三角比の相互関係 | 高校数学まるごと解説

要点整理

前の単元では、鋭角(0°より大きく90°より小さい角)$\theta$に対して、直角三角形の辺の比を使って$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$を定義しました。この単元では、その3つの値がバラバラなものではなく、実は互いに結びついていることを見ていきます。この結びつきを表す式が「三角比の相互関係」です。

準備:直角三角形の辺を文字でおく

鋭角$\theta$を1つの角にもつ直角三角形を考えます。斜辺(直角の向かい側にある一番長い辺)の長さを$r$、角$\theta$から見て向かい側にある辺(対辺)の長さを$y$、角$\theta$に隣り合う辺(隣辺、斜辺ではない方)の長さを$x$とします。このとき、三角比の定義は次の通りでした。

$ \sin\theta = \frac{y}{r}, \qquad \cos\theta = \frac{x}{r}, \qquad \tan\theta = \frac{y}{x} $

また、直角三角形なので三平方の定理(ピタゴラスの定理)が使えます。

$ x^2 + y^2 = r^2 $

この2つの事実だけから、3つの相互関係がすべて導けます。1つずつ確認していきましょう。

関係式1:tanθをsinθとcosθで表す

$\sin\theta$を$\cos\theta$で割ってみます。

$ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\dfrac{y}{r}}{\dfrac{x}{r}} $

分数の分母・分子にどちらも$r$が入っているので、これは$\dfrac{y}{r} \div \dfrac{x}{r}$の計算です。割り算は逆数のかけ算に直せるので、

$ \frac{y}{r} \div \frac{x}{r} = \frac{y}{r} \times \frac{r}{x} = \frac{y}{x} $

となります。ところで$\dfrac{y}{x}$は、まさに$\tan\theta$の定義そのものでした。つまり、

$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $

が成り立ちます。「タンジェントは、サインをコサインで割ったもの」と覚えておくと、後で式を変形するときにとても役立ちます。

関係式2:sinθとcosθの平方の関係

先ほどの三平方の定理$x^2+y^2=r^2$の両辺を、$r^2$で割ってみます(斜辺の長さ$r$は0ではないので、割り算をしても問題ありません)。

$ \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} = \frac{r^2}{r^2} $

右辺は$\dfrac{r^2}{r^2}=1$です。左辺の$\dfrac{x^2}{r^2}$は$\left(\dfrac{x}{r}\right)^2$と同じ形に書き直せます(分数の2乗は、分子どうし・分母どうしを2乗したものになるからです)。同様に$\dfrac{y^2}{r^2}=\left(\dfrac{y}{r}\right)^2$です。したがって、

$ \left(\frac{x}{r}\right)^2 + \left(\frac{y}{r}\right)^2 = 1 $

ここで$\dfrac{x}{r}=\cos\theta$、$\dfrac{y}{r}=\sin\theta$でしたから、代入すると次の式が得られます。

$ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 $

書く順番を入れ替えて、教科書では次の形で紹介されることが多いです。

$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $

なお、$\sin^2\theta$という書き方は$(\sin\theta)^2$、つまり「$\sin\theta$の値を2乗する」という意味です。$\sin\theta^2$(角度そのものを2乗する)という意味ではないので注意してください。

関係式3:tanθとcosθの関係

関係式2の両辺を$\cos^2\theta$で割ってみます($\theta$は鋭角なので$\cos\theta \neq 0$であり、割り算をしても問題ありません)。

$ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} $

左辺の第1項$\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$は$\left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2$と同じであり、関係式1より$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$でしたから、これは$\tan^2\theta$に等しくなります。左辺の第2項$\dfrac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}$は$1$です。よって、

$ \tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta} $

順番を入れ替えて、次の形でもよく使われます。

$ 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} $

3つの関係式のまとめ

$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \qquad 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} $

この単元で扱う$\theta$は鋭角(0°より大きく90°より小さい角)なので、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$の値はすべて正の数になります。この後の例題でも、2乗の関係から値を求めたあとに「符号は正である」と確認する場面が何度も出てきますので、意識しておきましょう。

例題

例題1(基本)

問題 $0°<\theta<90°$とする。$\sin\theta = \dfrac{3}{5}$のとき、$\cos\theta$と$\tan\theta$の値を求めなさい。

解答・解説を見る

手順1:$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$を使ってcosθを求める

関係式$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$に、$\sin\theta = \dfrac{3}{5}$を代入します。

$ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1 $

左辺の$\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$を計算すると、$\dfrac{3^2}{5^2}=\dfrac{9}{25}$です。よって、

$ \frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1 $

手順2:cos²θについて解く

両辺から$\dfrac{9}{25}$を引きます。右辺の$1$は$\dfrac{25}{25}$と同じ大きさなので、通分してから引き算をします。

$ \cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $

手順3:平方根をとってcosθを求める

$\cos^2\theta = \dfrac{16}{25}$より、$\cos\theta$は$\dfrac{16}{25}$の平方根なので、

$ \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $

ここで、$0°<\theta<90°$という条件(鋭角)より、$\cos\theta$の値は必ず正になります。したがって、負の方は不適で、

$ \cos\theta = \frac{4}{5} $

手順4:tanθを求める

関係式$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$に、$\sin\theta=\dfrac{3}{5}$、$\cos\theta=\dfrac{4}{5}$を代入します。

$ \tan\theta = \frac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4} $

答え:$\cos\theta = \dfrac{4}{5}$、$\tan\theta = \dfrac{3}{4}$

例題2(標準)

問題 $0°<\theta<90°$とする。$\tan\theta = 2$のとき、$\sin\theta$と$\cos\theta$の値を求めなさい。

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手順1:$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$を使ってcosθを求める

$\tan\theta$の値が分かっているときは、この関係式を使うと$\cos\theta$を先に求められます。$\tan\theta=2$を代入します。

$ 1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2\theta} $

左辺を計算すると$1+4=5$なので、

$ 5 = \frac{1}{\cos^2\theta} $

手順2:cos²θについて解く

両辺の逆数をとります(「$5=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$」の両辺の逆数をとると、左辺と右辺が入れ替わって分母・分子がひっくり返ります)。

$ \cos^2\theta = \frac{1}{5} $

手順3:平方根をとってcosθを求める

$ \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} $

$0°<\theta<90°$より$\cos\theta>0$なので、正の方を採用します。

$ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} $

分母に根号がある形は、そのままでは答えとして書かない約束になっているので、分母を有理化します。分母・分子に$\sqrt{5}$を掛けると、

$ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $

手順4:tanθ=sinθ/cosθの関係を逆に使ってsinθを求める

$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$の両辺に$\cos\theta$を掛けると、$\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta$という形に変形できます。ここに$\tan\theta=2$、$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$を代入します。

$ \sin\theta = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $

手順5:検算する

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$になっているか確かめておくと安心です。

$ \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{4\times5}{25} + \frac{5}{25} = \frac{20}{25}+\frac{5}{25} = \frac{25}{25} = 1 $

確かに$1$になったので、答えは正しいと確認できました。

答え:$\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$、$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$

例題3(応用)

問題 $0°<\theta<90°$とする。$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{7}{5}$であるとき、次の値を求めなさい。 (1) $\sin\theta\cos\theta$ (2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$

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(1) sinθcosθを求める

手順1:与えられた式の両辺を2乗する

$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{7}{5}$の両辺を2乗します。

$ (\sin\theta+\cos\theta)^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 $

手順2:左辺を展開する

左辺は乗法公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$の形をしています($a=\sin\theta$、$b=\cos\theta$と考えます)。展開すると、

$ \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{49}{25} $

手順3:sin²θ+cos²θ=1を代入する

左辺の$\sin^2\theta+\cos^2\theta$の部分は、相互関係より$1$に置き換えられます。

$ 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{49}{25} $

手順4:sinθcosθについて解く

両辺から$1$(つまり$\dfrac{25}{25}$)を引きます。

$ 2\sin\theta\cos\theta = \frac{49}{25} - \frac{25}{25} = \frac{24}{25} $

両辺を$2$で割ると、

$ \sin\theta\cos\theta = \frac{24}{25} \div 2 = \frac{12}{25} $

(1)の答え:$\sin\theta\cos\theta = \dfrac{12}{25}$

(2) sin³θ+cos³θを求める

手順1:因数分解の公式を使う

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$という因数分解の公式(3乗の和の公式)を使います。$a=\sin\theta$、$b=\cos\theta$とすると、

$ \sin^3\theta+\cos^3\theta = (\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) $

手順2:sin²θ+cos²θ=1を代入して整理する

右辺のカッコの中、$\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta$を並べ替えると$(\sin^2\theta+\cos^2\theta)-\sin\theta\cos\theta$となります。ここに$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$を代入すると、

$ \sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - \sin\theta\cos\theta $

(1)の結果$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{12}{25}$を使うと、

$ 1 - \sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{12}{25} = \frac{25}{25}-\frac{12}{25} = \frac{13}{25} $

手順3:すべてを掛け合わせる

$ \sin^3\theta+\cos^3\theta = \left(\sin\theta+\cos\theta\right)\times\frac{13}{25} = \frac{7}{5}\times\frac{13}{25} $

分数どうしの掛け算なので、分子どうし・分母どうしを掛けます。

$ \frac{7}{5}\times\frac{13}{25} = \frac{7\times13}{5\times25} = \frac{91}{125} $

(2)の答え:$\sin^3\theta+\cos^3\theta = \dfrac{91}{125}$

この例題のように、「$\sin\theta+\cos\theta$」や「$\sin\theta\cos\theta$」のような形は、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$の関係と、乗法公式・因数分解の公式を組み合わせることで計算できます。$\sin\theta$と$\cos\theta$の値を1つずつ別々に求めなくても答えが出せる、という点がポイントです。

練習問題

問題 $0°<\theta<90°$とする。$\cos\theta = \dfrac{5}{13}$のとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$の値を求めなさい。

答え

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$より、$\sin^2\theta = 1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = 1-\dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$。$0°<\theta<90°$より$\sin\theta>0$なので、$\sin\theta=\dfrac{12}{13}$。

$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \dfrac{12}{5}$。

答え:$\sin\theta=\dfrac{12}{13}$、$\tan\theta=\dfrac{12}{5}$