三角関数の定義と相互関係

要点整理

一般角に対する三角関数の定義

数学Ⅰでは、三角比 $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ を $0° \le \theta \le 180°$ の範囲で学びました。数学Ⅱでは、前のページで学んだ一般角($360°$ を超えたり負であったりする角も含む)に対して三角関数を定義し直します。

定義の方法は次の通りです。座標平面の原点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円を考え、始線を $x$ 軸の正の部分にとります。角 $\theta$ の動径がこの円と交わる点を $\mathrm{P}(x, y)$ とするとき、

$\sin\theta = \frac{y}{r}, \qquad \cos\theta = \frac{x}{r}, \qquad \tan\theta = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)$

と定義します。これは数学Ⅰで学んだ三角比の定義(直角三角形の辺の比)を、一般角でも使えるように拡張したものです。$r$ はどんな正の数でとっても比の値は変わらないので、特に $r = 1$ とした円、つまり単位円を使うのが最も便利です。単位円を使うと、点 $\mathrm{P}$ の座標がそのまま

$\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$

となります。この形は非常によく使うので、必ず覚えておきましょう。

符号の考え方: 単位円の各象限で $x$ 座標・$y$ 座標の符号がどうなるかを考えると、$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ の符号が分かります。

第1象限($0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$): $x>0, y>0$ なので $\sin\theta>0, \cos\theta>0, \tan\theta>0$
第2象限($\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$): $x<0, y>0$ なので $\sin\theta>0, \cos\theta<0, \tan\theta<0$
第3象限($\pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$): $x<0, y<0$ なので $\sin\theta<0, \cos\theta<0, \tan\theta>0$
第4象限($\dfrac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$): $x>0, y<0$ なので $\sin\theta<0, \cos\theta>0, \tan\theta<0$

三角関数の相互関係

単位円上の点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ は、原点からの距離が $1$ です。三平方の定理(距離の公式)より、

$(\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1^2$

つまり、

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

という関係が、$\theta$ がどんな角であっても成り立ちます。これを三角関数の相互関係の基本公式といいます。ここで $\sin^2\theta$ は $(\sin\theta)^2$ の略記です(2乗する場所に注意しましょう。$\sin(\theta^2)$ ではありません)。

次に、$\tan\theta$ の定義 $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ を、単位円の場合($x=\cos\theta, y=\sin\theta$)で書き直すと、

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0)$

という関係が得られます。

さらに、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の両辺を $\cos^2\theta$($\neq 0$)で割ってみます。

$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}$

左辺の第1項は $\left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2 = \tan^2\theta$ であり、第2項は $1$ になるので、

$\tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}$

すなわち、

$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$

という公式が得られます。この3つの関係式(相互関係)を使うと、$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ のうち1つの値と象限(符号の情報)が分かれば、残り2つの値を求めることができます。

例題

例題1(基本)

問題 $\theta$ が第2象限の角で $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使って $\cos\theta$ を求めます。まず $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ を代入します。

$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta$ について解くために、両辺から $\dfrac{9}{25}$ を引きます。

$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

両辺の平方根をとると、

$\cos\theta = \pm\frac{4}{5}$

ここで符号を決めるために「$\theta$ は第2象限の角」という条件を使います。第2象限では $\cos\theta < 0$ なので、

$\cos\theta = -\frac{4}{5}$

次に $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ に代入します。

$\tan\theta = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \left(-\frac{5}{4}\right) = -\frac{3}{4}$

よって、$\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$、$\tan\theta = -\dfrac{3}{4}$ です。

例題2(標準)

問題 $\theta$ が第3象限の角で $\tan\theta = 2$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ を使って $\cos\theta$ を先に求めます。$\tan\theta = 2$ を代入すると、

$1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2\theta}$

$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2\theta}$

$5 = \frac{1}{\cos^2\theta}$

両辺の逆数をとると、

$\cos^2\theta = \frac{1}{5}$

平方根をとると $\cos\theta = \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ です。$\theta$ は第3象限の角なので $\cos\theta < 0$ より、

$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

(分母の有理化: $\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$)

次に $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を $\sin\theta$ について解くと $\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta$ なので、

$\sin\theta = 2 \times \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

よって、$\sin\theta = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$、$\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ です。

検算: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = \dfrac{4 \times 5}{25} + \dfrac{5}{25} = \dfrac{20}{25} + \dfrac{5}{25} = \dfrac{25}{25} = 1$ となり正しいことが確認できます。また第3象限では $\sin\theta<0, \cos\theta<0$ であり、符号も条件と一致しています。

例題3(応用)

問題 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

このタイプの問題では、$\sin\theta + \cos\theta$ の両辺を2乗するのがポイントです。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

左辺を展開します。$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を使うと、

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4}$

ここで $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ という相互関係の公式を使って置き換えます。

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$

$2\sin\theta\cos\theta$ について解くために、両辺から $1$ を引きます。

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$

両辺を $2$ で割ると、

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$

練習問題

問題 $\theta$ が第4象限の角で $\cos\theta = \dfrac{1}{3}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めなさい。

答え

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$ より $\sin\theta = \pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$。第4象限では $\sin\theta<0$ なので $\sin\theta = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$。

$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}$