体積の計算(回転体を含む)

要点整理

断面積を使った体積の基本の考え方

立体の体積を求める基本の考え方は、「立体をものすごく薄くスライス(輪切り)して、それぞれの断面積を、スライスした位置(座標 $x$)の範囲にわたって積み上げる(積分する)」というものです。座標 $x$ の位置での断面積を $S(x)$ とすると、$x=a$ から $x=b$ までの立体の体積は、

$V = \int_a^b S(x)\,dx$

で求められます。この考え方は、次に学ぶ「回転体」に限らず、あらゆる形の立体に使える、体積計算の最も基本的な原理です。

回転体の体積

平面図形を、ある直線(回転の軸)のまわりに1回転させてできる立体を、回転体といいます。

曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸、$x=a$、$x=b$ で囲まれた部分を、$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体を考えます。座標 $x$ の位置でこの立体を輪切りにすると、断面は半径 $|f(x)|$ の円になります。円の面積は「半径の2乗 $\times\ \pi$」なので、断面積は、

$S(x) = \pi\{f(x)\}^2$

これを $x=a$ から $x=b$ まで積分すると、体積の公式が得られます。

$V = \int_a^b \pi\{f(x)\}^2\,dx = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$

$f(x)$ を2乗しているので、$f(x)$ が負の値を取る部分があっても($f(x)$ を2乗すれば必ず $0$ 以上になるので)、そのまま公式を使って問題ありません。

同じように、曲線 $x=g(y)$ を$y$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積は、

$V = \pi\int_c^d \{g(y)\}^2\,dy$

で求められます。この場合は、$x$ の役割と $y$ の役割が入れ替わり、$y$ について積分することになります。

さらに、2つの曲線 $y=f(x)$、$y=g(x)$($f(x)\geq g(x)\geq 0$)で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転させると、外側の円(半径 $f(x)$)から内側の円(半径 $g(x)$)をくり抜いた、ドーナツ状(輪切りにするとリング状)の断面ができます。このときの体積は、

$V = \pi\int_a^b\left(\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2\right)dx$

となります。

例題

例題1(基本)

問題

曲線 $y=x^2$($0\leq x\leq 2$)と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

解答・解説を見る

$x$ 軸のまわりの回転体の公式 $V=\pi\displaystyle\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx$ を使います。$f(x)=x^2$ なので、

$V = \pi\int_0^2 (x^2)^2\,dx = \pi\int_0^2 x^4\,dx$

原始関数を求めて、上端・下端を代入します。

$V = \pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \pi\left(\frac{2^5}{5}-0\right) = \pi\times\frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}$

答え:$\dfrac{32\pi}{5}$

例題2(標準)

問題

曲線 $y=x^2$($0\leq x\leq 2$)と $x$ 軸、直線 $x=2$ で囲まれた部分を、$y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

解答・解説を見る

$y$ 軸のまわりの回転なので、$x$ を $y$ の式で表す必要があります。$y=x^2$ を $x$ について解くと($x\geq 0$ の範囲なので)、

$x = \sqrt{y}$

$x$ の範囲が $0\leq x\leq 2$ のとき、$y=x^2$ の範囲は $0\leq y\leq 4$ です。$y$ 軸のまわりの回転体の公式 $V=\pi\displaystyle\int_c^d\{g(y)\}^2\,dy$ に、$g(y)=\sqrt{y}$、$c=0$、$d=4$ を代入します。

$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{y})^2\,dy = \pi\int_0^4 y\,dy$

原始関数を求めて、上端・下端を代入します。

$V = \pi\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = \pi\left(\frac{16}{2}-0\right) = \pi\times 8 = 8\pi$

答え:$8\pi$

例題3(応用)

問題

曲線 $y=\sin x$($0\leq x\leq\pi$)と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

解答・解説を見る

$x$ 軸のまわりの回転体の公式に $f(x)=\sin x$ を代入します。

$V = \pi\int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx$

$\sin^2 x$ はそのままでは積分できないので、半角の公式 $\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ を使います。

$V = \pi\int_0^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}(1-\cos 2x)\,dx$

原始関数を求めます。

$\frac{\pi}{2}\left[x-\frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi}$

上端 $x=\pi$ を代入します($\sin 2\pi=0$ に注意)。

$\frac{\pi}{2}\left(\pi-\frac{\sin 2\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}\left(\pi-0\right) = \frac{\pi}{2}\times\pi = \frac{\pi^2}{2}$

下端 $x=0$ を代入すると $0$ なので、そのまま答えになります。

答え:$\dfrac{\pi^2}{2}$

練習問題

問題1

曲線 $y=\sqrt{x}$($0\leq x\leq 4$)と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

答え

$V=\pi\displaystyle\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\times 8=8\pi$ です。

問題2

曲線 $y=x$ と $y=x^2$($0\leq x\leq 1$)で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

答え

$0\leq x\leq 1$ で $x\geq x^2$ なので、外側が $y=x$、内側が $y=x^2$。$V=\pi\displaystyle\int_0^1(x^2-x^4)\,dx=\pi\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right]_0^1=\pi\left(\dfrac13-\dfrac15\right)=\dfrac{2\pi}{15}$ です。