解と係数の関係

要点整理

2次方程式の解と係数の関係とは

2次方程式

$ax^2+bx+c=0 \quad (a\neq 0)$

の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とします。前のページ「複素数と2次方程式の解」で学んだように、判別式が負であっても、2次方程式は複素数の範囲で必ず2つの解(重解のときは同じ解が2つ)を持ちます。

$\alpha$, $\beta$ が $ax^2+bx+c=0$ の解であるということは、左辺の $ax^2+bx+c$ を $x-\alpha$ と $x-\beta$ を使って因数分解できる、ということです。つまり、

$ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)$

という等式が、すべての $x$ について成り立ちます。この右辺を実際に展開してみましょう。展開は1ステップずつ行います。

$a(x-\alpha)(x-\beta) = a\{(x-\alpha)(x-\beta)\}$

まず $(x-\alpha)(x-\beta)$ の部分を展開します。

$(x-\alpha)(x-\beta) = x^2 - \beta x - \alpha x + \alpha\beta = x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$

これに $a$ をかけます。

$a(x-\alpha)(x-\beta) = ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$

したがって、次の等式が成り立ちます。

$ax^2+bx+c = ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$

左辺と右辺は、$x$ についてまったく同じ式(恒等式)なので、$x^1$ の項の係数どうし、定数項どうしがそれぞれ等しくなります。

• $x$ の係数を比べると: $b = -a(\alpha+\beta)$
• 定数項を比べると: $c = a\alpha\beta$

この2つの式を、それぞれ $\alpha+\beta$、$\alpha\beta$ について解きます($a\neq0$ なので両辺を $a$ で割ってよいです)。

$b=-a(\alpha+\beta) \ \Longrightarrow\ \alpha+\beta=-\frac{b}{a}$

$c=a\alpha\beta \ \Longrightarrow\ \alpha\beta=\frac{c}{a}$

これが「解と係数の関係」です。まとめると、

$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta=\frac{c}{a}$

この関係の便利なところは、$\alpha$ と $\beta$ を実際に(解の公式などで)求めなくても、係数 $a,b,c$ だけから $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の値がすぐにわかる、という点です。特に解が複素数になる場合には、この関係を使うと複素数の計算をせずに済むことが多く、とても便利です。

対称式の値を求める

$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の値さえわかれば、$\alpha$ と $\beta$ を入れ替えても値が変わらない式(対称式)の値は、たいてい計算できます。よく使う変形を確認しておきましょう。

$\alpha^2+\beta^2$ を $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$ で表す

$(\alpha+\beta)^2$ を展開すると、

$(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$

この式を $\alpha^2+\beta^2$ について解くと(右辺の $2\alpha\beta$ を左辺に移項すると)、

$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$

$\alpha^3+\beta^3$ を $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$ で表す

$(\alpha+\beta)^3$ を展開すると、

$(\alpha+\beta)^3=\alpha^3+3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2+\beta^3=\alpha^3+\beta^3+3\alpha\beta(\alpha+\beta)$

これを $\alpha^3+\beta^3$ について解くと、

$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$

$(\alpha-\beta)^2$ を $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$ で表す

一見、$\alpha-\beta$ は $\alpha$ と $\beta$ を入れ替えると符号が変わってしまうので対称式ではなさそうですが、2乗すれば $(\beta-\alpha)^2=(\alpha-\beta)^2$ となり、符号の違いが消えるので対称式になります。$(\alpha+\beta)^2$ から考えます。

$(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2)-4\alpha\beta=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha-\beta)^2$

したがって、

$(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$

このように、$\alpha$, $\beta$ を含む対称式は、いつでも $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の式に書き換えられます。

2数を解とする2次方程式をつくる

逆に、和 $\alpha+\beta=p$ と積 $\alpha\beta=q$ がわかっている2つの数 $\alpha$, $\beta$ を解に持つ($x^2$ の係数が $1$ の)2次方程式は、

$x^2-px+q=0$

です。これは、最初に確認した因数分解の式で $a=1$ とした場合と同じものです。

$(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=x^2-px+q$

これが $0$ に等しいと置けば、$x=\alpha$ または $x=\beta$ を解に持つ2次方程式になります。

例題

例題1(基本)

問題

2次方程式 $2x^2-5x+3=0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の値を求めなさい。

(1) $\alpha+\beta$ (2) $\alpha\beta$ (3) $\alpha^2+\beta^2$

解答・解説を見る

$2x^2-5x+3=0$ を $ax^2+bx+c=0$ と見比べると、$a=2$, $b=-5$, $c=3$ です。

(1) 解と係数の関係より、

$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$

(2) 解と係数の関係より、

$\alpha\beta=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$

(3) 要点整理で確認した変形 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ を使います。(1)、(2)の結果を代入します。

$\alpha^2+\beta^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\times\frac{3}{2}$

まず $\left(\dfrac{5}{2}\right)^2$ を計算します。

$\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}$

次に $2\times\dfrac{3}{2}=3$ です。$3$ を分母4の分数に直すと $\dfrac{12}{4}$ になります。

$\alpha^2+\beta^2=\frac{25}{4}-\frac{12}{4}=\frac{13}{4}$

したがって、$\alpha^2+\beta^2=\dfrac{13}{4}$ です。

(参考:実際にこの方程式を解の公式で解くと、判別式は $(-5)^2-4\times2\times3=25-24=1>0$ なので、$x=\dfrac{5\pm1}{4}$、つまり $\alpha=\dfrac{3}{2}$, $\beta=1$ となります。このとき $\alpha^2+\beta^2=\dfrac{9}{4}+1=\dfrac{13}{4}$ となり、上の答えと一致することが確認できます。)

例題2(標準)

問題

2次方程式 $x^2-4x+7=0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の値を求めなさい。

(1) $\alpha^2+\beta^2$ (2) $\alpha^3+\beta^3$

解答・解説を見る

まず判別式を確認すると、$(-4)^2-4\times1\times7=16-28=-12<0$ なので、この方程式の解 $\alpha$, $\beta$ は複素数です(実数ではありません)。しかし、解と係数の関係を使えば、複素数のまま計算しなくても値を求めることができます。

$x^2-4x+7=0$ を $ax^2+bx+c=0$ と見比えると、$a=1$, $b=-4$, $c=7$ です。解と係数の関係より、

$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4, \qquad \alpha\beta=\frac{c}{a}=\frac{7}{1}=7$

(1) $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ に代入します。

$\alpha^2+\beta^2=4^2-2\times7=16-14=2$

したがって、$\alpha^2+\beta^2=2$ です。

(2) $\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ に代入します。まず $(\alpha+\beta)^3=4^3=64$ です。次に $3\alpha\beta(\alpha+\beta)=3\times7\times4$ を計算します。$3\times7=21$、$21\times4=84$ なので、$3\alpha\beta(\alpha+\beta)=84$ です。

$\alpha^3+\beta^3=64-84=-20$

したがって、$\alpha^3+\beta^3=-20$ です。

(参考:実際に解いてみると $\alpha=2+\sqrt{3}\,i$, $\beta=2-\sqrt{3}\,i$ となりますが、この2数を直接3乗して足す計算はかなり面倒です。解と係数の関係を使うことで、複素数の計算をせずに答えにたどり着けることが、この単元の一番のメリットです。)

例題3(応用)

問題

2次方程式 $x^2-3x+5=0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。$\dfrac{1}{\alpha}$, $\dfrac{1}{\beta}$ を解に持ち、$x^2$ の係数が $1$ である2次方程式を求めなさい。

解答・解説を見る

方針: 新しい2つの数 $\dfrac{1}{\alpha}$, $\dfrac{1}{\beta}$ を解とする($x^2$ の係数が1の)2次方程式は、要点整理で確認した通り、

$x^2-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)x+\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta}=0$

という形になります。ですから、$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$ と $\dfrac{1}{\alpha}\cdot\dfrac{1}{\beta}$ の値がわかればよいことになります。

まず、もとの方程式 $x^2-3x+5=0$ について解と係数の関係を使います。$a=1$, $b=-3$, $c=5$ なので、

$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=3, \qquad \alpha\beta=\frac{c}{a}=5$

新しい解の積を求める

$\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\alpha\beta}=\frac{1}{5}$

新しい解の和を求める

$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$ を、まず分数の通分によって1つの分数にまとめます。

$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\beta}{\alpha\beta}+\frac{\alpha}{\alpha\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$

ここに $\alpha+\beta=3$, $\alpha\beta=5$ を代入します。

$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{5}$

2次方程式を組み立てる

求める2次方程式は $x^2-(\text{和})x+(\text{積})=0$ の形なので、

$x^2-\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}=0$

これでも正解ですが、係数に分数が残っているので、両辺に $5$ をかけて分母を払い、見やすい形にしておきましょう。

$5x^2-3x+1=0$

したがって、求める2次方程式は $5x^2-3x+1=0$ です(定数倍しても解は変わらないので、これも「$x^2$ の係数が1」の条件は $5$ で割れば満たされる形、という意味で正解として扱われます。$x^2$ の係数をちょうど $1$ にしたい場合は $x^2-\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5}=0$ と答えても構いません)。

練習問題

問題

2次方程式 $3x^2+5x-2=0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2+\beta^2$ の値を求めなさい。

答え

$a=3$, $b=5$, $c=-2$ なので、解と係数の関係より $\alpha+\beta=-\dfrac{5}{3}$, $\alpha\beta=-\dfrac{2}{3}$ です。

$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\left(-\frac{5}{3}\right)^2-2\times\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{25}{9}+\frac{4}{3}=\frac{25}{9}+\frac{12}{9}=\frac{37}{9}$

答え: $\alpha^2+\beta^2=\dfrac{37}{9}$