数学III / 積分法
頻出解法パターン
パターン1: 基本の不定積分は公式を逆から当てはめる
こんな問題で使う
$x^n$、$\dfrac{1}{x}$、$\sin x$、$\cos x$、$e^x$、$a^x$ などの和や定数倍でできている関数の不定積分。
解法の手順
- 式を、公式が使える単位($x^n$、$\dfrac{1}{x}$、$\sin x$、$\cos x$、$e^x$、$a^x$ など)に分解する。
- それぞれの項に、対応する不定積分の公式を当てはめる。
- 定数倍はそのまま前に出し、和・差はそれぞれ独立に積分してよい。
- 最後に、積分定数 $C$ を1つだけ付ける。
具体例
$\int\left(2x^3-\frac{3}{x}+\cos x\right)dx = \frac{x^4}{2}-3\log|x|+\sin x+C$
パターン2: $g(x)^n g'(x)$ の形、$\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ の形を見抜く
こんな問題で使う
合成関数のような形をしていて、そのままでは公式が使えない積分(累乗の中に式が入っている、分数の分子が分母の微分になっているなど)。
解法の手順
- 積分する式の中に、ある関数 $g(x)$ と、その導関数 $g'(x)$(またはその定数倍)がセットで含まれていないか探す。
- $g(x)^n\times g'(x)$ の形なら $\dfrac{g(x)^{n+1}}{n+1}+C$、$\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ の形なら $\log|g(x)|+C$ を使う。
- 係数がぴったり合わない場合は、定数を掛けたり割ったりして帳尻を合わせる。
具体例
$\int\frac{6x^2}{x^3+1}\,dx = 2\log|x^3+1|+C$
($g(x)=x^3+1$、$g'(x)=3x^2$ で、$6x^2=2\times 3x^2$ であることを利用しています。)
パターン3: 「多項式 $\times$ 三角関数・指数関数」「多項式 $\times\log x$」は部分積分
こんな問題で使う
$x$ のべき乗と、$\sin x$、$\cos x$、$e^x$、$\log x$ の積になっている関数の積分。
解法の手順
- 「多項式 $\times$($\sin x$、$\cos x$、$e^x$)」の形なら、多項式を $f$、三角関数・指数関数を $g'$ に選ぶ。
- 「多項式 $\times\log x$」の形なら、$\log x$ を $f$、多項式を $g'$ に選ぶ。
- 部分積分の公式 $\int fg'\,dx=fg-\int f'g\,dx$ を適用する。
- 多項式の次数が2以上の場合は、次数が下がりきるまで繰り返す。
具体例
$\int x\sin x\,dx = -x\cos x+\sin x+C$
パターン4: 定積分は「原始関数 $\to$ 代入」、対称区間では偶奇を確認
こんな問題で使う
定積分の計算問題、特に $[-a,a]$ のような、原点に関して対称な区間での積分。
解法の手順
- まず不定積分(原始関数)を求める。
- 積分区間が $[-a,a]$ のように原点対称であれば、被積分関数が偶関数か奇関数かを確認する。
- 奇関数なら答えは $0$、偶関数なら $[0,a]$ での積分を2倍すればよい(計算量が減らせる)。
- 対称性がない場合は、そのまま原始関数に上端・下端を代入して差を取る。
具体例
$\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0\qquad(x^3\text{は奇関数だから})$
パターン5: 面積・体積は「符号」と「2乗のタイミング」に注意して立式する
こんな問題で使う
曲線と $x$ 軸(または $y$ 軸)、あるいは2曲線で囲まれた面積や、それを回転させた体積を求める問題。
解法の手順
- グラフの概形(あるいは符号)を確認し、どこが正でどこが負か、どちらの曲線が上でどちらが下かを把握する。
- 面積なら「上 $-$ 下」、または符号が変わるところで区間を分割して絶対値を取り、正の値になるように積分を立てる。
- 体積($x$ 軸のまわりの回転)なら $\pi\displaystyle\int\{f(x)\}^2\,dx$(2曲線の場合は $\pi\displaystyle\int\left(\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2\right)dx$、必ず2乗してから引き算する)を立てる。
- $y$ 軸のまわりの回転の場合は、$x$ と $y$ の役割を入れ替えて考える。
具体例
$y=\cos x$($0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$)を $x$ 軸のまわりに回転させた体積は、
$V = \pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi^2}{4}$
パターン6: 曲線の長さ・道のりは公式に当てはめてから積分技法を使う
こんな問題で使う
曲線の長さや、速度から動いた距離(道のり)を求める問題。
解法の手順
- 曲線の長さなら $\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}$(媒介変数表示なら速さの公式 $\sqrt{\{x'(t)\}^2+\{y'(t)\}^2}$)を立てる。
- 道のりなら $|v(t)|$ を使い、速度の符号が変わる点で区間を分割する。
- 立てた式を、置換積分法や半角の公式など、これまで学んだ積分の技法を使って計算する。
具体例
円の媒介変数表示 $x=r\cos t$、$y=r\sin t$($0\leq t\leq 2\pi$)の弧の長さは、
$L = \int_0^{2\pi} r\,dt = 2\pi r$
パターン7: $\Sigma$ を含む極限は「区分求積法の形」に整理してから積分に変換する
こんな問題で使う
$n\to\infty$ の $\Sigma$ を含む数列の極限。
解法の手順
- 和の中から、「幅」の役割をしている $\dfrac{1}{n}$(または、それに相当する部分)を見つける。
- 残りの部分を $f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ の形とみなし、対応する関数 $f(x)$ を特定する。
- 積分区間($[0,1]$ など)を確認し、対応する定積分の形に書き換える。
- 得られた定積分を計算する(必要なら置換積分などを使う)。
具体例
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2 = \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$