数学A

図形の性質

三角形や円の性質を、定理を使って論理的に説明できるようになる単元です。図をかく力が大きな武器になります。

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この単元のトピック一覧

• 三角形の辺と角の関係 三角形の3辺の長さと3つの角の大きさの間にある大小の対応関係、そして3本の線分から三角形を作ることができるための条件(三角形の成立条件)を学びます。
• 三角形の重心・内心・外心 三角形の重心・外心・内心について、それぞれが「なぜ1点で交わるのか」という理由から丁寧に解説し、比や角度、面積を求める計算にも活用できるようにします。
• チェバの定理・メネラウスの定理 3本の直線が1点で交わるときに成り立つチェバの定理と、三角形の3辺(の延長)を1本の直線が横切るときに成り立つメネラウスの定理を学びます。どちらも「辺の比の積が1になる」という共通の形をしているのがポイントです。
• 円に内接する四角形 円に内接する四角形では対角の和が180°になること、外角がその対角(向かい合う内角)に等しくなることを確認し、これらの性質を使って角度を求めたり図形の性質を証明したりする方法を学びます。
• 円と接線 円の接線がもつ2つの基本性質(接点を通る半径との垂直性、外部の1点から引いた2本の接線の長さが等しいこと)を、証明の考え方とあわせて学びます。
• 円周角の定理 円周角の定理は、同じ弧に対する円周角がすべて等しく、その大きさは中心角のちょうど半分になるという性質です。直径に対する円周角が90度になる特別な場合や、定理の逆(4点が同一円周上にあるための条件)まで、図をかきながら順に確認していきます。
• 方べきの定理 方べきの定理は、円の外や中にある1つの点Pを通る直線と円が交わる点までの距離の積が、直線の引き方によらず一定になるという定理です。円の内部で弦が交わる場合・外部から割線を引く場合・接線と割線を引く場合の3パターンを、それぞれ計算できるようにします。
• 2つの円の位置関係 2つの円の半径と中心間の距離を比べることで、2つの円が離れているのか、接しているのか、2点で交わっているのかを判定する方法を学びます。あわせて共通接線の本数も整理します。
• 空間図形(直線・平面の位置関係、多面体) 空間内にある2直線・直線と平面・2平面の位置関係(平行、交わる、ねじれの位置など)を整理し、さらに凸多面体や正多面体の性質、オイラーの多面体定理を使って辺・頂点・面の数を求める方法を学びます。