合成関数の微分法

要点整理

数学IIで、$y=f(g(x))$ のように、ある関数 $g(x)$ の出力を、別の関数 $f$ にさらに入れる形の関数を合成関数と呼ぶことを学びました。例えば $y=(3x-2)^4$ は、$u=3x-2$(内側の関数)を先に計算してから、それを $4$ 乗する(外側の関数 $f(u)=u^4$)という合成関数です。

このような合成関数を、いちいち展開してから微分するのは大変です($(3x-2)^4$ を展開するだけでも一苦労です)。そこで、展開せずに微分できる連鎖律(chain rule)という方法を学びます。

合成関数の微分法(連鎖律)

$y=f(u)$、$u=g(x)$ という2段階の関数があるとき(つまり $y=f(g(x))$)、$x$ に関する $y$ の導関数は、次の式で求められます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}$

これを $f$、$g$ を使った書き方に直すと、

$\{f(g(x))\}' = f'(g(x))\times g'(x)$

となります。つまり、「外側の関数 $f$ を、中身を $u=g(x)$ のまま(展開せず)微分したもの $f'(g(x))$」と、「内側の関数 $g(x)$ を微分したもの $g'(x)$」を掛け算する、という手順です。

なぜこの式が成り立つのか(直感的な説明)

$x$ が少しだけ($\Delta x$ だけ)変化すると、それにともなって $u=g(x)$ も少し($\Delta u$ だけ)変化し、さらにそれにともなって $y=f(u)$ も少し($\Delta y$ だけ)変化します。$\Delta u\neq 0$ であるとして、次のように式を変形します。

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u}\times\frac{\Delta u}{\Delta x}$

(右辺は、分母・分子に同じ $\Delta u$ を掛けているだけなので、左辺と等しくなります。)

$g(x)$ は微分可能なので連続であり、$\Delta x\to 0$ のとき $\Delta u\to 0$ にもなります。したがって、$\Delta x\to 0$ の極限を取ると、

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta u\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\times\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}$

となり、連鎖律の式が得られます。

最も頻出のパターン:べき乗の形

合成関数の中でも、$y=\{g(x)\}^n$($g(x)$ を何かの累乗にした形)のパターンは非常によく登場します。$u=g(x)$、$y=u^n$ とみなすと、$\dfrac{dy}{du}=nu^{n-1}$ なので、連鎖律より

$\{g(x)^n\}' = n\,g(x)^{n-1}\times g'(x)$

となります。これは「指数 $n$ を前に下ろして、指数を $1$ 減らし、最後に中身 $g(x)$ を微分したもの $g'(x)$ を掛ける」という手順です。この操作を「かけ忘れ」ないようにすることが、合成関数の微分でいちばん大事な注意点です。

なお、この累乗の公式 $(x^n)'=nx^{n-1}$ は、数学IIでは $n$ が正の整数の場合を中心に学びましたが、数学IIIでは $n$ が負の数や分数(つまり $\dfrac{1}{g(x)^k}$ の形や $\sqrt{g(x)}$ の形)であっても同じ公式が成り立つことが分かっています。これを使うと、根号や分数を含む式も同じ手順で微分できます。

例題

例題1(基本)

問題

$y=(3x-2)^4$ を微分しなさい。

解答・解説を見る

$u=3x-2$ とおくと、$y=u^4$ です。それぞれを微分すると、

$\frac{dy}{du} = 4u^3,\qquad \frac{du}{dx}=3$

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx} = 4u^3\times 3 = 12u^3$

最後に $u=3x-2$ を戻します。

$y' = 12(3x-2)^3$

答え:$y'=12(3x-2)^3$

例題2(標準)

問題

$y=\dfrac{1}{(x^2+1)^3}$ を微分しなさい。

解答・解説を見る

まず $y$ を、負の指数を使って累乗の形に書き直します。

$y = (x^2+1)^{-3}$

$g(x)=x^2+1$ とおくと $g'(x)=2x$ です。べき乗型の公式 $\{g(x)^n\}'=n\,g(x)^{n-1}g'(x)$ に、$n=-3$ を当てはめます。

$y' = -3(x^2+1)^{-3-1}\times 2x = -3(x^2+1)^{-4}\times 2x = -6x(x^2+1)^{-4}$

負の指数を分数の形に戻します。

$y' = -\frac{6x}{(x^2+1)^4}$

答え:$y'=-\dfrac{6x}{(x^2+1)^4}$

例題3(応用)

問題

$y=(2x+1)^3(x-1)^2$ を微分しなさい。

解答・解説を見る

2つの合成関数の積になっているので、まず積の微分法を使い、それぞれを微分するときに合成関数の微分法(べき乗型)を使います。

$f(x)=(2x+1)^3$、$g(x)=(x-1)^2$ とおきます。それぞれの導関数を、べき乗型の公式で求めます。

$f'(x) = 3(2x+1)^2\times 2 = 6(2x+1)^2$

$g'(x) = 2(x-1)^1\times 1 = 2(x-1)$

積の微分法 $\{fg\}'=f'g+fg'$ に代入します。

$y' = 6(2x+1)^2(x-1)^2 + (2x+1)^3\times 2(x-1)$

$= 6(2x+1)^2(x-1)^2 + 2(2x+1)^3(x-1)$

両方の項に共通する因数 $2(2x+1)^2(x-1)$ でくくり出します。

$6(2x+1)^2(x-1)^2 = 2(2x+1)^2(x-1)\times 3(x-1)$

$2(2x+1)^3(x-1) = 2(2x+1)^2(x-1)\times (2x+1)$

したがって、

$y' = 2(2x+1)^2(x-1)\left[3(x-1)+(2x+1)\right]$

$[\ ]$ の中を計算します。

$3(x-1)+(2x+1) = 3x-3+2x+1 = 5x-2$

したがって、

$y' = 2(2x+1)^2(x-1)(5x-2)$

答え:$y'=2(2x+1)^2(x-1)(5x-2)$

練習問題

問題1

$y=(x^2-3)^5$ を微分しなさい。

答え

べき乗型の公式より $y'=5(x^2-3)^4\times 2x=10x(x^2-3)^4$ です。

問題2

$y=\sqrt{2x+3}$ を微分しなさい。

答え

$y=(2x+3)^{\frac12}$ と書き直し、公式より $y'=\dfrac12(2x+3)^{-\frac12}\times 2=(2x+3)^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}$ です。