章末問題

平均変化率: $f(0)=0^2-0=0$、$f(3)=3^2-3=9-3=6$ より、

$\frac{f(3)-f(0)}{3-0} = \frac{6-0}{3} = 2$

$f'(2)$ を定義から求める: $f(2)=4-2=2$。

$f(2+h) = (2+h)^2-(2+h) = 4+4h+h^2-2-h = h^2+3h+2$

$f(2+h)-f(2) = (h^2+3h+2)-2 = h^2+3h$

$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{h^2+3h}{h} = h+3$

$h\to0$ の極限をとると、$f'(2)=3$。

答え: 平均変化率 $2$、$f'(2)=3$

各項を微分します。

$f'(x) = 12x^2-6x+2$

$f'(0) = 12\times0^2-6\times0+2 = 2$

$f'(1) = 12\times1^2-6\times1+2 = 12-6+2 = 8$

答え: $f'(x)=12x^2-6x+2$、$f'(0)=2$、$f'(1)=8$

$f(x)=x^2-3x$ とおくと $f'(x)=2x-3$。

$f(2) = 4-6 = -2, \qquad f'(2) = 2\times2-3 = 1$

接線の公式 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ に代入します。

$y-(-2) = 1\times(x-2) \quad\Longrightarrow\quad y+2 = x-2 \quad\Longrightarrow\quad y = x-4$

答え: $y=x-4$

$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)$

$f'(x)=0$ より $x=1,2$。符号を調べると、$x<1$ で正、$12$ で正です。

$f(1) = 2-9+12 = 5, \qquad f(2) = 16-36+24 = 4$

答え: $x=1$ で極大値 $5$、$x=2$ で極小値 $4$

$x$ 切片: $f(x)=x^2(x-3)=0$ より $x=0$(重解)、$x=3$。

極値: $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。$f'(x)=0$ より $x=0,2$。符号は $x<0$ で正、$02$ で正です。

$f(0)=0, \qquad f(2)=8-12=-4$

答え: $x$ 切片は $x=0$(グラフが $x$ 軸に接する)と $x=3$。$x=0$ で極大値 $0$、$x=2$ で極小値 $-4$。グラフは原点で $x$ 軸に接してから一度下がり、$x=2$ で谷になったあと、$x=3$ で $x$ 軸を通過して右上に上がっていく形です。

問題5の結果を利用します。$f(x)=x^3-3x^2$ とおくと、極大値は $f(0)=0$、極小値は $f(2)=-4$ でした。

方程式は $x^3-3x^2=-k$、つまり $f(x)=-k$ と同じ形です。異なる3つの実数解を持つ条件は、極小値 $<-k<$ 極大値 なので、

$-4 < -k < 0$

各辺に $-1$ を掛けます(不等号の向きが反転することに注意)。

$4 > k > 0 \quad \text{すなわち} \quad 0

答え: $0

$f'(x)$ を積分します。

$f(x) = \int(3x^2+4x-2)\,dx = x^3+2x^2-2x+C$

$x=-1$ を代入します。

$f(-1) = (-1)^3+2\times(-1)^2-2\times(-1)+C = -1+2+2+C = 3+C$

$f(-1)=3$ なので、$3+C=3$ より $C=0$。

答え: $f(x)=x^3+2x^2-2x$

$x$ 軸との交点: $-x^2+2x+3=0$ の両辺に $-1$ を掛けて、

$x^2-2x-3=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)(x+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1, \ 3$

上下関係: $x^2$ の係数が負の放物線なので、$-1

6分の1公式を使う: $-x^2+2x+3=-(x^2-2x-3)=-(x-3)(x+1)=-(x-(-1))(x-3)$ なので、$a=-1$、$\alpha=-1$、$\beta=3$。$\beta-\alpha=3-(-1)=4$ より、

$S = |a|\times\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} = 1\times\frac{4^3}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$

答え: $\dfrac{32}{3}$