章末問題

三角比の間には、次の「相互関係」と呼ばれる関係式が成り立ちます。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

これは、$\sin\theta$の2乗と$\cos\theta$の2乗を足すと必ず1になる、という意味の式です(直角三角形の3辺の関係である三平方の定理から導かれます)。この式に $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ を代入します。

$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1$

左辺の1項目を計算します。

$\frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1$

両辺から $\dfrac{9}{25}$ を引いて、$\cos^2\theta$ だけを左辺に残します。

$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

両辺の平方根をとると、

$\cos\theta = \pm\frac{4}{5}$

となります。ここで、$\theta$は鋭角(0°<$\theta$<90°)であるという条件を使います。鋭角の範囲では $\cos\theta$ は必ず正の値になるので、

$\cos\theta = \frac{4}{5}$

に決まります。

次に、$\tan\theta$ は次の式で定義されています。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

これに $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$、$\cos\theta = \dfrac{4}{5}$ を代入します。

$\tan\theta = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

答え: $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$、$\tan\theta = \dfrac{3}{4}$

三角比を$0°$から$180°$まで拡張したとき、$\sin\theta$の値はこの範囲全体で常に0以上になります(半径1の半円周上の点のy座標として定義されるためです)。これをふまえて計算していきます。

まず、問題1と同じ相互関係の式を使います。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$\cos\theta = -\dfrac{1}{3}$ を代入します。このとき、負の数を2乗すると正の数になることに注意してください。

$\sin^2\theta + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1$

$\sin^2\theta + \frac{1}{9} = 1$

両辺から $\dfrac{1}{9}$ を引きます。

$\sin^2\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

平方根をとると、

$\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

($\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ と変形しています。)

ここで、$0° \leqq \theta \leqq 180°$ の範囲では $\sin\theta \geqq 0$ であることを使うと、

$\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

に決まります。

続いて $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ に代入します。

$\tan\theta = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \left(-\frac{3}{1}\right) = -2\sqrt{2}$

答え: $\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$、$\tan\theta = -2\sqrt{2}$

(1)について

方程式を $\cos\theta$ だけが残る形に変形します。両辺から1を引きます。

$2\cos\theta = -1$

両辺を2で割ります。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$0° \leqq \theta \leqq 180°$ の範囲で $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ となる $\theta$ を探します。$\cos 60° = \dfrac{1}{2}$ であることは基本の値として覚えておく必要がありますが、$90°$から$180°$の間では $\cos\theta$ の値は負になり、$\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$ という関係が成り立ちます。$\alpha = 60°$ とすると、

$\cos(180° - 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$

つまり $\theta = 180° - 60° = 120°$ のとき $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ となります。この範囲でこの値をとる$\theta$は1つだけなので、

$\theta = 120°$

(2)について

不等式を $\sin\theta$ だけが残る形に変形します。両辺に $\sqrt{3}$ を足します。

$2\sin\theta > \sqrt{3}$

両辺を2で割ります。

$\sin\theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$

まず、$\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を $0° \leqq \theta \leqq 180°$ の範囲で探すと、$\theta = 60°$ と $\theta = 120°$ の2つが見つかります($\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha$ という関係から、$\sin 60° = \sin 120° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となるためです)。

$\sin\theta$ の値の変化のようすを考えると、$\theta$ が $0°$ から $90°$ まで動くとき $\sin\theta$ は0から1まで増加し、$90°$ から $180°$ まで動くとき1から0まで減少します。つまり山のような形になっています。したがって、$\sin\theta$ が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より大きくなるのは、山の頂上付近である $60°$ と $120°$ の「あいだ」の部分です。

$60° < \theta < 120°$

答え: (1) $\theta = 120°$ (2) $60° < \theta < 120°$

三角形の辺と角、そして外接円の半径の間には、次の「正弦定理」と呼ばれる関係が成り立ちます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

まず、$R$を求めるために左端と右端の部分を使います。

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

$a = 6$、$\angle A = 45°$ を代入します。ここで $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ という基本の値を使います。

$\frac{6}{\sin 45°} = 2R$

$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$

分数の中にさらに分数が入っている形を整理します。$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ で割ることは、その逆数である $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ をかけることと同じです。

$2R = 6 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}}$

分母に根号が残っているので、分母と分子の両方に $\sqrt{2}$ をかけて有理化します(分母から根号をなくす操作のことです)。

$2R = \frac{12}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$

両辺を2で割ると、

$R = 3\sqrt{2}$

次に、辺$b$を求めます。正弦定理の別の部分を使います。

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

両辺に $\sin B$ をかけて、$b$ だけを左辺に残します。

$b = 2R \sin B$

$2R = 6\sqrt{2}$、$\angle B = 60°$、$\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を代入します。

$b = 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6}$

($\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$ という根号の性質を使っています。)

答え: $R = 3\sqrt{2}$、$b = 3\sqrt{6}$

2つの辺と、その間にはさまれた角がわかっているときは、「余弦定理」を使って残りの辺を求めることができます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$a = 5$、$b = 7$、$\angle C = 60°$、$\cos 60° = \dfrac{1}{2}$ を代入します。

$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°$

それぞれの数を計算します。$5^2 = 25$、$7^2 = 49$、$2 \times 5 \times 7 = 70$ です。

$c^2 = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2}$

$c^2 = 74 - 35 = 39$

$c$は辺の長さなので正の値です。両辺の平方根をとると、

$c = \sqrt{39}$

次に $\cos A$ を求めます。余弦定理は $A$、$B$、$C$のどの角についても成り立つので、$\angle A$ について立てると次のようになります。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

この式を $\cos A$ について解きます。まず $2bc\cos A$ を左辺に移項します。

$2bc\cos A = b^2 + c^2 - a^2$

両辺を $2bc$ で割ります。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$b = 7$、$c^2 = 39$(先ほど求めた値をそのまま使えます)、$a = 5$、そして $c = \sqrt{39}$ を代入します。

$\cos A = \frac{7^2 + 39 - 5^2}{2 \times 7 \times \sqrt{39}} = \frac{49 + 39 - 25}{14\sqrt{39}} = \frac{63}{14\sqrt{39}}$

分数を約分します。63と14の最大公約数は7なので、

$\cos A = \frac{9}{2\sqrt{39}}$

分母を有理化するために、分母と分子の両方に $\sqrt{39}$ をかけます。

$\cos A = \frac{9}{2\sqrt{39}} \times \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{39}} = \frac{9\sqrt{39}}{2 \times 39} = \frac{9\sqrt{39}}{78}$

9と78の最大公約数3で約分すると、

$\cos A = \frac{3\sqrt{39}}{26}$

答え: $c = \sqrt{39}$、$\cos A = \dfrac{3\sqrt{39}}{26}$

(1) 面積$S$について

2辺とその間の角がわかっているとき、三角形の面積は次の公式で求められます。

$S = \frac{1}{2}ab\sin C$

$a = 4$、$b = 5$、$\angle C = 60°$、$\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を代入します。

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin 60° = \frac{1}{2} \times 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

(2) 辺$c$について

余弦定理を使います。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$a = 4$、$b = 5$、$\cos 60° = \dfrac{1}{2}$ を代入します。

$c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2} = 16 + 25 - 20 = 21$

$c > 0$ なので、

$c = \sqrt{21}$

(3) 外接円の半径$R$について

正弦定理を使います。

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

$c = \sqrt{21}$、$\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を代入します。

$2R = \frac{\sqrt{21}}{\sin 60°} = \frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{21} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}}$

分母を有理化します。

$2R = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{63}}{3}$

$\sqrt{63}$ を簡単にします。$63 = 9 \times 7$ なので、$\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$ です。

$2R = \frac{2 \times 3\sqrt{7}}{3} = \frac{6\sqrt{7}}{3} = 2\sqrt{7}$

両辺を2で割ると、

$R = \sqrt{7}$

答え: $S = 5\sqrt{3}$、$c = \sqrt{21}$、$R = \sqrt{7}$

Step1: 底面の正三角形の重心から頂点までの距離を求める

まず、底面である正三角形BCDについて考えます。辺BCの中点をMとします。三角形BCDは1辺6の正三角形なので、BM(BCの半分)の長さは3です。

線分DMの長さ(これは正三角形の頂点Dから対辺の中点Mまでを結ぶ「中線」です)を求めます。三角形DBMは、$\angle DMB = 90°$ の直角三角形になっている(正三角形では頂点から対辺の中点に引いた線は対辺と垂直に交わるため)ので、三平方の定理(直角三角形において、直角をはさむ2辺の2乗の和が、斜辺の2乗に等しいという定理)を使います。

$DM^2 + BM^2 = DB^2$

$DB = 6$(正四面体の辺なので)、$BM = 3$ を代入します。

$DM^2 + 3^2 = 6^2$

$DM^2 = 36 - 9 = 27$

$DM = \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

正三角形の重心(3本の中線が交わる点で、三角形の「中心」にあたる点です)は、各中線を頂点側から2:1の比に分ける、という性質があります。底面の重心をHとすると、頂点Dから重心Hまでの距離は、中線DMの長さの$\dfrac{2}{3}$倍になります。

$DH = \frac{2}{3} \times DM = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

正三角形の対称性から、頂点Bや頂点Cから重心Hまでの距離も同じく $2\sqrt{3}$ です。

Step2: 正四面体の高さ$h$を求める

頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足が、ちょうど底面の重心Hと一致します(正四面体の対称性からこうなります)。したがって、$AH = h$ が求めたい高さです。

三角形ABHを考えると、$\angle AHB = 90°$ の直角三角形です。$AB = 6$(正四面体の辺)、$BH = 2\sqrt{3}$(Step1で求めた値)なので、三平方の定理より、

$AH^2 + BH^2 = AB^2$

$h^2 + (2\sqrt{3})^2 = 6^2$

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$ なので、

$h^2 + 12 = 36$

$h^2 = 24$

$h > 0$ なので、

$h = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

Step3: 底面積を求める

正三角形(1辺の長さ$a$)の面積は、公式 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ で求められます。$a = 6$ を代入します。

$S_{\text{底面}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$

Step4: 体積$V$を求める

角錐の体積は、公式 $V = \dfrac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$ で求められます。

$V = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 2\sqrt{6}$

$V = \frac{1}{3} \times 18\sqrt{3}\sqrt{6} = \frac{1}{3} \times 18\sqrt{18}$

$\sqrt{18}$ を簡単にします。$18 = 9 \times 2$ なので、$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ です。

$V = \frac{1}{3} \times 18 \times 3\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times 54\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$

答え: $h = 2\sqrt{6}$、$V = 18\sqrt{2}$

三角形において、辺の長さが最も長い辺の向かい側にある角が、その三角形の中で最も大きい角になる、という性質があります。3辺のうち $c = 9$ が最も長いので、$\angle C$ がこの三角形の最大角です。

そこで、余弦定理を $\cos C$ について解いた形を使って $\cos C$ の値を調べます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

この式を $\cos C$ について解きます。まず $2ab\cos C$ を左辺に、$c^2$ を右辺に移項します。

$2ab\cos C = a^2 + b^2 - c^2$

両辺を $2ab$ で割ります。

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$a = 7$、$b = 8$、$c = 9$ を代入します。

$\cos C = \frac{7^2 + 8^2 - 9^2}{2 \times 7 \times 8}$

分子と分母をそれぞれ計算します。$7^2 = 49$、$8^2 = 64$、$9^2 = 81$、$2 \times 7 \times 8 = 112$ です。

$\cos C = \frac{49 + 64 - 81}{112} = \frac{32}{112}$

32と112の最大公約数は16なので、約分します。

$\cos C = \frac{2}{7}$

$\cos C = \dfrac{2}{7} > 0$ となりました。三角比の性質として、角の大きさが $0°$ から $180°$ の範囲では、角が鋭角(90°未満)のとき $\cos$ の値は正、直角(90°)のとき0、鈍角(90°より大きい)のとき負になります。$\cos C > 0$ なので、$\angle C$ は鋭角です。

$\angle C$ はこの三角形の中で最も大きい角でした。その最大角である $\angle C$ が鋭角(90°未満)であるということは、他の2つの角 $\angle A$、$\angle B$ は $\angle C$ よりも小さいので、当然90°未満、つまり鋭角になります。

したがって、3つの角すべてが鋭角なので、この三角形は鋭角三角形であると判定できます。

答え: 鋭角三角形($\cos C = \dfrac{2}{7} > 0$ より、最大角である $\angle C$ が鋭角であるため)