数学A / 図形の性質
よくある間違い
数学Aの「図形の性質」は、三角形や円についての「定理」がたくさん出てきます。定理の名前は覚えていても、使い方を少し間違えるだけで答えが逆になってしまうことがとても多い単元です。ここでは、この単元でよく見られる10個の間違いを、実際の誤答例と一緒に確認していきます。自分が同じ間違いをしていないか、チェックしながら読んでみてください。
間違い1: 3辺の長さだけを見て「三角形が作れる」と思い込んでしまう
よくある誤答例
3つの辺の長さが $3$, $4$, $8$ の三角形について、「作れるかどうか」を判定する問題を考えます。このとき、次のように考えて「三角形は作れる」と誤って判断してしまうことがあります。
- $3+8=11$ であり、これは残りの辺 $4$ より大きい。→ 条件を満たす
- $4+8=12$ であり、これは残りの辺 $3$ より大きい。→ 条件を満たす
この2つを確認しただけで「2つとも条件を満たしたから、三角形は作れる」と結論づけてしまうのが、よくある誤答です。
なぜ間違いなのか
三角形の成立条件は、「どの2辺の和も、残りの1辺より大きい」という条件を、3組すべてについて確認する必要があります。上の誤答例では、$3+4$ と $8$ を比べる、という3つ目の組み合わせを確認していません。
実際に $3+4$ を計算してみると、
$3+4=7$
であり、これは残りの辺の長さ $8$ より小さい($7<8$)です。つまり、3組のうち1組でも条件を満たさなければ、その時点で三角形は作れません。3組のうち2組だけ確認して「作れる」と判断するのは、確認不足による誤りです。
正しい考え方
三角形の成立条件を確認するときは、実は3組すべてを計算しなくても、一番長い辺についてだけ確認すれば十分です。なぜなら、一番長い辺以外の組み合わせでは、和が残りの1辺(それより短い辺)を超えるのは当たり前だからです。
具体的には、3辺のうち最も長い辺を $c$、残りの2辺を $a$, $b$ とするとき、
$a+b>c$
が成り立つかどうかだけを確認します。今回の例では、最も長い辺は $8$ なので、残りの2辺の和 $3+4=7$ と比べます。$7<8$ なので $a+b>c$ が成り立たず、この3辺では三角形は作れない、というのが正しい結論です。
間違い2: 辺の大小関係と、向かい合う角の大小関係を逆に覚えてしまう
よくある誤答例
三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=8$(頂点Aの向かいの辺BC)、$b=5$(頂点Bの向かいの辺CA)、$c=6$(頂点Cの向かいの辺AB)であるとします。このとき、「一番長い辺 $a=8$ の向かいにある角 $\angle A$ が、一番小さい角になる」と誤って考えてしまうことがあります。つまり、「辺が大きいほど、その対角(向かい合う角)は小さくなる」という誤った理解です。
なぜ間違いなのか
この誤りは、辺の長さと角の大きさの関係を、感覚的に「反比例のようなもの」と思い込んでしまうことから生まれます。しかし、三角形の辺と角の関係はそのような反比例の関係ではありません。
三角形では、辺が長いほど、その辺に向かい合う角も大きくなるという関係があります。逆に、辺が短いほど、その対角も小さくなります。これは、辺の長さの大小関係と、対角の大きさの大小関係が、常に同じ順序になる、ということです。
正しい考え方
先ほどの例($a=8$, $b=5$, $c=6$)で正しく考えると、辺の大小関係は
$a>c>b \quad (8>6>5)$
なので、対角の大小関係もまったく同じ順序になり、
$\angle A>\angle C>\angle B$
となります。つまり、一番長い辺 $a$ の向かいにある $\angle A$ が、この三角形の中で一番大きい角です。「大きい辺の対角ほど大きい」という向きを、逆にしないように注意しましょう。
間違い3: 三角形の重心と外心を混同してしまう
よくある誤答例
「三角形の重心とは何か」と聞かれて、「三角形の3つの頂点から等しい距離にある点」と答えてしまう、あるいは「三角形の外心とは何か」と聞かれて、「3本の中線(頂点と対辺の中点を結んだ線)の交点」と答えてしまう、というような取り違えがよくあります。
なぜ間違いなのか
「重心」「内心」「外心」は、どれも三角形の中にある特別な点ですが、それぞれ作り方(定義)がまったく違います。名前が似ている(どれも「〜心」)ため、定義を混同しやすいのです。
- 重心:3本の中線の交点
- 内心:3つの内角の二等分線の交点(内接円の中心)
- 外心:3辺の垂直二等分線の交点(外接円の中心。3頂点から等しい距離にある点)
「3頂点から等しい距離にある」という性質を持つのは重心ではなく外心です。この対応を逆にしてしまうと、テストで丸ごと失点してしまいます。
正しい考え方
まず、それぞれの点がどの線の交点なのかを、線を引く動作とセットで覚えるのがおすすめです。
- 頂点と対辺の中点を結ぶ線(中線)を3本引く → 交点が重心
- 各内角を2等分する線を3本引く → 交点が内心
- 各辺の垂直二等分線を3本引く → 交点が外心
さらに、重心には辺の比に関する重要な性質があります。頂点Aから対辺BCの中点Mへ引いた中線AM上で、重心をGとすると、Gは線分AMを
$\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$
に内分します。「頂点から重心までの距離」と「重心から中点までの距離」の比を $1:2$ と逆に覚えてしまう人も多いので、「頂点側の方が長い(2の方)」とセットで確認しておきましょう。
間違い4: チェバの定理で、比の向き(たどる順番)をバラバラにしてしまう
よくある誤答例
三角形ABCの内部に点Pがあり、直線APと辺BCの交点をD、直線BPと辺CAの交点をE、直線CPと辺ABの交点をFとします。$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:3$、$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=4:1$ のとき、チェバの定理を使って $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$ を求める問題を考えます。
このとき、式の途中で分数の向きを取り違えて、
$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\times\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{CE}}\times\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$
のように、2つ目の分数だけ分子と分母を逆にして計算してしまう、という誤りがよくあります。
なぜ間違いなのか
チェバの定理は、三角形の頂点を $\mathrm{B}\to\mathrm{C}\to\mathrm{A}\to\mathrm{B}$ のように、一定の向き(どちら回りでもよいですが、必ず同じ向き)でたどりながら、通過する辺の分点の比をすべて「進む方向」で分数にして掛け合わせる、というルールでできています。正しい式は次の形です。
$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\times\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\times\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$
途中で1か所だけ分数をひっくり返してしまうと、この「一定方向にたどる」というルールが崩れてしまい、まったく違う(誤った)答えが出てしまいます。
正しい考え方
正しい式に、与えられた比をそのまま代入します。
$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{2}{3},\qquad \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{4}{1}$
なので、
$\frac{2}{3}\times\frac{4}{1}\times\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$
まず左辺の2つの分数を掛け算します。
$\frac{2}{3}\times\frac{4}{1}=\frac{2\times4}{3\times1}=\frac{8}{3}$
したがって、
$\frac{8}{3}\times\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$
両辺に $\dfrac{3}{8}$ を掛けると、
$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{3}{8}$
となります。つまり $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=3:8$ です。式を立てるときは、必ず頂点を一定方向にたどりながら、分数の分子・分母の向きをそろえることが大切です。
間違い5: 円に内接する四角形で「隣り合う角の和が $180^{\circ}$」と思い込んでしまう
よくある誤答例
円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle A=100^{\circ}$ のとき、隣り合う角である $\angle B$ を「$180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$」として求めてしまう、という誤りです。
なぜ間違いなのか
円に内接する四角形の性質は、「向かい合う角(対角)の和が $180^{\circ}$」というものであり、「隣り合う角の和が $180^{\circ}$」ではありません。四角形ABCDでは、頂点をこの順番でたどると、Aの対角はC、Bの対角はDです。隣り合うAとBの和が $180^{\circ}$ になるとは限りません。
この性質は、円周角の定理から説明できます。対角線BDを引くと、$\angle A$ は弧BCD(Aを含まない側の弧)に対する円周角、$\angle C$ は弧BAD(Cを含まない側の弧)に対する円周角です。この2つの弧を合わせると円周全体になるので、弧の大きさの合計は $360^{\circ}$ になります。円周角はそれぞれ対応する弧の半分の大きさなので、
$\angle A+\angle C=\frac{1}{2}\times(\text{弧BCD}+\text{弧BAD})=\frac{1}{2}\times360^{\circ}=180^{\circ}$
となり、これが対角の和だけが $180^{\circ}$ になる理由です。隣り合う角にはこのような関係はありません。
正しい考え方
$\angle A=100^{\circ}$ のとき、対角である $\angle C$ を求めるには、
$\angle A+\angle C=180^{\circ}$
より、
$\angle C=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$
とします。$\angle B$ の値は、これだけでは求まりません(別の情報が必要です)。「向かい合う角」と「隣り合う角」を混同しないよう、四角形に対角線を引いて、どの角とどの角が対角の関係にあるかを図で確認する習慣をつけましょう。
間違い6: 接線の長さを、中心と点の距離から半径を引くだけで求めてしまう
よくある誤答例
中心O、半径 $r=3$ の円があり、円の外部の点Pから円に接線を引きます。$\mathrm{OP}=5$ のとき、接点をTとして接線の長さ $\mathrm{PT}$ を求める問題で、次のように計算してしまう誤りがあります。
$\mathrm{PT}=\mathrm{OP}-r=5-3=2$
なぜ間違いなのか
この計算は、点Pと円の中心Oを結ぶ直線上に接点Tがあるかのように考えてしまっています。しかし、接線TPと半径OTには、「円の接線は、接点を通る半径に垂直である」という重要な性質があります。つまり、三角形OTPは、頂点Tで直角になっている直角三角形です。TはOP上にはなく、OP・OT・PTの3点は直角三角形を作っています。単純な引き算では、この直角三角形の形を無視してしまうことになります。
正しい考え方
三角形OTPは $\angle \mathrm{OTP}=90^{\circ}$ の直角三角形であり、斜辺は $\mathrm{OP}$(中心と点Pを結ぶ最も長い辺)です。三平方の定理を使うと、
$\mathrm{OP}^2=\mathrm{OT}^2+\mathrm{PT}^2$
ここで $\mathrm{OT}=r=3$、$\mathrm{OP}=5$ なので、これを代入します。
$5^2=3^2+\mathrm{PT}^2$
左辺と右辺の2乗をそれぞれ計算すると、
$25=9+\mathrm{PT}^2$
両辺から $9$ を引くと、
$\mathrm{PT}^2=25-9=16$
したがって、
$\mathrm{PT}=\sqrt{16}=4$
接線の長さは $4$ です(先ほどの誤った計算の $2$ とは異なります)。接線の長さを求めるときは、必ず「半径と接線は垂直」という性質を使って、三平方の定理で計算しましょう。
間違い7: 中心角と円周角の関係を逆にしてしまう
よくある誤答例
1つの弧に対する中心角が $100^{\circ}$ であるとき、その弧に対する円周角(円周上の点から見た角)を求める問題で、「円周角は中心角の2倍だから」と考えて、
$2\times100^{\circ}=200^{\circ}$
と計算してしまう誤りです。
なぜ間違いなのか
円周角の定理は、「同じ弧に対する中心角の大きさは、円周角の大きさの2倍である」という定理です。つまり、2倍になるのは中心角の方であって、円周角の方ではありません。この「どちらが2倍でどちらが半分か」を逆に覚えてしまうと、答えが大きくずれてしまいます(角度は $0^{\circ}$ から $180^{\circ}$ の範囲に収まるはずなのに、$200^{\circ}$ という不自然な値が出てきた時点で、間違いに気づけるとよいでしょう)。
正しい考え方
円周角の定理を式で表すと、中心角を $\angle O$、円周角を $\angle P$(同じ弧に対するもの)として、
$\angle O=2\times\angle P \quad \left(\text{すなわち} \quad \angle P=\frac{1}{2}\times\angle O\right)$
となります。中心角が $100^{\circ}$ のとき、円周角はその半分なので、
$\angle P=\frac{1}{2}\times100^{\circ}=50^{\circ}$
が正しい答えです。「中心角は円周角より大きい(2倍)、円周角は中心角より小さい(半分)」という大小関係のイメージとセットで覚えると、逆にしにくくなります。
間違い8: 方べきの定理で、対応する線分の組み合わせを間違える
よくある誤答例
円の外部の点Pから2本の割線(円と2点で交わる直線)を引きます。1本目の割線は円と点A(Pに近い方)、点B(Pから遠い方)で交わり、$\mathrm{PA}=2$, $\mathrm{PB}=8$ です。2本目の割線は円と点C(Pに近い方)、点D(Pから遠い方)で交わり、$\mathrm{PC}=4$ です。このとき $\mathrm{PD}$ の長さを求める問題で、次のように「近い点どうし・遠い点どうし」ではなく、線分をバラバラに組み合わせて計算してしまう誤りがあります。
$\mathrm{PA}\times\mathrm{PC}=\mathrm{PB}\times\mathrm{PD}$
なぜ間違いなのか
方べきの定理は、「点Pから引いた2本の割線について、それぞれの割線上にある、点Pから近い交点までの距離と遠い交点までの距離の積は、2本の割線で等しい」という定理です。つまり、正しくは「1本目の割線の(近い点)×(遠い点)」と「2本目の割線の(近い点)×(遠い点)」を比べる必要があります。誤答例のように、1本目の近い点と2本目の近い点を掛け合わせてしまうと、この対応関係が崩れてしまいます。
正しい考え方
正しい式は、
$\mathrm{PA}\times\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\times\mathrm{PD}$
です。これに、わかっている値 $\mathrm{PA}=2$, $\mathrm{PB}=8$, $\mathrm{PC}=4$ を代入します。
$2\times8=4\times\mathrm{PD}$
左辺を計算すると、
$16=4\times\mathrm{PD}$
両辺を $4$ で割ると、
$\mathrm{PD}=\frac{16}{4}=4$
したがって $\mathrm{PD}=4$ です(誤った組み合わせで計算すると $\mathrm{PD}=1$ になってしまい、これは間違った答えです)。図をかいて、Pからどちらが近い点でどちらが遠い点かを、線分ごとに確認しながら式を立てましょう。
間違い9: 2つの円の位置関係で、外接と内接の条件式を取り違える
よくある誤答例
半径 $r_1=5$, $r_2=3$ の2つの円があり、中心間の距離を $d$ とします。「2つの円が外接する(外側で1点だけ接する)条件」を求める問題で、次のように、和と差を取り違えて式を立ててしまう誤りがあります。
$d=r_1-r_2=5-3=2$
なぜ間違いなのか
「外接」とは、2つの円が互いの外側にあって、1点だけで接している状態です。この状態では、2つの中心の間には、両方の円の半径をちょうど足した分だけの距離が必要になります(中心どうしを結ぶ線分の上に、接点がちょうど乗る形になります)。したがって外接の条件式は「差」ではなく「和」を使います。
一方、$d=r_1-r_2$(半径の差)という式が使われるのは、「外接」ではなく「内接」(片方の円がもう片方の円の内側に入り込んだ状態で、1点だけ接している状態)のときです。この2つの状態の式を取り違えてしまうのが、この誤りの原因です。
正しい考え方
2つの円の位置関係は、中心間の距離 $d$ と、半径の和 $r_1+r_2$、半径の差 $|r_1-r_2|$ の大小関係によって、次の5パターンに分かれます。
- $d>r_1+r_2$ のとき:2つの円は互いの外部にあり、共有点を持たない
- $d=r_1+r_2$ のとき:外接(外側で1点だけ接する)
- $|r_1-r_2|
- $d=|r_1-r_2|$ のとき:内接(内側で1点だけ接する)
- $d<|r_1-r_2|$ のとき:一方の円がもう一方の円の内部に含まれ、共有点を持たない
今回の例($r_1=5$, $r_2=3$)で外接の条件を求めると、正しくは、
$d=r_1+r_2=5+3=8$
です。「外接は和、内接は差」と、それぞれのイメージ(外側でくっつく=足し合わせた分だけ離れる/内側でくっつく=差の分だけ離れる)とセットで覚えておくと、取り違えを防げます。
間違い10: ねじれの位置にある2直線を「平行」だと思い込んでしまう
よくある誤答例
空間内(立体図形の中)にある2本の直線が、交わっていない(交点を持たない)のを見て、「交わっていないのだから、この2直線は平行である」と判断してしまう誤りです。例えば、直方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABを含む直線と、辺CGを含む直線(頂点Cから真上の頂点Gに向かう辺)は、図をかいてみても交わっていません。この「交わっていない」という一点だけを見て、「平行だ」と結論づけてしまいます。
なぜ間違いなのか
平面図形(1つの平面の中だけで考える図形)の世界では、「2直線が交わらない」ならば「平行である」というのは正しい性質でした。しかし、空間図形(3次元の立体)の世界では、2直線の関係は「交わる」「平行である」の2つだけではなく、**もう1つ「ねじれの位置にある」**という関係が存在します。平面図形の感覚をそのまま空間図形に持ち込んでしまうことが、この誤りの原因です。
正しい考え方
空間内の2直線の関係は、次の3つに分類されます。
- 交わる:1つの平面上にあり、共有点(交点)を持つ
- 平行である:1つの平面上にあり、共有点を持たない
- ねじれの位置にある:そもそも1つの平面上に乗らない(共有点を持たず、かつ平行でもない)
先ほどの例(直方体ABCD-EFGHの辺ABと辺CG)を確認すると、辺ABは底面ABCD上にあり、辺CGは底面から真上に伸びる辺です。この2つの直線は、共有点を持たず、しかも向き(方向)も異なっている(平行でもない)ため、1つの平面上には乗りません。したがって、この2直線は「平行」ではなく「ねじれの位置」にあります。
空間図形の問題では、2直線について「交わらない」ことを確認したら、その次に必ず「同じ平面上に乗るかどうか」を確認し、平行なのかねじれの位置なのかを区別するようにしましょう。