極座標と極方程式

要点整理

これまで、平面上の点の位置は $x$ 座標と $y$ 座標の組 $(x,y)$(直交座標)で表してきました。ここでは、点の位置を「距離」と「角度」の組で表す、極座標という新しい座標の考え方を学びます。

極座標とは

平面上に基準となる点 $\mathrm{O}$(極)と、そこから伸びる半直線(始線、ふつうは直交座標の $x$ 軸の正の部分にとります)を定めます。点 $\mathrm{P}$ に対して、

• $r$: 極 $\mathrm{O}$ から点 $\mathrm{P}$ までの距離($r \geq 0$)
• $\theta$: 始線から、反時計回りに測った $\mathrm{OP}$ の角度

を組にした $(r, \theta)$ を、点 $\mathrm{P}$ の極座標といいます。これは、媒介変数表示のページで学んだ、円周上の点を角度 $\theta$ で表す考え方(たとえば $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$)を、座標そのものの表し方として使う、というイメージです。

極座標と直交座標の変換

極座標 $(r,\theta)$ で表された点を、直交座標 $(x,y)$ に変換するには、三角関数の定義から、

$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta$

を使います。逆に、直交座標 $(x,y)$ から極座標に変換するときは、三平方の定理から $r$ を求めます。

$r = \sqrt{x^2+y^2}$

$\theta$ は、$\cos\theta=\dfrac{x}{r}$、$\sin\theta=\dfrac{y}{r}$ となる角として求めます($\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ だけから $\theta$ を求めようとすると、同じ $\tan$ の値になる角が2つ($\theta$ と $\theta+\pi$)あるので、$x$、$y$ の符号(点がどの象限にあるか)も合わせて確認する必要があります)。

極方程式

極座標 $(r,\theta)$ の関係式で表された図形の方程式を極方程式といいます。代表的なものを見ていきましょう。

原点を中心とする円: 極から常に距離 $a$ にある点の集まりなので、

$r = a$

極を通る直線: 始線から角度 $\alpha$ の方向に伸びる直線(原点を通る直線)は、

$\theta = \alpha$

原点を通る円(直径が始線方向): 中心が $(a, 0)$(直交座標)、半径 $a$ の円、つまり原点を通り $x$ 軸方向に直径を持つ円を考えます。直交座標での方程式は $(x-a)^2+y^2=a^2$ で、展開すると $x^2-2ax+y^2=0$、つまり $x^2+y^2=2ax$ です。ここに $x=r\cos\theta$、$x^2+y^2=r^2$ を代入すると、

$r^2 = 2ar\cos\theta$

$r\neq0$ のとき両辺を $r$ で割ると、

$r = 2a\cos\theta$

という極方程式が得られます($r=0$、つまり原点は、$\theta$ の値によらずこの式を満たすので、除外しても問題ありません)。

極方程式から直交座標の方程式への変換

逆に、極方程式を直交座標の方程式に直すこともよく求められます。そのときに使う置きかえの道具は、

$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad r^2 = x^2+y^2$

の3つです。極方程式の中に $r\cos\theta$ や $r\sin\theta$、$r^2$ の形が作れるように式を変形してから、これらを代入する、というのが基本の手順です。

例題

例題1(基本)

問題

極座標が $\left(4, \dfrac{\pi}{3}\right)$ である点の直交座標を求めなさい。

解答・解説を見る

$x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ に、$r=4$、$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ を代入します。

$x = 4\cos\frac{\pi}{3}$

$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ なので、

$x = 4\times\frac{1}{2} = 2$

$y = 4\sin\frac{\pi}{3}$

$\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$y = 4\times\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

答え: $(2, 2\sqrt{3})$

例題2(標準)

問題

直交座標での方程式が $x^2+y^2=6x$ である円を、極方程式で表しなさい。

解答・解説を見る

$x^2+y^2=r^2$、$x=r\cos\theta$ という置きかえを使います。まず、方程式の右辺の $x$ を $r\cos\theta$ に置きかえます。

$x^2+y^2 = 6r\cos\theta$

左辺の $x^2+y^2$ を $r^2$ に置きかえます。

$r^2 = 6r\cos\theta$

この円は原点 $(0,0)$ を通ります($x=y=0$ を代入すると $0=0$ が成り立つことから確認できます)が、原点は $r=0$ に対応する点であり、$r=0$ は $\theta$ の値によらず上の式を満たすので、$r\neq0$ の部分について、両辺を $r$ で割ることができます。

$r = 6\cos\theta$

答え: $r = 6\cos\theta$

例題3(応用)

問題

極方程式 $r = \dfrac{2}{1-\cos\theta}$ で表される曲線を、直交座標の方程式に直しなさい。

解答・解説を見る

まず、分母を払うために、両辺に $(1-\cos\theta)$ を掛けます。

$r(1-\cos\theta) = 2$

左辺を展開します。

$r - r\cos\theta = 2$

$r\cos\theta = x$ という置きかえができるように、$-r\cos\theta$ を移項します。

$r = 2 + r\cos\theta$

$r\cos\theta=x$ を代入します。

$r = 2+x$

両辺は($r\geq0$ の約束と、この式が意味を持つ範囲では $2+x\geq0$ なので)ともに $0$ 以上であり、2乗しても同値な式になります。

$r^2 = (2+x)^2$

左辺の $r^2$ を $x^2+y^2$ に置きかえます。

$x^2+y^2 = (2+x)^2$

右辺を展開します。

$x^2+y^2 = 4+4x+x^2$

両辺から $x^2$ を引きます。

$y^2 = 4x+4$

右辺を $4$ でくくります。

$y^2 = 4(x+1)$

答え: $y^2=4(x+1)$

(これは、頂点が $(-1,0)$ である放物線の方程式です。実は、極方程式 $r=\dfrac{l}{1-\cos\theta}$ の形は、極(原点)を焦点とする放物線や楕円、双曲線を表す一般的な形として知られています。)

練習問題

問題1

極座標が $\left(6, \dfrac{5\pi}{6}\right)$ である点の直交座標を求めなさい。

答え

$(-3\sqrt{3}, 3)$

(解説: $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ なので、$x=6\times\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3\sqrt{3}$、$y=6\times\dfrac{1}{2}=3$。)

問題2

直交座標での方程式が $x^2+y^2=4y$ である円を、極方程式で表しなさい。

答え

$r = 4\sin\theta$

(解説: $x^2+y^2=r^2$、$y=r\sin\theta$ より $r^2=4r\sin\theta$。$r\neq0$ の部分で両辺を $r$ で割ると $r=4\sin\theta$。)

問題3

極方程式 $r = \dfrac{3}{2-2\cos\theta}$ で表される曲線を、直交座標の方程式に直しなさい。

答え

$y^2 = 3\left(x+\dfrac{3}{4}\right)$

(解説: 両辺に $(2-2\cos\theta)$ を掛けると $2r-2r\cos\theta=3$、$r\cos\theta=x$ より $2r=3+2x$、$r=\dfrac{3+2x}{2}$。両辺を2乗すると $x^2+y^2=\left(\dfrac{3+2x}{2}\right)^2=\dfrac{9+12x+4x^2}{4}$。両辺を4倍すると $4x^2+4y^2=9+12x+4x^2$、整理すると $4y^2=12x+9$、すなわち $y^2=3x+\dfrac{9}{4}=3\left(x+\dfrac{3}{4}\right)$。)