数学B / 数列
和の記号Σとその性質
要点整理
これまでの単元で、等差数列や等比数列の和を求める公式を学びました。ここでは、数列の和をもっと短く、見やすく表すための記号「$\Sigma$」（シグマ、ギリシャ文字で「合計」を意味する Sum の頭文字に由来します）について学びます。
Σの意味
$\sum_{k=1}^{n} a_k$
という記号は、「数列 $a_k$ について、$k=1$ から $k=n$ まで、$k$に整数を1つずつ代入した値をすべて足し合わせる」という意味です。書き下すと、
$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$
となります。$\Sigma$ の下に書いてある $k=1$ は「$k$を$1$から始める」こと、上に書いてある $n$ は「$k$を$n$まで動かす」ことを表しています。$k$ の代わりに $i$ や $j$ など別の文字を使うこともありますが、意味は同じです。
たとえば、$\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2$ を計算してみましょう。これは $a_k = k^2$ として、$k=1,2,3,4$ を代入した値を全部足すという意味です。
$\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1+4+9+16 = 30$
Σの基本性質（線形性）
$\Sigma$ には、和の計算を楽にするための便利な性質があります。
性質1: 定数倍を前に出せる
$\sum_{k=1}^{n} c\, a_k = c\sum_{k=1}^{n} a_k \quad (c\text{は}k\text{に関係のない定数})$
性質2: 和はそれぞれ分けて計算できる
$\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$
性質3: 定数だけの和
$k$に関係のない定数 $c$ を、$k=1$から$n$まで $n$個分足し合わせると、単純に $c$ を$n$回足すことになります。
$\sum_{k=1}^{n} c = \underbrace{c+c+\cdots+c}_{n\text{個}} = nc$
よく使う3つの公式
以下の3つの公式は、$\Sigma$の計算をするうえで基本となる、とても重要な公式です。まず結果を示し、その後で $k$ の和の公式がどこから来るかを確認します。
$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$
1つ目の公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+\cdots+n$ は、実は「初項$1$、公差$1$、項数$n$の等差数列の和」そのものです。等差数列の和の公式 $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ に、$a_1=1$、$a_n=n$ を代入すると、
$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n}{2}(1+n) = \frac{n(n+1)}{2}$
となり、たしかに一致します。$k^2$ の和や $k^3$ の和の公式は、より高度な方法で導かれるため、この単元では結果を覚えて使えるようにすることを目標にします。
例題
例題1（基本）
問題
$\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k+3)$ を計算しなさい。
解答・解説を見る
$\Sigma$ の性質2（和を分ける）と性質1（定数倍を前に出す）を使って、式を分解します。
$\sum_{k=1}^{5} (2k+3) = \sum_{k=1}^{5} 2k + \sum_{k=1}^{5} 3 = 2\sum_{k=1}^{5} k + \sum_{k=1}^{5} 3$
まず $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k$ を、公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ に $n=5$ を代入して求めます。
$\sum_{k=1}^{5} k = \frac{5 \times 6}{2} = 15$
次に $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} 3$ は、定数 $3$ を $5$ 回足すので、
$\sum_{k=1}^{5} 3 = 5 \times 3 = 15$
これらを代入します。
$\sum_{k=1}^{5} (2k+3) = 2 \times 15 + 15 = 30 + 15 = 45$
したがって、$\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k+3) = 45$ です。
（確認: $k=1,\ldots,5$ を代入すると $5,7,9,11,13$ となり、足すと $5+7+9+11+13=45$ で一致します。）
例題2（標準）
問題
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ を、$n$を使った式で表しなさい。
解答・解説を見る
まず、$k(k+1)$ をかっこを展開して、$k^2$ と $k$ の式に分けます。
$k(k+1) = k^2 + k$
したがって、
$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2+k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$
公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ をそれぞれ代入します。
$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$
2つの分数をたし算するために、通分します。分母を $6$ にそろえるため、右の分数の分母・分子に $3$ をかけます。
$\frac{n(n+1)}{2} = \frac{3n(n+1)}{6}$
代入すると、
$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6}$
分子で $n(n+1)$ が共通因数なので、くくり出します。
$n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) = n(n+1)\left\{(2n+1)+3\right\} = n(n+1)(2n+4)$
$2n+4 = 2(n+2)$ なので、さらに $2$ をくくり出せます。
$n(n+1)(2n+4) = 2n(n+1)(n+2)$
これを分母 $6$ の分数に戻します。
$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
したがって、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ です。
（確認: $n=3$ のとき、左辺は $1\times2+2\times3+3\times4=2+6+12=20$。右辺は $\dfrac{3\times4\times5}{3}=20$ となり一致します。）
例題3（応用）
問題
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$ を、$n$を使った式で表しなさい。
解答・解説を見る
まず、$(2k-1)^2$ を展開します。$(2k-1)^2 = (2k)^2 - 2\times 2k \times 1 + 1^2$ より、
$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$
したがって、
$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$
それぞれの公式を代入します。$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ です。
$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = 4\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\times\frac{n(n+1)}{2} + n$
各項を整理します。$4\times\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$、$4\times\dfrac{n(n+1)}{2} = 2n(n+1)$ です。
$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$
すべての項を、分母 $3$ の分数にそろえます。$2n(n+1) = \dfrac{6n(n+1)}{3}$、$n = \dfrac{3n}{3}$ です。
$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3}$
分子から $n$ をくくり出します。
$2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n = n\left\{2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3\right\}$
中かっこの中を計算します。まず $2(n+1)(2n+1)$ を展開します。$(n+1)(2n+1) = 2n^2+n+2n+1 = 2n^2+3n+1$ なので、
$2(n+1)(2n+1) = 4n^2+6n+2$
次に $-6(n+1) = -6n-6$ です。これらと $+3$ をすべて足し合わせます。
$4n^2+6n+2 - 6n - 6 + 3 = 4n^2 + (6n-6n) + (2-6+3) = 4n^2 - 1$
したがって、
$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$
さらに、$4n^2-1$ は $(2n)^2 - 1^2$ の形をしているので、因数分解の公式 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ を使うと、
$4n^2 - 1 = (2n-1)(2n+1)$
と分解できます。したがって、最終的な答えは、
$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$
（確認: $n=2$ のとき、左辺は $1^2+3^2=1+9=10$。右辺は $\dfrac{2\times 3\times 5}{3}=\dfrac{30}{3}=10$ となり一致します。）
練習問題
問題1
$\displaystyle\sum_{k=1}^{6} (3k-2)$ を計算しなさい。
答え
$3\displaystyle\sum_{k=1}^{6}k - 2\times 6 = 3\times 21 - 12 = 63-12=51$
問題2
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k+1)^2$ を、$n$を使った式で表しなさい。
答え
$(k+1)^2=k^2+2k+1$ より、
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k+1)^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\times\dfrac{n(n+1)}{2}+n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n(n+1)+n$
通分してまとめると $\dfrac{n(2n^2+9n+13)}{6}$ となります（$n=1$ で確かめると、左辺は $2^2=4$、右辺は $\dfrac{1\times 24}{6}=4$ で一致します）。
問題3
$\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^3$ を計算しなさい。
答え
$\left\{\dfrac{4\times5}{2}\right\}^2 = 10^2 = 100$