数学III / 極限
関数の連続性
要点整理
連続とは何か
前のページまでで、関数の極限 $\lim_{x\to a} f(x)$ について学びました。ここでは、この極限を使って「関数のグラフがつながっている(途切れていない)」ことを表す、連続という考え方を定義します。
関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、次の3つの条件がすべて成り立つことをいいます。
- $f(a)$ が定義されている(そもそも $x=a$ を代入できる)
- $\lim_{x\to a} f(x)$ が存在する(左極限と右極限が一致する)
- その極限値が $f(a)$ と一致する、つまり $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$
この3つのうち、どれか1つでも成り立たなければ、$f(x)$ は $x=a$ で不連続であるといいます。直感的には、「$x=a$ のところでグラフに切れ目や穴、飛び越しがない」ということです。
関数 $f(x)$ が、ある区間のすべての点で連続であるとき、$f(x)$ はその区間で連続である、といいます。多項式関数、$\sin x$、$\cos x$、指数関数 $e^x$、対数関数 $\log x$(定義域の範囲内で)などは、定義域のすべての点で連続であることが知られています。また、連続な関数どうしの和・差・積・商(分母が $0$ にならない範囲で)や合成関数も、やはり連続になります。
不連続の例
不連続になる典型的なパターンを確認しておきましょう。
- $f(a)$ が定義されていない:例えば $f(x)=\dfrac{1}{x}$ は $x=0$ で定義されていないので、$x=0$ で不連続です(というより、そもそも $x=0$ では議論の対象になりません)。
- 極限が存在しない(左極限と右極限が異なる):前のページで扱った $f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1}$ は、$x=1$ での右極限が $1$、左極限が $-1$ で一致しないため、$x=1$ でどんな値を定義しても連続にはできません。
- 極限は存在するが $f(a)$ と一致しない:例えば $\lim_{x\to a} f(x)=2$ であるにもかかわらず $f(a)=5$ と定義されている場合、グラフは $x=a$ の1点だけ「ぽつん」と穴が開いたようになり、不連続です。
中間値の定理
連続関数の重要な性質の1つに、中間値の定理があります。これは次のような主張です。
関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続であり、$f(a)\neq f(b)$ であるとき、$f(a)$ と $f(b)$ の間にある任意の値 $k$ に対して、
$f(c)=k$
を満たす $c$ が、開区間 $(a,b)$ の中に少なくとも1つ存在する。
これは、「グラフが途切れずに $f(a)$ から $f(b)$ までつながっているなら、その間にあるどんな高さ $k$ にも、途中で必ず1回は到達しているはずだ」という、とても自然な主張です。グラフが $x$ 軸に垂直な線を横切らずに(=連続に)上から下(または下から上)へ移動するとき、途中の高さをすべて通過する、とイメージすると分かりやすいです。
中間値の定理は、特に $k=0$ の場合、つまり「方程式 $f(x)=0$ の解の存在を示す」ために非常によく使われます。
$f(x)$ が $[a,b]$ で連続で、$f(a)$ と $f(b)$ が異符号(符号が異なる、つまり $f(a)f(b)<0$)であるならば、方程式 $f(x)=0$ は開区間 $(a,b)$ の中に少なくとも1つの解を持つ。
これは中間値の定理で $k=0$ とした特別な場合です。$f(a)$ と $f(b)$ の符号が異なるということは、$0$ が $f(a)$ と $f(b)$ の間にある値だ、ということだからです。この定理は「解を実際に求める」ことはできませんが、「解が確かに存在する」ことを保証してくれる、とても強力な道具です。
例題
例題1(基本)
問題
関数
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1} & (x\neq 1) \\ k & (x=1) \end{cases}$
が $x=1$ で連続になるように、定数 $k$ の値を定めなさい。
解答・解説を見る
連続になるための条件は $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) = f(1)$ です。$f(1)=k$ なので、まず左辺の極限を計算します。
$x\neq 1$ のとき $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ です。分子を因数分解すると
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$
なので、$x\neq 1$ の範囲で約分すると
$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$
となります。したがって、
$\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1}(x+1) = 1+1 = 2$
連続になるためには、この極限値 $2$ が $f(1)=k$ と一致しなければならないので、
$k=2$
答え:$k=2$
例題2(標準)
問題
関数
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{|x|}{x} & (x\neq 0) \\ 1 & (x=0) \end{cases}$
は $x=0$ で連続かどうかを調べなさい。
解答・解説を見る
連続であるかどうかを調べるには、まず $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$ が存在するかどうかを、左極限・右極限に分けて確認します。
右極限($x\to 0+0$、つまり $x>0$ から近づく場合)
$x>0$ のとき $|x|=x$ なので、
$f(x) = \frac{x}{x} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to 0+0} f(x) = 1$
左極限($x\to 0-0$、つまり $x<0$ から近づく場合)
$x<0$ のとき $|x|=-x$ なので、
$f(x) = \frac{-x}{x} = -1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to 0-0} f(x) = -1$
右極限は $1$、左極限は $-1$ で一致しないため、$\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$ は存在しません。
連続であるための条件の1つ「極限が存在する」がそもそも満たされていないので、$f(0)=1$ という値がどう定義されていても関係なく、この関数は $x=0$ で不連続です。
答え:$x=0$ で不連続である(右極限 $1$ と左極限 $-1$ が一致せず、極限自体が存在しないため)。
例題3(応用)
問題
方程式 $x^3-3x+1=0$ は、$0 $f(x)=x^3-3x+1$ とおきます。$f(x)$ は多項式関数なので、すべての実数 $x$ に対して連続です。特に、閉区間 $[0,1]$ で連続です。 区間の両端での値を計算します。 $f(0) = 0^3-3\times 0+1 = 0-0+1 = 1$ $f(1) = 1^3-3\times 1+1 = 1-3+1 = -1$ $f(0)=1>0$、$f(1)=-1<0$ なので、$f(0)$ と $f(1)$ は異符号です。すなわち、 $f(0)\times f(1) = 1\times(-1) = -1 < 0$ $f(x)$ は $[0,1]$ で連続であり、$f(0)$ と $f(1)$ が異符号であるため、中間値の定理より、 $f(c) = 0$ を満たす $c$ が、開区間 $(0,1)$ の中に少なくとも1つ存在します。この $c$ は方程式 $x^3-3x+1=0$ の解なので、方程式 $x^3-3x+1=0$ は $0 答え:$f(x)=x^3-3x+1$ は連続で $f(0)=1>0$、$f(1)=-1<0$ となり異符号なので、中間値の定理より $0 問題1 関数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+x-6}{x-2} & (x\neq 2)\\ k & (x=2)\end{cases}$ が $x=2$ で連続になるように定数 $k$ を定めなさい。 $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ より $\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+3)=5$ なので、$k=5$ です。 問題2 方程式 $x^3+x-1=0$ は $0 $f(x)=x^3+x-1$ は連続で、$f(0)=-1<0$、$f(1)=1+1-1=1>0$ となり異符号($f(0)f(1)=-1<0$)なので、中間値の定理より $0解答・解説を見る
練習問題
答え
答え