章末問題

まず一般項を求めます。等差数列の一般項の公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ に $a_1=4$、$d=5$ を代入します。

$a_n = 4+(n-1)\times5 = 4+5n-5 = 5n-1$

次に和の公式 $S_n=\dfrac{n}{2}\{2a_1+(n-1)d\}$ に $a_1=4$、$d=5$ を代入します。

$S_n = \frac{n}{2}\{2\times4+(n-1)\times5\} = \frac{n}{2}(8+5n-5) = \frac{n}{2}(5n+3)$

次に、$S_n>500$ を満たす最小の $n$ を探します。実際に $n$ の値を代入して調べてみましょう。

$S_{13} = \frac{13}{2}(5\times13+3) = \frac{13}{2}\times68 = 13\times34 = 442$

$S_{14} = \frac{14}{2}(5\times14+3) = 7\times73 = 511$

$S_{13}=442$ は $500$ 以下ですが、$S_{14}=511$ は $500$ より大きくなっています。したがって、$S_n>500$ となる最小の $n$ は $n=14$ です。

まず、$a_1,a_2,a_5$ をそれぞれ $d$ を使って表します。

$a_1=2, \quad a_2=2+d, \quad a_5=2+4d$

$a_1,a_2,a_5$ がこの順で等比数列をなすということは、$a_2$ が $a_1$ と $a_5$ の等比中項になっているということなので、等比中項の関係式 $b^2=ac$ を使います。

$(a_2)^2 = a_1 \times a_5$

$(2+d)^2 = 2(2+4d)$

左辺を展開します。

$4+4d+d^2 = 4+8d$

両辺から $4$ を引きます。

$4d+d^2 = 8d$

両辺から $8d$ を引きます。

$d^2+4d-8d=0$

$d^2-4d=0$

左辺を因数分解します。

$d(d-4)=0$

したがって、$d=0$ または $d=4$ です。問題文の条件 $d\neq0$ より、$d=4$ が答えです。

（確認: $d=4$ のとき $a_1=2$、$a_2=6$、$a_5=18$ となり、公比 $\dfrac{6}{2}=3$、$\dfrac{18}{6}=3$ で一致します。）

まず $(k+1)(k+2)$ を展開します。

$(k+1)(k+2) = k^2+2k+k+2 = k^2+3k+2$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n}(k+1)(k+2) = \sum_{k=1}^{n}k^2 + 3\sum_{k=1}^{n}k + \sum_{k=1}^{n}2$

公式を代入します。$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2}$、$\displaystyle\sum_{k=1}^n 2=2n$ です。

$\sum_{k=1}^{n}(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\times\frac{n(n+1)}{2} + 2n$

すべて分母 $6$ にそろえます。$3\times\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{9n(n+1)}{6}$、$2n=\dfrac{12n}{6}$ です。

$\sum_{k=1}^{n}(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(2n+1)+9n(n+1)+12n}{6}$

分子から $n$ をくくり出します。

$n(n+1)(2n+1)+9n(n+1)+12n = n\left\{(n+1)(2n+1)+9(n+1)+12\right\}$

中かっこの中を計算します。$(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1$ なので、

$(n+1)(2n+1)+9(n+1)+12 = 2n^2+3n+1+9n+9+12 = 2n^2+12n+22$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n}(k+1)(k+2) = \frac{n(2n^2+12n+22)}{6} = \frac{n(n^2+6n+11)}{3}$

（確認: $n=2$ のとき、左辺は $2\times3+3\times4=6+12=18$。右辺は $\dfrac{2(4+12+11)}{3}=\dfrac{2\times27}{3}=18$ で一致します。）

隣り合う項の差を計算します。

$2-1=1, \quad 4-2=2, \quad 7-4=3, \quad 11-7=4, \quad 16-11=5$

階差数列は $1,2,3,4,5,\ldots$、つまり $b_n=n$ です。階差数列から元の数列を求める公式 $a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k$（$n\geq2$）を使います。

$a_n = 1+\sum_{k=1}^{n-1}k = 1+\frac{(n-1)n}{2}$

$n=1$ を代入すると $\dfrac{(1-1)\times1}{2}=0$ なので $a_1=1+0=1$ となり、もとの初項と一致します。したがって、この式はすべての$n$で成り立ちます。

したがって、$a_n = 1+\dfrac{n(n-1)}{2} = \dfrac{n^2-n+2}{2}$ です。

まず、第$n$群までに並んでいる奇数の個数の合計を求めます。各群の個数は $1,2,\ldots,n$ なので、合計は

$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$

個です。小さい方から数えて$m$番目の奇数は $2m-1$ と表せるので、第$n$群の最後の数は、$m=\dfrac{n(n+1)}{2}$ 番目の奇数、つまり、

$2\times\frac{n(n+1)}{2}-1 = n(n+1)-1$

です。第7群の最初の数を求めるには、その1つ前の第6群の最後の数を求めて、そこに$2$を足せばよい（奇数は2ずつ増えるため）です。第6群の最後の数は、上の式に $n=6$ を代入して、

$6\times7-1 = 42-1 = 41$

したがって、第7群の最初の数は、

$41+2=43$

（確認: 第1群の最後は $1\times2-1=1$、第2群の最後は $2\times3-1=5$ で、たしかに問題の図と一致しています。）

漸化式 $a_{n+1}-a_n=2^n$ は階差数列型で、階差数列は $b_n=2^n$ です。公式 $a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k$（$n\geq2$）を使います。

$a_n = 1+\sum_{k=1}^{n-1}2^k$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^k$ は、初項 $2^1=2$、公比 $2$、項数 $(n-1)$ の等比数列の和なので、公式 $S_m=\dfrac{a_1(r^m-1)}{r-1}$ を使います。

$\sum_{k=1}^{n-1}2^k = \frac{2(2^{\,n-1}-1)}{2-1} = 2(2^{\,n-1}-1) = 2^{\,n}-2$

これを代入します。

$a_n = 1+(2^{\,n}-2) = 2^{\,n}-1$

$n=1$ を代入すると $2^1-1=1$ となり、もとの初項と一致します。したがって、この式はすべての$n$で成り立ちます。

したがって、$a_n = 2^{\,n}-1$ です。

漸化式は $a_{n+1}=pa_n+q$ の形（$p=2$、$q=-1$）です。特性方程式を作ります。

$\alpha=2\alpha-1$

両辺から $2\alpha$ を引きます。

$-\alpha=-1$

$\alpha=1$

もとの漸化式から特性方程式を引くと、

$a_{n+1}-1 = (2a_n-1)-(2\times1-1) = 2a_n-1-1=2a_n-2=2(a_n-1)$

したがって、数列 $\{a_n-1\}$ は公比 $2$ の等比数列です。初項は $a_1-1=4-1=3$ なので、

$a_n-1 = 3\times2^{\,n-1}$

両辺に $1$ を足します。

$a_n = 1+3\times2^{\,n-1}$

$a_{10}$ を求めるには $n=10$ を代入します。$2^9$ を計算すると、$2^9=512$ なので、

$a_{10} = 1+3\times512 = 1+1536 = 1537$

したがって、一般項は $a_n=1+3\times2^{\,n-1}$、$a_{10}=1537$ です。

ステップ1（$n=1$のとき）: $6^1-1=6-1=5$ となり、$5$ で割り切れます。

ステップ2（$n=k$のとき成り立つと仮定して、$n=k+1$のときを示す）: $6^k-1$ が $5$ で割り切れると仮定します。つまり、ある整数 $m$ を使って $6^k-1=5m$ と書けるとします。このとき $6^k=5m+1$ です。

$6^{\,k+1}-1 = 6\times6^{\,k}-1 = 6(5m+1)-1 = 30m+6-1 = 30m+5 = 5(6m+1)$

$6m+1$ は整数なので、$6^{\,k+1}-1$ は $5$ で割り切れます。したがって、$n=k$のとき成り立つならば$n=k+1$のときも成り立ちます。

結論: ステップ1、2より、数学的帰納法によって、すべての自然数$n$について $6^n-1$ は $5$ で割り切れます。