放物線

要点整理

数学Iや数学IIでは、放物線を「2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフ」として学んできました。数学Cでは、放物線を含む「円以外の曲線」を、距離の条件を使って定義し直します。この見方をすることで、楕円や双曲線もまとめて統一的に理解できるようになります。

放物線の定義

平面上に、1つの点 $\mathrm{F}$(焦点と呼びます)と、$\mathrm{F}$ を通らない1本の直線 $\ell$(準線と呼びます)を定めます。このとき、

$\text{点 } \mathrm{F} \text{ までの距離} = \text{直線 } \ell \text{ までの距離}$

を満たす点 $\mathrm{P}$ 全体が描く曲線を放物線といいます。「焦点までの距離」と「準線までの距離」がつねに等しい、という条件だけで曲線が決まる、というのがポイントです。

標準形の方程式の導出

焦点を $\mathrm{F}(p, 0)$($p \neq 0$)、準線を直線 $x=-p$ とします。放物線上の点を $\mathrm{P}(x, y)$ とすると、定義より、

$\mathrm{PF} = (\mathrm{P} \text{ から準線 } x=-p \text{ までの距離})$

左辺の $\mathrm{PF}$ は、2点間の距離の公式より、

$\mathrm{PF} = \sqrt{(x-p)^2+y^2}$

右辺の「点 $(x,y)$ から直線 $x=-p$ までの距離」は、直線が $y$ 軸に平行な縦の直線なので、$x$ 座標の差の絶対値で求められます。

$(\mathrm{P} \text{ から準線までの距離}) = |x-(-p)| = |x+p|$

したがって、

$\sqrt{(x-p)^2+y^2} = |x+p|$

両辺とも $0$ 以上なので、2乗しても同値な式になります。

$(x-p)^2+y^2 = (x+p)^2$

左辺の $(x-p)^2$ と右辺の $(x+p)^2$ を展開します。

$(x-p)^2 = x^2-2px+p^2, \qquad (x+p)^2 = x^2+2px+p^2$

これらを代入すると、

$x^2-2px+p^2+y^2 = x^2+2px+p^2$

両辺から $x^2+p^2$ を引きます。

$-2px+y^2 = 2px$

$-2px$ を右辺に移項します。

$y^2 = 2px+2px = 4px$

したがって、

$y^2 = 4px$

これが、焦点 $(p,0)$、準線 $x=-p$ である放物線の標準形の方程式です。

標準形のグラフの特徴

$y^2=4px$ のグラフについて、いくつか性質を確認しておきましょう。

• 原点 $(0,0)$ を通ります(頂点)。原点から焦点までの距離、原点から準線までの距離は、どちらも $|p|$ で等しくなっています。
• $p>0$ のとき、$y^2=4px \geq 0$ より $x \geq 0$ となるので、グラフは右向きに開きます。$p<0$ のときは左向きに開きます。
• $x$ 軸に関して対称な形をしています($y$ を $-y$ に置きかえても方程式が変わらないことからわかります)。

同じようにして、焦点が $(0, p)$、準線が $y=-p$ である(縦向きに開く)放物線の標準形は、

$x^2 = 4py$

となります。これは $y^2=4px$ の $x$ と $y$ の役割を入れかえたものです。数学Iで学んだ $y=ax^2$ のグラフは、$x^2=\dfrac{1}{a}y$ と変形すれば、$4p=\dfrac{1}{a}$、つまり $p=\dfrac{1}{4a}$ の放物線の標準形にあたることがわかります。

例題

例題1(基本)

問題

放物線 $y^2=8x$ の焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。

解答・解説を見る

標準形 $y^2=4px$ と、与えられた式 $y^2=8x$ を見比べます。

$4p = 8$

両辺を $4$ で割ります。

$p = 2$

標準形の焦点は $(p,0)$、準線は $x=-p$ なので、

答え: 焦点 $(2, 0)$、準線 $x=-2$

例題2(標準)

問題

焦点が $(0, -3)$、準線が $y=3$ である放物線の方程式を求めなさい。

解答・解説を見る

焦点が $y$ 軸上、準線が $x$ 軸に平行な直線なので、この放物線は縦向きに開くタイプ、つまり標準形 $x^2=4py$ にあてはまります。この標準形の焦点は $(0,p)$、準線は $y=-p$ です。

焦点の座標を比較すると、$(0,p) = (0,-3)$ より、

$p = -3$

念のため準線でも確認します。準線は $y=-p$ なので、$y=-(-3)=3$ となり、問題文の「準線 $y=3$」と一致します。

$p=-3$ を標準形 $x^2=4py$ に代入します。

$x^2 = 4\times(-3)\times y = -12y$

答え: $x^2 = -12y$

例題3(応用)

問題

放物線 $y^2=4x$ 上の点 $\mathrm{P}$ から焦点までの距離が $5$ であるとき、点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標を求めなさい。

解答・解説を見る

まず、この放物線の焦点と準線を求めます。標準形 $y^2=4px$ と見比べると $4p=4$ より $p=1$ なので、焦点は $(1,0)$、準線は $x=-1$ です。

ここで、放物線の定義を思い出しましょう。放物線上の点は「焦点までの距離」と「準線までの距離」がつねに等しいのでした。$\mathrm{P}$ の $x$ 座標を $x$ とすると、$\mathrm{P}$ から準線 $x=-1$ までの距離は、放物線が $x\geq0$ の範囲にあることから、

$(\mathrm{P} \text{ から準線までの距離}) = x-(-1) = x+1$

定義より、これは焦点までの距離に等しいので、

$x+1 = 5$

（焦点までの距離を直接、座標から $\sqrt{(x-1)^2+y^2}$ のように計算して $y^2=4x$ を代入して解くこともできますが、定義を使うことで根号を扱わずに済み、計算がぐっと簡単になります。)

両辺から $1$ を引きます。

$x = 4$

答え: $x = 4$

(検算: $x=4$ のとき $y^2=4\times4=16$ なので $y=\pm4$。点 $(4,4)$ と焦点 $(1,0)$ の距離は $\sqrt{(4-1)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ となり、確かに一致します。)

練習問題

問題1

放物線 $y^2=-12x$ の焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。

答え

焦点 $(-3, 0)$、準線 $x=3$

(解説: $4p=-12$ より $p=-3$。焦点は $(p,0)=(-3,0)$、準線は $x=-p=3$。)

問題2

焦点が $(3, 0)$、準線が $x=-3$ である放物線の方程式を求めなさい。

答え

$y^2 = 12x$

(解説: $p=3$ を $y^2=4px$ に代入して $y^2=12x$。)

問題3

放物線 $x^2=8y$ 上の点 $\mathrm{P}$ から焦点までの距離が $6$ であるとき、点 $\mathrm{P}$ の $y$ 座標を求めなさい。

答え

$y = 4$

(解説: $4p=8$ より $p=2$。焦点は $(0,2)$、準線は $y=-2$。定義より $\mathrm{P}$ から準線までの距離 $y+2$ が焦点までの距離 $6$ に等しいので、$y+2=6$、$y=4$。)