面積の計算

$0\leq x\leq 1$ の範囲で、$e^x>0$(指数関数は常に正の値)なので、絶対値を付けずにそのまま定積分できます。

$S = \int_0^1 e^x\,dx$

原始関数 $e^x$ に上端・下端を代入します。

$S = \big[e^x\big]_0^1 = e^1-e^0 = e-1$

答え:$e-1$

$\sin x$ は、$0\leq x\leq\pi$ の範囲では $0$ 以上、$\pi\leq x\leq 2\pi$ の範囲では $0$ 以下です。符号が途中で変わるので、$x=\pi$ で積分区間を分割します。

$0\leq x\leq \pi$ の部分の面積

この範囲では $\sin x\geq 0$ なので、そのまま定積分します。

$\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos 0) = -(-1)-(-1) = 1+1 = 2$

$\pi\leq x\leq 2\pi$ の部分の面積

この範囲では $\sin x\leq 0$ なので、そのまま定積分すると負の値になってしまいます。まず定積分の値を計算してみます。

$\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_{\pi}^{2\pi} = (-\cos 2\pi)-(-\cos\pi) = -1-1 = -2$

これは面積としては負になってしまうため、絶対値を取って、この部分の面積は $|-2|=2$ とします。

面積を足し合わせる

$S = 2+2 = 4$

答え:$4$

(符号を確認せずにそのまま $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ を計算すると、$2+(-2)=0$ となってしまい、誤った答えになることに注意しましょう。)

楕円は $x$ 軸・$y$ 軸の両方に関して対称なので、まず第1象限($x\geq 0$、$y\geq 0$)にある部分(全体の $\dfrac14$)の面積を求め、それを $4$ 倍します。

第1象限部分の面積を求める

第1象限では、$t$ が $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで動くと、$x=2\cos t$ は $2$ から $0$ まで、$y=3\sin t$ は $0$ から $3$ まで変化します。求めたいのは $\displaystyle\int_0^2 y\,dx$ です。$dx=x'(t)\,dt=-2\sin t\,dt$ であり、積分区間は次のように対応します。

• $x=0$ のとき $t=\dfrac{\pi}{2}$
• $x=2$ のとき $t=0$

置換積分法の定積分バージョン(前のページで学んだもの)を使って、$x$ に関する積分をそのまま $t$ に関する積分に書き換えます。

$\int_0^2 y\,dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} y(t)\,x'(t)\,dt = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} (3\sin t)(-2\sin t)\,dt = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}(-6\sin^2 t)\,dt$

定積分の性質 $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$(上端・下端を入れ替えると符号が変わる)を使って、積分区間を $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ に直します。

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}(-6\sin^2 t)\,dt = -\int_0^{\frac{\pi}{2}}(-6\sin^2 t)\,dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 6\sin^2 t\,dt$

$\sin^2 t$ をそのまま積分することはできないので、半角の公式 $\sin^2 t=\dfrac{1-\cos 2t}{2}$ を使います。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 6\times\frac{1-\cos 2t}{2}\,dt = 3\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 2t)\,dt$

原始関数を求めます。

$3\left[t-\frac{\sin 2t}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

上端 $t=\dfrac{\pi}{2}$ を代入します($\sin\pi=0$ に注意)。

$3\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\sin\pi}{2}\right) = 3\left(\frac{\pi}{2}-0\right) = \frac{3\pi}{2}$

下端 $t=0$ を代入すると $0$ なので、第1象限部分の面積は $\dfrac{3\pi}{2}$ です。

楕円全体の面積を求める

楕円全体の面積は、この $4$ 倍です。

$S = 4\times\frac{3\pi}{2} = 6\pi$

答え:$6\pi$

(検算:一般に、長軸・短軸の半分の長さが $a$、$b$ である楕円の面積は $\pi ab$ で求められます。この楕円では $a=2$、$b=3$ なので、$\pi\times 2\times 3=6\pi$ となり、一致します。)

$1\leq x\leq e$ で $\log x\geq 0$ なので、$S=\int_1^e\log x\,dx=\big[x\log x-x\big]_1^e=(e-e)-(0-1)=1$ です。

$0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ で $\cos x\geq 0$、$\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi$ で $\cos x\leq 0$ なので分割します。$\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1$、$\left|\int_{\pi/2}^{\pi}\cos x\,dx\right|=|-1|=1$。合計 $S=1+1=2$ です。