数学II / 三角関数
頻出解法パターン
パターン1: 象限の条件から相互関係で残りの値を求める
こんな問題で使う
「$\theta$ は第○象限の角で、$\sin\theta$(または $\cos\theta,\tan\theta$)の値が○○のとき、他の三角関数の値を求めよ」というタイプの問題。
解法の手順
- $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$(または $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$)に分かっている値を代入し、残りの三角関数の2乗の値を求める。
- 平方根をとって、$\pm$ の両方の可能性を出す。
- 与えられた象限の符号のルール(第1象限は全部正、第2象限は $\sin$ のみ正、第3象限は $\tan$ のみ正、第4象限は $\cos$ のみ正)を使って符号を1つに決める。
- 必要なら $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を使って残りの値も求める。
具体例
$\theta$ が第4象限の角で $\sin\theta=-\dfrac35$ のとき、$\cos^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ より $\cos\theta=\pm\dfrac45$。第4象限では $\cos\theta>0$ なので $\cos\theta=\dfrac45$。よって $\tan\theta=\dfrac{-3/5}{4/5}=-\dfrac34$。
パターン2: 有名角の和・差に分解して加法定理を使う
こんな問題で使う
$15°,75°,105°,165°$ など、三角比の表にない角の $\sin,\cos,\tan$ の値を求める問題。
解法の手順
- 求めたい角を、$30°,45°,60°,90°$ などの有名角の和または差で表す(例: $75°=45°+30°$、$15°=45°-30°$)。
- 加法定理に、有名角の $\sin,\cos$ の値を代入する。
- 分数の計算を丁寧に行い、必要なら通分・有理化して整理する。
具体例
$\cos105°$ を求めたいとき、$105°=60°+45°$ と分解する。
$\cos105°=\cos60°\cos45°-\sin60°\sin45°=\frac12\times\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$
パターン3: 2倍角の公式で次数を下げてから合成する
こんな問題で使う
$\sin^2\theta$、$\cos^2\theta$、$\sin\theta\cos\theta$ が混ざった式の最大値・最小値やグラフの様子を調べる問題。
解法の手順
- $\sin\theta\cos\theta=\dfrac12\sin2\theta$、$\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$、$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$ を使って、式全体を $2\theta$ の1次式(足し算・引き算だけの形)に書き直す。
- $a\sin2\theta+b\cos2\theta$ の形になったら、三角関数の合成で $r\sin(2\theta+\varphi)$ にまとめる。
- $\theta$ の範囲から $2\theta+\varphi$ の範囲を求め、最大値・最小値とそのときの $\theta$ を求める。
具体例
$y=2\sin\theta\cos\theta-2\cos^2\theta$ は、$y=\sin2\theta-(1+\cos2\theta)=\sin2\theta-\cos2\theta-1$ となり、$\sin2\theta-\cos2\theta=\sqrt2\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ と合成できるので、$y=\sqrt2\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)-1$ とまとまる。
パターン4: $t=\sin\theta+\cos\theta$ の置き換えで最大最小を求める
こんな問題で使う
$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の両方が式に含まれている、最大値・最小値を求める問題。
解法の手順
- $t=\sin\theta+\cos\theta$ とおく。合成すると $t=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ なので、$\theta$ の範囲から $t$ のとりうる範囲($-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ が上限)を確認する。
- $t^2=1+2\sin\theta\cos\theta$ の関係から $\sin\theta\cos\theta=\dfrac{t^2-1}{2}$ を導き、式全体を $t$ だけの式(たいてい2次関数)に書き直す。
- $t$ の定義域における2次関数の最大・最小を、平方完成や頂点の位置を調べて求める(数学Ⅰの2次関数の最大最小と同じ考え方)。
具体例
$y=\sin\theta\cos\theta-(\sin\theta+\cos\theta)$ で $t=\sin\theta+\cos\theta$ とおくと、$y=\dfrac{t^2-1}{2}-t=\dfrac{t^2-2t-1}{2}=\dfrac{(t-1)^2-2}{2}$ となり、$-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ の範囲で頂点 $t=1$ における最小値などを調べればよい。
パターン5: 単位円を描いて三角方程式・不等式を解く
こんな問題で使う
$\sin\theta=a$、$\cos\theta>a$ のような、三角関数を含む方程式・不等式を指定範囲内で解く問題。
解法の手順
- 単位円をかく。
- 方程式なら、$\sin\theta=a$ は水平線 $y=a$、$\cos\theta=a$ は垂直線 $x=a$ を引き、単位円との交点を求める。
- 不等式なら、境界の方程式をまず解き、その境界をもとに単位円上で条件(y座標が大きい・小さいなど)を満たす弧の範囲を読み取る。
- 指定された角の範囲内にある解・範囲だけを答えとしてまとめる。
具体例
$0\le\theta<2\pi$ で $\cos\theta\le-\dfrac12$ を解くとき、まず $\cos\theta=-\dfrac12$ の解 $\theta=\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}$ を求め、単位円で $x$ 座標がこれ以下になる範囲を読み取ると、$\dfrac{2\pi}{3}\le\theta\le\dfrac{4\pi}{3}$ となる。
パターン6: 合成してから範囲を絞り、最大値・最小値とそのときの角を求める
こんな問題で使う
$a\sin\theta+b\cos\theta$(または2倍角処理後の $a\sin2\theta+b\cos2\theta$)の最大値・最小値と、そのときの $\theta$ を具体的に求める問題。
解法の手順
- 合成の公式で $r\sin(\theta+\varphi)$(角が $2\theta$ の場合は $r\sin(2\theta+\varphi)$)の形にまとめる。
- $\theta$ の指定範囲から、$\theta+\varphi$(または $2\theta+\varphi$)がとりうる範囲を計算する。
- その範囲の中で $\sin$ が最大値 $1$、最小値 $-1$ をとれるかどうかを確認する(範囲に $\dfrac{\pi}{2}$ や $\dfrac{3\pi}{2}$ が含まれているか)。
- 含まれていれば、$\sin(\cdots)=\pm1$ となる方程式を解いて、対応する $\theta$ を逆算する。
具体例
$0\le\theta<\pi$ で $y=\sqrt3\sin2\theta-\cos2\theta=2\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)$ の最大値を求めるとき、$2\theta-\dfrac{\pi}{6}$ の範囲は $-\dfrac{\pi}{6}\le2\theta-\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{11\pi}{6}$ で $\dfrac{\pi}{2}$ を含むため、$2\theta-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ を解いて $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき最大値 $2$ をとる。