命題と条件・必要十分条件

要点整理

命題と条件

「2は素数である」「$3>5$」のように、正しいか正しくないかがただ1つに決まる文や式のことを、命題と言います。「2は素数である」は正しい命題(真の命題)で、「$3>5$」は正しくない命題(偽の命題)です。

これに対して、「$x$は3の倍数である」のように文字(変数)を含み、その文字に具体的な数を代入して初めて真偽が決まる文を、条件と言います。条件はふつう $p$, $q$ のような文字で表します。

すでに集合の基本(共通部分・和集合・補集合)を学んだ皆さんは、「条件を満たすもの全体」を集合として考えることができます。この考え方は、この後の説明で何度も使います。

「ならば」の命題 $p \Rightarrow q$

2つの条件 $p$, $q$ について、「$p$ ならば $q$ である」という命題を、記号で

$p \Rightarrow q$

と書きます。この命題が真であるとは、「$p$を満たすものは、必ず$q$も満たす」ということです。つまり、$p$を満たすものの中に、$q$を満たさないものが1つもない、という意味です。

反例という考え方も大切です。$p \Rightarrow q$ が偽であることを示すには、「$p$は満たすが$q$は満たさない」という具体例を1つ見つければ十分です。この具体例のことを反例と言います。

例えば、条件 $p$:「$x$は4の倍数である」、条件 $q$:「$x$は2の倍数である」について考えてみましょう。$x$が4の倍数ならば、$x=4k$($k$は整数)と書けるので、$x=2\times(2k)$となり、$x$は2の倍数です。よって

$p \Rightarrow q \text{ は真}$

です。

一方、逆に「$q \Rightarrow p$」、つまり「$x$が2の倍数ならば、$x$は4の倍数である」はどうでしょうか。$x=2$は2の倍数ですが、4の倍数ではありません。この$x=2$が反例になっているので、

$q \Rightarrow p \text{ は偽}$

です。

十分条件と必要条件

命題 $p \Rightarrow q$ が真であるとき、次のように呼び方が決まっています。

• $p$ は $q$ であるための十分条件
• $q$ は $p$ であるための必要条件

先ほどの例で言えば、$p \Rightarrow q$($x$が4の倍数ならば2の倍数)が真だったので、

• 「$x$が4の倍数である」ことは、「$x$が2の倍数である」ための十分条件
• 「$x$が2の倍数である」ことは、「$x$が4の倍数である」ための必要条件

ということになります。

呼び方が2つあって混乱しやすいところですが、次のように整理すると覚えやすくなります。

• 「$p$ならば$q$」の矢印の出発点にある$p$の方は、$q$を成り立たせるのに「十分」な、より狭く強い条件になっている(だから十分条件)。
• 矢印の到達点にある$q$の方は、$p$が成り立つために「必ず必要」な、より広く弱い条件になっている(だから必要条件)。

必要十分条件

$p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ の両方が真であるとき、$p$と$q$は同値である、または$p$は$q$であるための(そして同時に$q$は$p$であるための)必要十分条件であると言います。記号では

$p \Leftrightarrow q$

と書きます。必要十分条件とは、$p$を満たすものと$q$を満たすものが完全に一致している、という意味です。

真理集合を使った判定

条件$p$に対して、$p$を満たすもの全体の集合を、$p$の真理集合と言います。条件$p$の真理集合を$P$、条件$q$の真理集合を$Q$とすると、次の関係が成り立ちます。

$p \Rightarrow q \text{ が真} \iff P \subset Q$

ここで、$P \subset Q$とは「$P$のすべての要素が$Q$にも属している」という意味でした(集合の基本で学んだ通りです)。イメージとしては、$P$という小さい集合が、$Q$という大きい(または同じ)集合にすっぽり含まれている状態です。

このことから、次のようにまとめられます。

• $P \subset Q$ かつ $P \neq Q$ のとき:$p$は$q$であるための十分条件であるが、必要条件ではない
• $P \supset Q$ かつ $P \neq Q$ のとき:$p$は$q$であるための必要条件であるが、十分条件ではない
• $P = Q$ のとき:$p$と$q$は必要十分条件
• どちらの包含関係も成り立たないとき:$p$は$q$であるための必要条件でも十分条件でもない

真偽の判断に迷ったときは、この「真理集合の包含関係」に立ち返って考えると、間違えにくくなります。

例題

例題1(基本)

問題 実数$x$についての条件 $p: x=3$、$q: x^2=9$ について、$p$は$q$であるための何条件か。次の①〜④から選びなさい。

① 十分条件であるが必要条件ではない ② 必要条件であるが十分条件ではない ③ 必要十分条件である ④ 十分条件でも必要条件でもない

解答・解説を見る

まず、$p \Rightarrow q$ が真かどうかを調べます。

$p$: $x=3$ を仮定すると、$x^2 = 3^2 = 9$ となるので、$q$: $x^2=9$ が成り立ちます。よって、

$p \Rightarrow q \text{ は真}$

です。

次に、逆の $q \Rightarrow p$ が真かどうかを調べます。

$q$: $x^2=9$ を満たす$x$を実際に求めてみましょう。

$x^2 = 9$

$x^2 - 9 = 0$

$(x-3)(x+3) = 0$

$x = 3 \text{ または } x = -3$

つまり、$q$を満たす$x$は$x=3$だけでなく$x=-3$もあります。ここで$x=-3$を考えると、$q$は満たしますが($(-3)^2=9$なので)、$p$: $x=3$は満たしません。この$x=-3$が反例になっているので、

$q \Rightarrow p \text{ は偽}$

です。

以上をまとめると、$p \Rightarrow q$は真、$q \Rightarrow p$は偽なので、$p$は$q$であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

答え:①

例題2(標準)

問題 実数$x$についての条件 $p: -1 \le x \le 3$、$q: x^2-2x-3 \le 0$ について、$p$は$q$であるための何条件か答えなさい。

解答・解説を見る

条件$q$の不等式 $x^2-2x-3 \le 0$ を、実際に解いてみましょう。左辺を因数分解します。

$x^2-2x-3 \le 0$

$(x-3)(x+1) \le 0$

2つの数の積が0以下になるのは、2つの数の符号が異なるとき(またはどちらかが0のとき)です。$x-3=0$となるのは$x=3$、$x+1=0$となるのは$x=-1$なので、この2つの点の間で積が0以下になります。したがって、

$-1 \le x \le 3$

これが条件$q$の真理集合です。

一方、条件$p$はもともと $-1 \le x \le 3$ そのものです。

条件$p$の真理集合を$P$、条件$q$の真理集合を$Q$とすると、

$P = \{x \mid -1 \le x \le 3\}, \quad Q = \{x \mid -1 \le x \le 3\}$

となり、$P=Q$であることが分かりました。真理集合が完全に一致しているので、$p \Rightarrow q$も$q \Rightarrow p$もどちらも真です。

答え:必要十分条件である

例題3(応用)

問題 実数$x$についての条件 $p: 1 \le x \le 5$、$q: a-1 \le x \le a+2$($a$は定数)について、$p$が$q$であるための必要条件となるように、定数$a$の値の範囲を求めなさい。

解答・解説を見る

まず、「$p$が$q$であるための必要条件である」という言葉の意味を、記号の関係に直しておきましょう。

$p$が$q$であるための必要条件であるとは、$q \Rightarrow p$ が真であるという意味でした(「必要条件」は矢印の到達点になる方の呼び名でしたね)。

条件$p$の真理集合を$P$、条件$q$の真理集合を$Q$とすると、

$q \Rightarrow p \text{ が真} \iff Q \subset P$

なので、$Q \subset P$ となるように$a$の範囲を求めればよいことになります。

$P = \{x \mid 1 \le x \le 5\}$、$Q = \{x \mid a-1 \le x \le a+2\}$ です。$Q$は左端が$a-1$、右端が$a+2$の区間で、右端から左端を引くと $(a+2)-(a-1)=3>0$ なので、$a$がどんな実数であっても$Q$は空集合にならず、きちんとした区間になっています。

$Q \subset P$ となるためには、$Q$の左端が$P$の左端以上であり、かつ$Q$の右端が$P$の右端以下であればよいので、次の2つの不等式が同時に成り立てばよいことになります。

$a-1 \ge 1 \quad \text{かつ} \quad a+2 \le 5$

それぞれの不等式を解きます。1つ目の不等式は、

$a-1 \ge 1$

$a \ge 2$

2つ目の不等式は、

$a+2 \le 5$

$a \le 3$

この2つを同時に満たす$a$の範囲を求めればよいので、

$2 \le a \le 3$

答え:$2 \le a \le 3$

練習問題

問題 実数$x$についての条件 $p: x=1$、$q: x^2-3x+2=0$ について、$p$は$q$であるための何条件か答えなさい。

答え

条件$q$の方程式を解くと、

$x^2-3x+2=0$

$(x-1)(x-2)=0$

$x=1 \text{ または } x=2$

$p \Rightarrow q$:$x=1$ならば $x^2-3x+2=(1-1)(1-2)=0$ となるので真です。

$q \Rightarrow p$:$x=2$は$q$を満たしますが$p$は満たさないので、これが反例となり偽です。

よって、$p$は$q$であるための十分条件であるが必要条件ではない。