 未満の範囲に入っているので、これが求める角です。

(2) (1)で求めた $\dfrac{5\pi}{3}$ を度に直して考えると分かりやすくなります。$\dfrac{5\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{5 \times 180}{3} = 300°$ です。

$270° < 300° < 360°$ なので、この角の動径は第4象限にあります。よって、この角は第4象限の角です。

例題3(応用)

問題 半径が $6$、中心角が $\dfrac{2\pi}{3}$ の扇形について、弧の長さ $l$ と面積 $S$ を求めなさい。

解答・解説を見る

弧の長さの公式 $l = r\theta$ に、$r = 6$、$\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ を代入します。

$l = 6 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{12\pi}{3} = 4\pi$

次に面積の公式 $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ に代入します。

$S = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{2\pi}{3}$

まず $\dfrac{1}{2} \times 36 = 18$ を計算し、

$S = 18 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{36\pi}{3} = 12\pi$

よって、弧の長さは $l = 4\pi$、面積は $S = 12\pi$ です。

なお、$S = \dfrac{1}{2}rl$ の公式を使って検算すると、$S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4\pi = 12\pi$ となり、同じ答えが得られます。

練習問題

問題 次の各問いに答えなさい。 (1) $135°$ をラジアンで表しなさい。 (2) $-\dfrac{7\pi}{6}$ を度で表しなさい。 (3) 半径 $4$、弧の長さ $3\pi$ の扇形の中心角(ラジアン)と面積を求めなさい。

答え

(1) $135° = 135 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}$

(2) $-\dfrac{7\pi}{6} \times \dfrac{180}{\pi} = -\dfrac{7 \times 180}{6} = -210°$

(3) $\theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{3\pi}{4}$、面積は $S = \dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 3\pi = 6\pi$