数学C / ベクトル
ベクトルの基本(和・差・実数倍)
要点整理
ベクトルとは何か
数学ではこれまで、長さや面積、時間のように「大きさ」だけを持つ量をたくさん扱ってきました。これに対して、ベクトルとは「大きさ」と「向き」の両方をあわせ持つ量のことです。
たとえば「東向きに $3$ の力」と「北向きに $3$ の力」は、大きさはどちらも $3$ で同じですが、向きが違うのでベクトルとしては別物です。ベクトルは、このような「向きのある量」を矢印を使って表す道具です。
ベクトルは、始点(矢の出発点)から終点(矢の先端)への矢印として図に表します。点 $\mathrm{A}$ から点 $\mathrm{B}$ に向かう矢印を、記号で
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
と書きます。$\mathrm{A}$ が始点、$\mathrm{B}$ が終点です。また、始点や終点を指定せず、1つのベクトルを文字だけで表すときは、$\vec{a}$、$\vec{b}$ のように文字の上に矢印をつけて書きます。
ベクトル $\vec{a}$ の大きさ(矢印の長さ)は、絶対値の記号を使って $|\vec{a}|$ と書きます。同じように、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の大きさは $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ と書き、これは線分 $\mathrm{AB}$ の長さそのものです。
ベクトルが等しいとはどういうことか
2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が等しい($\vec{a} = \vec{b}$ と書きます)とは、「大きさが等しく、かつ向きが同じ」ということです。
ここで大事な注意があります。ベクトルは、始点の位置がどこにあっても、大きさと向きさえ同じであれば同じベクトルとみなします。つまり、ベクトルは平行移動しても変わらない量なのです。たとえば、点 $\mathrm{A}$ から点 $\mathrm{B}$ への矢印 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を、向きと長さを変えずにそのまま平行移動させて点 $\mathrm{C}$ から点 $\mathrm{D}$ への矢印にしたとすると、$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{CD}}$ です。
また、大きさが $0$ のベクトルを零ベクトルといい、$\vec{0}$ と書きます。零ベクトルは始点と終点が一致していて、向きは考えません。
逆ベクトル
ベクトル $\vec{a}$ と大きさが等しく、向きが反対のベクトルを、$\vec{a}$ の逆ベクトルといい、$-\vec{a}$ と書きます。図でいうと、矢印の向きをくるっと $180$ 度反転させたものです。
たとえば $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の逆ベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ です。始点と終点を入れ替えると、向きがちょうど反対になるからです。式で書くと
$-\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{BA}}$
です。
ベクトルの和(足し算)
2つのベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ の和 $\vec{a} + \vec{b}$ は、次のように作ります。
- まず $\vec{a}$ を好きな点(たとえば点 $\mathrm{A}$)を始点として矢印で描きます。終点を $\mathrm{B}$ とします。つまり $\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ です。
- 次に、$\vec{b}$ の始点を、先ほどの $\vec{a}$ の終点 $\mathrm{B}$ に合わせて描きます。終点を $\mathrm{C}$ とします。つまり $\vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ です。
- このとき、和 $\vec{a} + \vec{b}$ は、最初の始点 $\mathrm{A}$ から最後の終点 $\mathrm{C}$ へ向かう矢印 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ になります。
式で表すと、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
これを三角形の法則と呼びます。「途中の点 $\mathrm{B}$ が消えて、最初と最後だけが残る」というイメージを持つと覚えやすいです。
ベクトルの和には、次の性質があります(数の足し算と同じです)。
- 交換法則: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
- 結合法則: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
- $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
交換法則が成り立つことは、平行四辺形を使って確かめられます。始点をそろえて $\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}$、$\vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ を描き、これらを2辺とする平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ を作ると、対角線 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ が $\vec{a} + \vec{b}$ を表すことも、$\vec{b} + \vec{a}$ を表すこともわかります(どちらの順で足しても対角線は同じものになるからです)。
ベクトルの差(引き算)
ベクトルの引き算 $\vec{a} - \vec{b}$ は、「$\vec{b}$ の逆ベクトルを足す」ことと定義します。つまり、
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$
です。
図で作図するときは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の始点をそろえて描くと便利です。$\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ のように同じ始点 $\mathrm{O}$ から描くと、
$\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{\mathrm{BA}}$
となります。つまり、$\vec{a} - \vec{b}$ は「引く方のベクトルの終点 $\mathrm{B}$」から「引かれる方のベクトルの終点 $\mathrm{A}$」に向かう矢印です。「$\mathrm{B}$ から $\mathrm{A}$」、つまり引き算の記号の並び $\vec{a} - \vec{b}$ の順番とは矢印の向きが逆になる点に注意してください。
これは次のように確かめられます。$\overrightarrow{\mathrm{BA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を三角形の法則で計算すると、$\overrightarrow{\mathrm{BA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}$(始点 $\mathrm{O}$ の位置に注意して並べ替えると $\overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{BA}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}$)となるので、$\overrightarrow{\mathrm{BA}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}}$、すなわち $\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{BA}}$ が確かめられます。
ベクトルの実数倍
ベクトル $\vec{a}$ と実数 $k$ に対して、$k\vec{a}$ を次のように定めます。
- $k > 0$ のとき: $k\vec{a}$ は $\vec{a}$ と同じ向きで、大きさが $|\vec{a}|$ の $k$ 倍のベクトルです。
- $k < 0$ のとき: $k\vec{a}$ は $\vec{a}$ と反対の向きで、大きさが $|\vec{a}|$ の $|k|$ 倍のベクトルです。
- $k = 0$ のとき: $k\vec{a} = \vec{0}$ です。
たとえば $2\vec{a}$ は $\vec{a}$ と同じ向きで長さが $2$ 倍、$-\dfrac{1}{2}\vec{a}$ は $\vec{a}$ と反対向きで長さが半分のベクトルです。
実数倍については、次の性質が成り立ちます。
- $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
- $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$
- $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$
これらは、文字の式(多項式)の計算規則とそっくりです。ベクトルの計算は、文字式の計算とほとんど同じ感覚で進めることができます。
ベクトルの平行条件
$\vec{a} \neq \vec{0}$、$\vec{b} \neq \vec{0}$ のとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行である($\vec{a} \parallel \vec{b}$ と書きます)ための条件は、
$\vec{b} = k\vec{a} \text{ となる実数 } k \text{ が存在すること}$
です。$k$ が正なら同じ向き、負なら反対向きに平行、ということになります。
例題
例題1(基本)
問題
四角形 $\mathrm{ABCD}$ が平行四辺形であるとき、$\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ を、$\mathrm{A}$ を始点とする1つのベクトルで表しなさい。
解答・解説を見る
平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ では、辺 $\mathrm{AB}$ と辺 $\mathrm{DC}$ が平行で長さが等しく、向きも「$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$」「$\mathrm{D}$ から $\mathrm{C}$」とそろっています。したがって、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{DC}}$
が成り立ちます。
ここで、$\overrightarrow{\mathrm{AD}} + \overrightarrow{\mathrm{DC}}$ を三角形の法則で計算します。三角形の法則は「途中の点(ここでは $\mathrm{D}$)が消えて、最初の始点と最後の終点だけが残る」という規則でした。始点 $\mathrm{A}$、途中点 $\mathrm{D}$、終点 $\mathrm{C}$ なので、
$\overrightarrow{\mathrm{AD}} + \overrightarrow{\mathrm{DC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
さきほど $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{DC}}$ とわかったので、この式の $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ に置き換えます。
$\overrightarrow{\mathrm{AD}} + \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
和は順番を入れ替えてもよい(交換法則)ので、左辺を並べ替えると、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
これが答えです。図形的に見ても、平行四辺形の2辺 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$、$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ の和が対角線 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ になるのは自然な結果です。
答え: $\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
例題2(標準)
問題
$\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて、次の式を簡単にしなさい。
$2(\vec{a} + 3\vec{b}) - 3(\vec{a} + \vec{b})$
解答・解説を見る
この計算は、文字式の展開・整理とまったく同じ手順で進めます。
まず、分配法則 $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ を使って、それぞれのかっこを展開します。
$2(\vec{a} + 3\vec{b}) = 2\vec{a} + 2 \cdot 3\vec{b} = 2\vec{a} + 6\vec{b}$
$3(\vec{a} + \vec{b}) = 3\vec{a} + 3\vec{b}$
これらを元の式に代入します。
$2(\vec{a} + 3\vec{b}) - 3(\vec{a} + \vec{b}) = (2\vec{a} + 6\vec{b}) - (3\vec{a} + 3\vec{b})$
かっこを外します。後ろのかっこの前が $-$(マイナス)なので、中の符号がすべて反転することに注意します。
$= 2\vec{a} + 6\vec{b} - 3\vec{a} - 3\vec{b}$
$\vec{a}$ の項どうし、$\vec{b}$ の項どうしをまとめます。$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$ を逆向きに使うイメージです。
$= (2 - 3)\vec{a} + (6 - 3)\vec{b}$
$= -\vec{a} + 3\vec{b}$
答え: $-\vec{a} + 3\vec{b}$
例題3(応用)
問題
$\triangle \mathrm{OAB}$ において、辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表しなさい。
解答・解説を見る
$\mathrm{M}$ は辺 $\mathrm{AB}$ の中点なので、$\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \overrightarrow{\mathrm{MB}}$ が成り立ちます。まずこの関係をベクトルの式にします。
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ は、点 $\mathrm{A}$ から点 $\mathrm{M}$ への矢印なので、始点をそろえたベクトルの引き算の考え方(点 $\mathrm{O}$ を基準に考えます)を使うと、
$\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \overrightarrow{\mathrm{OM}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
これは「$\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{BA}}$」の考え方(引く方の終点から引かれる方の終点への矢印)を、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{M}$ への矢印にあてはめたものです。
同じように、
$\overrightarrow{\mathrm{MB}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} - \overrightarrow{\mathrm{OM}}$
$\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \overrightarrow{\mathrm{MB}}$ なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OM}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} - \overrightarrow{\mathrm{OM}}$
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ を含む項を左辺に、それ以外を右辺に移項します。左辺の $-\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ を右辺に移すと $+\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ になり、右辺の $-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ を左辺に移すと符号が反転して右辺は $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ のみになります。丁寧に1つずつ移項すると、
$\overrightarrow{\mathrm{OM}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} - \overrightarrow{\mathrm{OM}}$
の両辺に $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ を加えます。
$\overrightarrow{\mathrm{OM}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OM}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} - \overrightarrow{\mathrm{OM}} + \overrightarrow{\mathrm{OM}}$
$2\overrightarrow{\mathrm{OM}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
さらに両辺に $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ を加えます。
$2\overrightarrow{\mathrm{OM}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
両辺を $2$ で割ります(ベクトルを実数 $\dfrac{1}{2}$ 倍することにあたります)。
$\overrightarrow{\mathrm{OM}} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}$ を代入して、
答え: $\overrightarrow{\mathrm{OM}} = \dfrac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \dfrac{1}{2}\vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}$
これは「中点の位置ベクトルは、両端の位置ベクトルの平均になる」という、とても重要な結果です。この単元の後半で何度も使うので、ぜひ覚えておきましょう。
練習問題
問題1
次の式を簡単にしなさい。
$3(2\vec{a} - \vec{b}) - 2(\vec{a} - 2\vec{b})$
答え
$4\vec{a} + \vec{b}$
(解説: $3(2\vec{a} - \vec{b}) = 6\vec{a} - 3\vec{b}$、$2(\vec{a} - 2\vec{b}) = 2\vec{a} - 4\vec{b}$ なので、$(6\vec{a} - 3\vec{b}) - (2\vec{a} - 4\vec{b}) = 6\vec{a} - 3\vec{b} - 2\vec{a} + 4\vec{b} = 4\vec{a} + \vec{b}$。)
問題2
四角形 $\mathrm{ABCD}$ において、$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{DC}}$ が成り立つとき、この四角形はどのような四角形か答えなさい。
答え
平行四辺形
(解説: $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{DC}}$ は、辺 $\mathrm{AB}$ と辺 $\mathrm{DC}$ の長さが等しく、向きもそろっている(平行である)ことを意味します。1組の対辺が平行でその長さが等しいので、$\mathrm{ABCD}$ は平行四辺形です。)
問題3
$\triangle \mathrm{OAB}$ において、$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}$ とする。辺 $\mathrm{OA}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{P}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\vec{a}$ を用いて表しなさい。
答え
$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{2}{3}\vec{a}$
(解説: $\mathrm{P}$ は $\mathrm{O}$ から $\mathrm{A}$ までを $2:1$ に内分するので、$\mathrm{OP}$ の長さは $\mathrm{OA}$ の長さの $\dfrac{2}{2+1} = \dfrac{2}{3}$ 倍です。向きは $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と同じなので、$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{2}{3}\vec{a}$ となります。)