2次関数のグラフと2次不等式の関係

要点整理

前のトピックでは、2次不等式 $ax^2+bx+c>0$ を解くとき、まず $x^2$ の係数を正にしてから、判別式 $D$ の符号で場合分けして解を求める手順を学びました。ここでは、その手順の裏にある「グラフとの関係」をもう一歩深く見ていき、符号を変えずに直接グラフから読み取る考え方や、不等式が「すべての実数 $x$ で成り立つ」ための条件の求め方を学びます。

$a>0$(下に凸)のときの復習

$2$次関数 $y=ax^2+bx+c$ で $a>0$ のとき、グラフは下に凸(谷型)になります。判別式 $D=b^2-4ac$ の符号によって、方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解 $\alpha,\ \beta$(ただし $D>0$ のとき $\alpha<\beta$)との位置関係が次のように決まるのでした。

• $D>0$:グラフはx軸と2点で交わる。$ax^2+bx+c>0$ の解は $x<\alpha$ または $x>\beta$
• $D=0$:グラフはx軸に接する(頂点がx軸上)。$ax^2+bx+c>0$ の解は $x\neq\alpha$ となるすべての実数
• $D<0$:グラフはx軸と交わらない。$ax^2+bx+c>0$ の解はすべての実数

$a<0$(上に凸)のときの整理

今度は、係数を正にする前の、$a<0$ のグラフをそのまま考えてみましょう。$a<0$ のとき、グラフは上に凸(山型)になります。$a>0$ のときとちょうど逆の形になるイメージです。

• $D>0$ のとき(解を $\alpha<\beta$ とする):グラフは2点でx軸と交わり、その内側($\alpha外側でx軸より下になります。
  • $ax^2+bx+c>0$ の解は $\alpha
  • $ax^2+bx+c<0$ の解は $x<\alpha$ または $x>\beta$
• $D=0$ のとき(重解を $\alpha$ とする):頂点がx軸上にあり、それ以外はすべてx軸より下になります。
  • $ax^2+bx+c>0$ の解はなし
  • $ax^2+bx+c<0$ の解は $x\neq\alpha$ となるすべての実数
• $D<0$ のとき:グラフはx軸と交わらず、頂点(最大値)を含めグラフ全体がx軸より下になります。
  • $ax^2+bx+c>0$ の解はなし
  • $ax^2+bx+c<0$ の解はすべての実数

具体例で確認しましょう。$y=-x^2+2x-5$ を考えます。$a=-1,\ b=2,\ c=-5$ なので

$D=b^2-4ac=2^2-4\times(-1)\times(-5)=4-20=-16$

$D<0$ で $a=-1<0$ なので、上の整理から「グラフ全体がx軸より下」とわかります。つまり、どんな実数 $x$ を代入しても $-x^2+2x-5<0$ が成り立ちます。実際、頂点のx座標は $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{-2}=1$ で、そのときの $y$(最大値)は

$y=-(1)^2+2\times1-5=-1+2-5=-4$

最大値ですら $-4<0$ なので、確かにすべての実数で負であることが確認できます。

「すべての実数xで成り立つ」不等式の条件

ここまでの整理から、次の2つの重要な事実が得られます。

$ax^2+bx+c>0 \ \text{がすべての実数}\ x\ \text{で成り立つ} \iff a>0\ \text{かつ}\ D<0$

$ax^2+bx+c<0 \ \text{がすべての実数}\ x\ \text{で成り立つ} \iff a<0\ \text{かつ}\ D<0$

「$a>0$ かつ $D<0$」は「下に凸で、かつx軸と交わらない」という意味なので、グラフ全体が確実にx軸より上にある、ということです。この形の問題(文字定数を含む2次式が常に正・常に負になる条件を求める問題)は、入試や定期テストでとてもよく出題されます。

注意:2次の係数に文字が入っている場合

問題によっては、$x^2$ の係数そのものが文字定数になっていることがあります。このとき、その文字が $0$ になると、式はもう2次式ではなくなってしまいます(1次式や定数になります)。そのため、

• その文字が $0$ のとき
• その文字が $0$ でないとき(このときだけ、上で整理した「$a>0$ かつ $D<0$」のような条件が使える)

の2つに場合分けして考える必要があります。この考え方は例題3で詳しく扱います。

例題

例題1(基本)

問題

不等式 $-x^2+2x+3\geq 0$ を解きなさい。

解答・解説を見る

まず、$x^2$ の係数が負なので、両辺に $-1$ を掛けて係数を正にします。このとき不等号の向きが逆になることに注意します。

$-x^2+2x+3\geq 0$

$x^2-2x-3\leq 0$

左辺を因数分解します。かけて $-3$、足して $-2$ になる2つの数を探すと、$-3$ と $1$ が見つかります。

$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$

したがって、不等式は

$(x-3)(x+1)\leq 0$

となります。$x^2$ の係数は $1>0$ なので、方程式 $(x-3)(x+1)=0$ の解 $x=-1,\ 3$ の「間」で、この式は $0$ 以下になります。

$-1\leq x\leq 3$

これがもとの不等式 $-x^2+2x+3\geq 0$ の答えでもあります(両辺に $-1$ を掛けても、不等式を満たす $x$ の範囲そのものは変わりません)。

グラフでも確認してみましょう。$y=-x^2+2x+3$ は $a=-1<0$ なので上に凸のグラフです。x軸との交点は、方程式 $-x^2+2x+3=0$(両辺に $-1$ を掛けた $x^2-2x-3=0$ と同じ解を持つ)より $x=-1,\ 3$ です。上に凸のグラフは、2つの交点の内側でx軸より上にあるので、$y\geq0$ となる範囲はちょうど $-1\leq x\leq 3$ となり、答えと一致します。

答え:$-1\leq x\leq 3$

例題2(標準)

問題

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $x^2-2kx+k+6>0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

解答・解説を見る

$y=x^2-2kx+(k+6)$ とおきます。$x^2$ の係数は $1$ で、$k$ の値に関係なくつねに正なので、このグラフはいつも下に凸です。

下に凸のグラフが「すべての実数 $x$ で $y>0$」、つまりグラフ全体がx軸より上にあるためには、グラフがx軸と共有点を持たないこと、すなわち判別式が負であることが必要十分条件です。

$D<0$

判別式を計算します。$a=1,\ b=-2k,\ c=k+6$ なので

$D=b^2-4ac=(-2k)^2-4\times1\times(k+6)$

$(-2k)^2$ を計算すると

$(-2k)^2=4k^2$

$4\times1\times(k+6)$ を計算すると

$4\times1\times(k+6)=4k+24$

これらを使って $D$ を整理します。

$D=4k^2-(4k+24)=4k^2-4k-24$

$D<0$ という条件を書くと

$4k^2-4k-24<0$

両辺を $4$ で割ります($4>0$ なので不等号の向きは変わりません)。

$k^2-k-6<0$

左辺を因数分解します。かけて $-6$、足して $-1$ になる2つの数は $-3$ と $2$ です。

$k^2-k-6=(k-3)(k+2)$

したがって

$(k-3)(k+2)<0$

$k^2$ の係数が正の2次式が負になるのは、方程式 $(k-3)(k+2)=0$ の解 $k=-2,\ 3$ の「間」なので

$-2

答え:$-2

例題3(応用)

問題

2次不等式 $ax^2+2ax+3>0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

解答・解説を見る

この問題では、$x^2$ の係数自体が文字 $a$ になっています。$a=0$ になると左辺は2次式ではなくなってしまうので、まず $a=0$ の場合と $a\neq0$ の場合に分けて考えます。

(i)$a=0$ のとき

左辺は

$0\times x^2+0\times x+3=3$

となるので、不等式は $3>0$ となり、これはどんな実数 $x$ に対しても常に成り立つ、正しい式です。したがって $a=0$ はこの条件を満たします。

(ii)$a\neq0$ のとき

この場合、$y=ax^2+2ax+3$ は正真正銘の2次関数です。「すべての実数 $x$ で $y>0$」となるためには、

• グラフが下に凸であること($a>0$)
• グラフがx軸と共有点を持たないこと($D<0$)

の両方が必要です。まず $a>0$ が必要です。もし $a<0$ だと上に凸になり、$x$ を十分大きくすると $y$ は必ず負の値になってしまうからです。

次に判別式を計算します。$b=2a,\ c=3$ なので

$D=b^2-4ac=(2a)^2-4\times a\times 3$

$(2a)^2$ を計算すると

$(2a)^2=4a^2$

$4\times a\times 3$ を計算すると

$4\times a\times 3=12a$

よって

$D=4a^2-12a$

$D<0$ の条件は

$4a^2-12a<0$

左辺を因数分解します。共通因数 $4a$ をくくり出します。

$4a^2-12a=4a(a-3)$

したがって

$4a(a-3)<0$

両辺を正の数 $4$ で割っても不等号の向きは変わりません。

$a(a-3)<0$

これは、方程式 $a(a-3)=0$ の解 $a=0,\ 3$ の「間」で成り立つので

$0

これは、最初に必要だとわかっていた条件 $a>0$ もすでに満たしています。

(i)と(ii)をあわせる

(i)から $a=0$、(ii)から $0

$0\leq a<3$

答え:$0\leq a<3$

(参考)頂点のy座標で確かめる方法

$a\neq0$ のとき、$y=ax^2+2ax+3$ の頂点のx座標は

$x=-\frac{2a}{2a}=-1$

このときの $y$ の値($a>0$ のときはこれが最小値になります)は

$y=a\times(-1)^2+2a\times(-1)+3=a-2a+3=3-a$

これが正であればよいので $3-a>0$、つまり $a<3$ となり、$a>0$ と合わせて $0

練習問題

問題

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $-x^2+4x+k<0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めなさい。

答え

$k<-4$

($a=-1<0$ なので、このグラフはつねに上に凸です。「すべての実数 $x$ で $y<0$」となるための条件は判別式 $D<0$ です。$D=4^2-4\times(-1)\times k=16+4k$ なので、$16+4k<0$ を解くと $k<-4$ となります。)