数学A / 図形の性質
チェバの定理・メネラウスの定理
要点整理
前提知識として、三角形の重心(中線3本が1点で交わる点)や内心(角の二等分線3本が1点で交わる点)について学んできましたね。ここで学ぶチェバの定理は、「なぜ3本の直線が1点で交わるのか」を、辺の比の計算だけで確認できるようにしてくれる定理です。またメネラウスの定理は、三角形を1本の直線が横切るときに成り立つ、よく似た形の関係式です。
最初に約束事を1つ確認しておきます。この単元で出てくる $BP$, $PC$, $CQ$, $QA$, $AR$, $RB$ などは、すべて向きを考えない「線分の長さ」(0以上の実数)を表します。ですから $BP$ と $PB$ は同じ長さを表す、ということを覚えておいてください。ただし、定理の式の中でどちらの順番で書くかは決まっているので、そこは正確に真似する必要があります。
チェバの定理
三角形ABCがあり、辺BC上(またはその延長上)に点P、辺CA上(またはその延長上)に点Q、辺AB上(またはその延長上)に点Rがあるとします。頂点Aと点Pを結ぶ直線AP、頂点Bと点Qを結ぶ直線BQ、頂点Cと点Rを結ぶ直線CRの3本を考えます。
このとき、次の関係が成り立ちます。
$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$
これがチェバの定理です。正確には、点P, Q, Rのうち外分点になっているものの個数が0個(全部内分点)または2個であるとき、「3直線AP, BQ, CRが1点で交わること」と「上の等式が成り立つこと」が同じ意味になります。基本的な問題では、まずは3点とも内分点である場合を考えれば十分です。
たとえば、$BP:PC=1:1$, $CQ:QA=1:1$, $AR:RB=1:1$(つまりP, Q, Rがすべて辺の中点)のときを考えてみましょう。
$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = 1$
きちんと1になっていますね。これは、3本の中線がいつでも1点(重心)で交わることの裏付けにもなっています。
式の作り方(覚え方) 公式を丸暗記するより、次のように「一周する」やり方で自分で組み立てられるようにしておくと安心です。
- 三角形の頂点をA, B, C, Aの順(一周する順番)に決めます。
- 辺の上にある点それぞれについて、「手前の頂点から点までの長さ」を分子、「点から次の頂点までの長さ」を分母にして分数を作ります。
- 辺BC上の点Pなら $\dfrac{BP}{PC}$、辺CA上の点Qなら $\dfrac{CQ}{QA}$、辺AB上の点Rなら $\dfrac{AR}{RB}$ という形になります。
- できた3つの分数をすべて掛け合わせると1になります。
メネラウスの定理
メネラウスの定理は、チェバの定理と式の形は同じですが、扱う状況が違います。3本の直線が1点で交わるのではなく、1本の直線が三角形の3辺(またはその延長)を横切るときに成り立つ関係です。
三角形ABCの辺BC(またはその延長)、辺CA(またはその延長)、辺AB(またはその延長)が、ある1本の直線とそれぞれ点P, Q, Rで交わるとします。このとき、次の関係が成り立ちます。
$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$
式の形はチェバの定理とまったく同じで、作り方も先ほどの「一周する」方法がそのまま使えます。
1本の直線は、三角形の内部を通り抜けるとき、辺を内側で横切れるのは最大2つまでです(3辺すべてを内側で横切ることはできません)。そのため、メネラウスの定理ではP, Q, Rのうち外分点になっているものの個数は、1個か3個(奇数個)になります。
- チェバの定理: 外分点の個数は0個または2個(偶数個)
- メネラウスの定理: 外分点の個数は1個または3個(奇数個)
問題を解くときは、まず図をかいて、それぞれの点が辺の内側にあるのか延長上にあるのかを確認してから、上の式に当てはめていくのがコツです。
例題
例題1(基本)
問題
三角形ABCの辺BC上に点P、辺CA上に点Qがあり、$BP:PC=2:3$、$CQ:QA=1:2$ である。3直線AP, BQ, CRが1点で交わるように辺AB上に点Rをとるとき、$AR:RB$ を求めなさい。
解答・解説を見る
3直線AP, BQ, CRが1点で交わっているので、チェバの定理が使えます。
$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$
まず、問題文の比を分数の形に直します。$BP:PC=2:3$ なので、
$\frac{BP}{PC} = \frac{2}{3}$
$CQ:QA=1:2$ なので、
$\frac{CQ}{QA} = \frac{1}{2}$
これらをチェバの定理の式に代入します。
$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$
左側の2つの分数だけを先に計算します。
$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \times 1}{3 \times 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
これを代入すると、式は次のようになります。
$\frac{1}{3} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$
両辺に3を掛けます。
$\frac{AR}{RB} = 3$
これは $\dfrac{AR}{RB}=\dfrac{3}{1}$ ということなので、
$AR:RB = 3:1$
例題2(標準)
問題
三角形ABCの辺ABを $1:2$ に内分する点をD、辺ACを $3:1$ に内分する点をEとする。直線DEと辺BCの延長との交点をFとするとき、$BF:FC$ を求めなさい。
解答・解説を見る
1本の直線(直線DE)が、三角形ABCの辺AB上の点D、辺AC上の点E、辺BCの延長上の点Fを通っているので、メネラウスの定理が使えます。点の対応は、辺BC上がF、辺CA上がE、辺AB上がDなので、式は次のようになります。
$\frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AD}{DB} = 1$
まず、$\dfrac{AD}{DB}$ を求めます。$AD:DB=1:2$ なので、
$\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$
次に、$\dfrac{CE}{EA}$ を求めます。ここで注意したいのは、$CE$ と $EC$ は同じ長さを表すということです。$AE:EC=3:1$ ということは、$AE$ の長さを3, $EC$ の長さを1とおけるので、$EC:AE=1:3$ です。したがって、
$\frac{CE}{EA} = \frac{1}{3}$
この2つをメネラウスの定理の式に代入します。
$\frac{BF}{FC} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = 1$
分数の部分を先に計算します。
$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
したがって、
$\frac{BF}{FC} \cdot \frac{1}{6} = 1$
両辺に6を掛けます。
$\frac{BF}{FC} = 6$
これは $\dfrac{BF}{FC}=\dfrac{6}{1}$ ということなので、
$BF:FC = 6:1$
なお、点D, Eはどちらも辺の内側にある内分点(2個)なので、メネラウスの定理が成り立つためには外分点の個数が奇数個(1個)である必要があります。実際、点Fが辺BCの延長上にある外分点になっているので、この問題の設定と矛盾しません。また、$BF:FC=6:1$ で $BF$ の方が大きいことから、Fは点Cを外側に越えた位置(B, Cの順に並んだ先)にあることが分かります。
例題3(応用)
問題
三角形ABCにおいて、辺ABを $2:1$ に内分する点をP、辺ACの中点をQとする。線分BQと線分CPの交点をRとし、直線ARと辺BCとの交点をSとする。このとき、$BS:SC$ を求めなさい。
解答・解説を見る
まず、なぜチェバの定理が使えるのかを確認しましょう。点Rは線分BQと線分CPの交点、つまり直線BQと直線CPの交点です。さらに、直線ARを引いて辺BCとの交点をSとしているので、直線AS・直線BQ・直線CPの3本は、どれも点Rを通ります。つまり、この3直線ASとBQとCPは1点(R)で交わっています。したがって、チェバの定理が使えます。
点Sは辺BC上、点Qは辺CA上、点Pは辺AB上にあるので、チェバの定理は次の形になります。
$\frac{BS}{SC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1$
まず、$\dfrac{AP}{PB}$ を求めます。$AP:PB=2:1$ なので、
$\frac{AP}{PB} = \frac{2}{1} = 2$
次に、$\dfrac{CQ}{QA}$ を求めます。QはACの中点なので、$CQ$ と $QA$ の長さは等しくなります。したがって、
$\frac{CQ}{QA} = 1$
この2つをチェバの定理の式に代入します。
$\frac{BS}{SC} \cdot 1 \cdot 2 = 1$
左辺を整理すると、
$\frac{BS}{SC} \cdot 2 = 1$
両辺を2で割ります。
$\frac{BS}{SC} = \frac{1}{2}$
したがって、
$BS:SC = 1:2$
このように、「点Rを通る3本目の直線ARが辺BCのどこを通るか」という問題も、チェバの定理を使えば比の計算だけで求められます。
練習問題
問題
三角形ABCの辺BCを $3:2$ に内分する点をP、辺CAを $1:4$ に内分する点をQとする。直線PQと辺ABの延長との交点をRとするとき、$AR:RB$ を求めなさい。
答え
メネラウスの定理より、
$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$
$BP:PC=3:2$ より $\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{3}{2}$、$CQ:QA=1:4$ より $\dfrac{CQ}{QA}=\dfrac{1}{4}$ です。これらを代入すると、
$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{AR}{RB} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{8} \cdot \frac{AR}{RB} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{AR}{RB} = \frac{8}{3}$
よって、
$AR:RB = 8:3$
(Rは辺ABの延長上、Bを外側に越えた位置にある点です。)