定積分の計算とその性質

要点整理

定積分の復習と、置換積分法・部分積分法の応用

数学IIで学んだように、関数 $f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とするとき、定積分は次のように定義されます。

$\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b)-F(a)$

不定積分のときに学んだ置換積分法・部分積分法は、そのまま定積分にも使えます。

置換積分法を定積分で使うときの注意点:$u=g(x)$ と置換するとき、積分区間(上端・下端)も、$x$ の値から対応する $u$ の値に書き換える必要があります。$x=a$ のとき $u=g(a)$、$x=b$ のとき $u=g(b)$ となるので、最後に $x$ の式に戻す作業が不要になる(そのまま $u$ の範囲で計算して終わる)というメリットがあります。

部分積分法を定積分で使うときの注意点:公式全体に積分区間 $[a,b]$ を付けるだけです。

$\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = \big[f(x)g(x)\big]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx$

定積分の性質

定積分には、次のような性質があります($a,b,c$ は定数)。

$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx\qquad(\text{上端と下端を入れ替えると符号が変わる})$

$\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx\qquad(\text{区間をつなげられる})$

$\int_a^b\{kf(x)+lg(x)\}\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx+l\int_a^b g(x)\,dx\qquad(k,l\text{は定数})$

偶関数・奇関数の定積分(重要なショートカット)

グラフの対称性を使うと、$-a$ から $a$ までのように、原点を中心に左右対称な区間の定積分を、計算せずに(あるいは半分の計算量で)求められることがあります。

関数 $f(x)$ が、すべての $x$ に対して $f(-x)=f(x)$ を満たすとき、$f(x)$ を偶関数といいます(グラフは $y$ 軸に関して対称)。$f(-x)=-f(x)$ を満たすとき、$f(x)$ を奇関数といいます(グラフは原点に関して対称)。これらについて、次の関係が成り立ちます。

$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \begin{cases} 2\displaystyle\int_0^a f(x)\,dx & (f\text{が偶関数のとき}) \\ 0 & (f\text{が奇関数のとき}) \end{cases}$

なぜこれが成り立つのか

まず、積分区間を分割します。

$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx$

第1項 $\int_{-a}^0 f(x)\,dx$ に、$x=-t$($dx=-dt$)という置換をします。$x=-a$ のとき $t=a$、$x=0$ のとき $t=0$ です。

$\int_{-a}^0 f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-t)\times(-dt) = \int_0^a f(-t)\,dt$

(上端・下端を入れ替えたことで、マイナスの符号が打ち消されています。)

$f$ が偶関数のとき:$f(-t)=f(t)$ なので、

$\int_{-a}^0 f(x)\,dx = \int_0^a f(t)\,dt = \int_0^a f(x)\,dx$

したがって、

$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$

$f$ が奇関数のとき:$f(-t)=-f(t)$ なので、

$\int_{-a}^0 f(x)\,dx = \int_0^a\left(-f(t)\right)dt = -\int_0^a f(x)\,dx$

したがって、

$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx = 0$

多項式では、偶数乗の項だけの式は偶関数、奇数乗の項だけの式は奇関数になります。これを利用すると、計算の手間を大きく減らせます。

例題

例題1(基本)

問題

次の定積分を求めなさい。

$\int_1^3 (2x-1)\,dx$

解答・解説を見る

まず原始関数を求めます。

$\int(2x-1)\,dx = x^2-x+C$

定積分の定義より、原始関数に上端・下端を代入して引き算します。

$\int_1^3(2x-1)\,dx = \big[x^2-x\big]_1^3 = (3^2-3)-(1^2-1)$

$= (9-3)-(1-1) = 6-0 = 6$

答え:$6$

例題2(標準)

問題

次の定積分を求めなさい。

$\int_0^1 x(x^2+1)^3\,dx$

解答・解説を見る

$u=x^2+1$ とおきます。$\dfrac{du}{dx}=2x$ なので、$x\,dx=\dfrac{du}{2}$ です。積分区間も書き換えます。

• $x=0$ のとき:$u=0^2+1=1$
• $x=1$ のとき:$u=1^2+1=2$

これらを代入します。

$\int_0^1 x(x^2+1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\times\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du$

原始関数を求めて、上端・下端($u=1$、$u=2$)を代入します。

$\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{2^4}{4}-\frac{1^4}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{16}{4}-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}\times\frac{15}{4} = \frac{15}{8}$

答え:$\dfrac{15}{8}$

例題3(応用)

問題

偶関数・奇関数の性質を利用して、次の定積分を求めなさい。

$\int_{-2}^{2} (x^4-3x^2+5)\,dx$

解答・解説を見る

被積分関数 $f(x)=x^4-3x^2+5$ が偶関数かどうかを確認します。

$f(-x) = (-x)^4-3(-x)^2+5 = x^4-3x^2+5 = f(x)$

$f(-x)=f(x)$ が成り立つので、$f(x)$ は偶関数です。したがって、

$\int_{-2}^{2}(x^4-3x^2+5)\,dx = 2\int_0^2(x^4-3x^2+5)\,dx$

右辺の定積分を計算します。原始関数は、

$\int(x^4-3x^2+5)\,dx = \frac{x^5}{5}-x^3+5x+C$

上端 $2$、下端 $0$ を代入します。

$\left[\frac{x^5}{5}-x^3+5x\right]_0^2 = \left(\frac{2^5}{5}-2^3+5\times 2\right)-0$

$= \left(\frac{32}{5}-8+10\right) = \frac{32}{5}+2 = \frac{32}{5}+\frac{10}{5} = \frac{42}{5}$

したがって、

$\int_{-2}^{2}(x^4-3x^2+5)\,dx = 2\times\frac{42}{5} = \frac{84}{5}$

答え:$\dfrac{84}{5}$

練習問題

問題1

次の定積分を求めなさい。

$\int_0^2 (x^2+1)\,dx$

答え

$\left[\dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^2=\dfrac{8}{3}+2=\dfrac{14}{3}$ です。

問題2

奇関数の性質を利用して、次の定積分を求めなさい。

$\int_{-1}^{1}(x^3-2x)\,dx$

答え

$f(x)=x^3-2x$ は $f(-x)=-x^3+2x=-f(x)$ を満たす奇関数なので、答えは $0$ です。