数学A / 場合の数と確率
順列
要点整理
まず、前提として学んだ「積の法則」(いくつかの作業を順番に行うとき、それぞれの作業の場合の数をすべてかけ合わせると全体の場合の数が求められるという考え方)を思い出してください。この記事では、その積の法則を使って「順序を区別して並べる」場合の数、つまり順列の求め方を学びます。
順列とは何か
例えば、A, B, C, D, Eという5人の中から3人を選び出し、1列に並べて写真を撮ることを考えます。このとき、「誰が選ばれるか」だけでなく「どの順番で並ぶか」も区別して数える場合、この並べ方の総数を順列といいます。同じ3人が選ばれていても、並ぶ順番が違えば別の並べ方として数える、という点がポイントです。
この「異なる$n$個のものから、順序を区別して$r$個を取り出して並べる場合の数」を、記号で
${}_{n}\mathrm{P}_{r}$
と表します。これは英語のPermutation(順列)の頭文字Pを使った記号です。左下の$n$は「もとになる、異なるものの個数」、右下の$r$は「そこから取り出して並べる個数」を表しています。
nPrの求め方
先ほどの5人から3人を選んで並べる例で、積の法則を使って実際に数えてみましょう。1番目、2番目、3番目という3つの位置に、順番に人を当てはめていくと考えます。
- 1番目に並ぶ人の選び方:5人の誰でもよいので、$5$通り
- 2番目に並ぶ人の選び方:すでに1番目で1人使ってしまったので、残り$5-1=4$人の中から選ぶことになり、$4$通り
- 3番目に並ぶ人の選び方:すでに2人使ってしまったので、残り$5-2=3$人の中から選ぶことになり、$3$通り
積の法則より、これらをすべてかけ合わせて、全体の並べ方の総数は
$5 \times 4 \times 3 = 60$
となります。つまり、${}_{5}\mathrm{P}_{3} = 60$です。
この考え方を、一般の$n$個から$r$個を取り出す場合に広げると、次のようになります。
${}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1)$
右辺は、$n$から始めて1つずつ小さくしながら、全部で$r$個の数をかけ合わせたものです。かけ合わせる数の個数がちょうど$r$個になるように、最後の数は$n-r+1$までで止まります(最後の数を求めるときに「$-1$」を忘れないように注意しましょう。例えば5人から3人を並べるときは、$5, 4, 3$の3個をかけますが、最後の数は$5-3+1=3$と計算できます)。
階乗(かいじょう)という考え方
順列の公式をもっと簡潔に表すために、階乗という考え方を導入します。1から$n$までのすべての整数をかけ合わせたものを$n!$と書き、「$n$の階乗」と読みます。
$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$
例えば、
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
です。また、$0! = 1$と約束します(これは今の段階では「そう決めておく」という約束だと思ってください)。
この階乗を使うと、${}_{n}\mathrm{P}_{r}$は次のように書き直すことができます。
${}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
なぜこうなるのか、確認しておきましょう。$n!$は$n$から$1$までのすべての整数をかけたものなので、これを前半の$r$個の積と、後半の残りの積に分けて書くことができます。
$n! = \left(n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\right) \times \left((n-r)(n-r-1)\cdots 2 \times 1\right)$
左の大きいかっこの中は、ちょうど$r$個の数をかけ合わせたもので、これは先ほど確認した${}_{n}\mathrm{P}_{r}$そのものです。右の大きいかっこの中は、$n-r$から$1$までのすべての整数をかけ合わせたものなので、$(n-r)!$に等しくなります。つまり、
$n! = {}_{n}\mathrm{P}_{r} \times (n-r)!$
という関係が成り立ちます。この両辺を$(n-r)!$で割ると、
${}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
が得られます。
特別な場合:r = n のとき
取り出す個数$r$が、もとの個数$n$と同じ場合、つまり「$n$個すべてを並べる」場合を考えます。これは
${}_{n}\mathrm{P}_{n} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1 = n!$
となり、単に$n!$に一致します。また、公式$\dfrac{n!}{(n-r)!}$に$r=n$を代入すると$\dfrac{n!}{0!} = \dfrac{n!}{1} = n!$となり、先ほど約束した$0!=1$がここでもつじつまが合うようになっていることが確認できます。
例題
例題1(基本)
問題 異なる5個の文字A, B, C, D, Eの中から3個を選び、1列に並べて文字列を作ります。このような文字列は何通りできますか。
解答・解説を見る
異なる5個のものから3個を取り出して並べる場合の数なので、順列の記号を使うと${}_{5}\mathrm{P}_{3}$を求める問題です。
まず、積の法則を使った基本の考え方で数えてみましょう。3つの位置に、左から順に文字を当てはめていきます。
- 1番目の文字の選び方:5個の文字すべてが候補になるので、$5$通り
- 2番目の文字の選び方:1番目で1個使ったので、残り$5-1=4$個の中から選び、$4$通り
- 3番目の文字の選び方:すでに2個使ったので、残り$5-2=3$個の中から選び、$3$通り
積の法則より、
${}_{5}\mathrm{P}_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$
となります。
念のため、公式${}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}$を使っても確認してみましょう。$n=5$, $r=3$なので、
${}_{5}\mathrm{P}_{3} = \dfrac{5!}{(5-3)!} = \dfrac{5!}{2!}$
分子と分母をそれぞれ計算すると、$5! = 5\times4\times3\times2\times1=120$、$2!=2\times1=2$なので、
$\dfrac{5!}{2!} = \dfrac{120}{2} = 60$
となり、先ほどの答えと一致します。
したがって、答えは60通りです。
例題2(標準)
問題 0, 1, 2, 3, 4の5個の数字から異なる3個を選んで3桁の整数を作ります。ただし、百の位に0を使うことはできません(例えば012のような並び方は3桁の整数として認めません)。このような3桁の整数は何通りできますか。
解答・解説を見る
この問題のポイントは、「0を百の位に置けない」という条件があることです。単純に${}_{5}\mathrm{P}_{3}$を計算するだけでは、0が百の位にきてしまう並び方まで数えてしまうので、工夫が必要です。
考え方1:百の位から先に決める
百の位、十の位、一の位の順に、数字を当てはめていきます。
- 百の位の選び方:0は使えないので、候補は$1,2,3,4$の$4$個です。よって$4$通り。
- 十の位の選び方:百の位で1個使ったので、残りは$5-1=4$個の数字(0を含む)です。この中から1個選ぶので$4$通り。
- 一の位の選び方:百の位と十の位で2個使ったので、残りは$5-2=3$個です。この中から1個選ぶので$3$通り。
積の法則より、
$4 \times 4 \times 3 = 48$
したがって、答えは48通りです。
考え方2:全体から0が先頭にくる場合を引く
別の考え方でも確認してみましょう。まず、0を含めた5個の数字から3個を選んで並べる場合の数は、順列の公式を使って
${}_{5}\mathrm{P}_{3} = 5\times4\times3 = 60\text{通り}$
です。この中には、百の位が0になってしまう(3桁の整数として不適切な)並び方も含まれています。そこで、百の位が0に固定されている場合の数を数えて、それを引きます。
百の位を0に固定すると、残りの十の位と一の位は、残りの4個の数字($1,2,3,4$)から2個を選んで並べることになるので、
${}_{4}\mathrm{P}_{2} = 4\times3 = 12\text{通り}$
です。したがって、3桁の整数として適切な並べ方の数は、
$60 - 12 = 48$
となり、考え方1と同じ48通りという答えが得られます。このように、2通りの方法で答えが一致することを確認できると、計算ミスの発見にも役立ちます。
例題3(応用)
問題 男子3人、女子3人の合計6人が1列に並びます。女子3人が3人とも続けて並ぶ(隣り合う)ような並べ方は何通りありますか。
解答・解説を見る
「女子3人が続けて並ぶ」という条件がついているので、そのまま6人を並べる${}_{6}\mathrm{P}_{6}=6!$通りを求めるだけでは対応できません。このようなときは、続けて並ぶ女子3人をひとまとめにして「1つの大きなブロック」とみなす、という工夫を使います。
ステップ1:女子3人を1つのブロックとみなして並べる
女子3人をひとまとめにしてしまうと、並べる対象は「男子1人目」「男子2人目」「男子3人目」「女子ブロック」の合計$4$つになります。この$4$つを1列に並べる並べ方の数は、
$4! = 4\times3\times2\times1 = 24\text{通り}$
です。
ステップ2:ブロックの中で女子3人を並び替える
ここで注意しなければならないのは、「女子ブロック」の中でも、女子3人の並ぶ順番によって別の並べ方として数える必要がある、という点です。ブロックの中で女子3人を並べる並べ方は、
$3! = 3\times2\times1=6\text{通り}$
です。
ステップ3:積の法則で合わせる
「男子3人と女子ブロックを並べる並べ方」と「ブロックの中で女子を並べる並べ方」は、それぞれ独立に決めることができる作業なので、積の法則を使って、全体の並べ方の数は
$4! \times 3! = 24 \times 6 = 144$
となります。
したがって、答えは144通りです。
練習問題
問題 異なる8冊の本の中から4冊を選び、本棚の1段に1列に並べます。このような並べ方は何通りありますか。
答え
異なる8個のものから4個を取り出して並べる順列なので、
${}_{8}\mathrm{P}_{4} = 8\times7\times6\times5 = 1680$
答え:1680通り