数学II / 三角関数
三角関数を含む方程式・最大最小
要点整理
これまで学んできた「2倍角の公式」「三角関数の合成」の知識を組み合わせると、$\sin\theta$ や $\cos\theta$ が複雑に混ざった式の最大値・最小値を求めることができます。代表的な2つの解法パターンを整理します。
パターン1: 2倍角の公式で次数を下げてから合成する
$\sin^2\theta$ や $\sin\theta\cos\theta$ のように、$\sin,\cos$ が2次(かけ算の形)で混ざっている式は、2倍角の公式を逆向きに使うことで、角が $2\theta$ の1次式(足し算・引き算だけの形)に書き直せます。使う変形は次の3つです。
$\sin\theta\cos\theta = \frac12\sin2\theta \qquad(\because \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta)$
$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2} \qquad(\because \cos2\theta=1-2\sin^2\theta)$
$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2} \qquad(\because \cos2\theta=2\cos^2\theta-1)$
こうして $\theta$ の2次の式を $2\theta$ の1次の式に変えたあと、$a\sin2\theta+b\cos2\theta$ の形が出てきたら、三角関数の合成を使って $r\sin(2\theta+\varphi)$ の1つの $\sin$ にまとめます。まとまってしまえば、あとは角の範囲から最大値・最小値を読み取るだけです。
パターン2: $t=\sin\theta+\cos\theta$ とおいて置き換える
$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の両方が式の中に登場する場合は、$t=\sin\theta+\cos\theta$ と置き換える方法が有効です。この置き換えのポイントは2つあります。
(1) $t$ のとりうる値の範囲: 三角関数の合成を使うと、
$t = \sin\theta+\cos\theta = \sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$
$\sin$ の値は $-1$ 以上 $1$ 以下なので、$t$ の範囲は
$-\sqrt2 \le t \le \sqrt2$
に限られます。$\theta$ をすべて実数で考えても、$t$ は $-\sqrt2$ から $\sqrt2$ の外には出られないので、置き換えたあとは必ずこの範囲で考える必要があります。
(2) $\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表す: $t=\sin\theta+\cos\theta$ の両辺を2乗すると、
$t^2 = \sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta = (\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\sin\theta\cos\theta = 1+2\sin\theta\cos\theta$
$\sin\theta\cos\theta$ について解くと、
$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2-1}{2}$
この2つを使えば、$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ を含む式を、すべて $t$ だけの式(たいてい2次関数)に書き直すことができ、あとは数学Ⅰで学んだ「定義域に制限がある2次関数の最大・最小」の問題として解けます。
例題
例題1(基本)
問題 $y=2\sin\theta\cos\theta+1$ の最大値・最小値を求めなさい。
解答・解説を見る
$2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ を使って書き直します。
$y = \sin2\theta+1$
$\theta$ がすべての実数を動くとき、$2\theta$ もすべての実数を動くので、$\sin2\theta$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての値をとります。よって、
- $\sin2\theta=1$ のとき最大値 $y=1+1=2$
- $\sin2\theta=-1$ のとき最小値 $y=-1+1=0$
答え: 最大値 $2$、最小値 $0$
例題2(標準)
問題 $0\le\theta<\pi$ のとき、$y=\sin^2\theta+2\sqrt3\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta$ の最大値・最小値と、そのときの $\theta$ の値を求めなさい。
解答・解説を見る
2倍角の公式で次数を下げる: $\sin^2\theta-\cos^2\theta=-(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=-\cos2\theta$、$2\sqrt3\sin\theta\cos\theta=\sqrt3\times2\sin\theta\cos\theta=\sqrt3\sin2\theta$ を使うと、
$y = \sqrt3\sin2\theta-\cos2\theta$
合成する: $a=\sqrt3$、$b=-1$ より、
$r=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2, \qquad \cos\varphi=\frac{\sqrt3}{2}, \ \sin\varphi=-\frac12$
これを満たすのは $\varphi=-\dfrac{\pi}{6}$ なので、
$y = 2\sin\left(2\theta-\frac{\pi}{6}\right)$
範囲を調べる: $0\le\theta<\pi$ のとき、$2\theta$ の範囲は $0\le2\theta<2\pi$ なので、
$-\frac{\pi}{6} \le 2\theta-\frac{\pi}{6} < 2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$
この範囲で $\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)$ が最大値 $1$ をとるのは $2\theta-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ のときです。
$2\theta = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6}+\frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{3}$
このとき最大値 $y=2\times1=2$。
最小値 $-1$ をとるのは $2\theta-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$ のときです。
$2\theta = \frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6}+\frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{5\pi}{6}$
このとき最小値 $y=2\times(-1)=-2$。
答え: $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき最大値 $2$、$\theta=\dfrac{5\pi}{6}$ のとき最小値 $-2$
例題3(応用)
問題 $0\le\theta<2\pi$ のとき、$y=\sin\theta\cos\theta+\sin\theta+\cos\theta$ の最大値・最小値を求めなさい。
解答・解説を見る
$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の両方が登場しているので、$t=\sin\theta+\cos\theta$ と置き換えます。
$t$ の範囲: $t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ で、$\theta$ が $0\le\theta<2\pi$ を動くと $\theta+\dfrac{\pi}{4}$ も1周分すべての角を動くため、$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ は $-1$ から $1$ までのすべての値をとります。よって、
$-\sqrt2 \le t \le \sqrt2$
$\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表す: $t^2=(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta$ より、
$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2-1}{2}$
$y$ を $t$ の式に書き直す: 元の式に代入します。
$y = \frac{t^2-1}{2}+t = \frac{t^2-1}{2}+\frac{2t}{2} = \frac{t^2+2t-1}{2}$
平方完成する: 分子 $t^2+2t-1$ を平方完成します。
$t^2+2t-1 = (t+1)^2-1^2-1 = (t+1)^2-2$
よって、
$y = \frac{(t+1)^2-2}{2} = \frac{(t+1)^2}{2}-1$
最大・最小を調べる: これは $t=-1$ で最小値をとる、下に凸な放物線です。$t$ の定義域 $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ の中に $t=-1$($-\sqrt2\approx-1.41$ より大きく $\sqrt2\approx1.41$ より小さい)が含まれているので、この頂点で最小値をとります。
$y_{\min} = \frac{(-1+1)^2}{2}-1 = 0-1 = -1$
最大値は、定義域の両端 $t=-\sqrt2$ と $t=\sqrt2$ のうち、頂点 $t=-1$ から遠い方でとります。それぞれ計算すると、
$t=\sqrt2 \text{ のとき}: \ y=\frac{(\sqrt2+1)^2}{2}-1 = \frac{2+2\sqrt2+1}{2}-1 = \frac{3+2\sqrt2}{2}-1 = \frac{3+2\sqrt2-2}{2} = \frac{1+2\sqrt2}{2}$
$t=-\sqrt2 \text{ のとき}: \ y=\frac{(-\sqrt2+1)^2}{2}-1 = \frac{2-2\sqrt2+1}{2}-1 = \frac{3-2\sqrt2}{2}-1 = \frac{1-2\sqrt2}{2}$
$2\sqrt2\approx2.83$ なので、$\dfrac{1+2\sqrt2}{2}\approx1.91$、$\dfrac{1-2\sqrt2}{2}\approx-0.91$ です。頂点から遠い(=絶対値が大きい $t+1$ になる)のは $t=\sqrt2$ の方なので、最大値は
$y_{\max} = \frac{1+2\sqrt2}{2}$
答え: 最大値 $\dfrac{1+2\sqrt2}{2}$($t=\sqrt2$、すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき)、最小値 $-1$($t=-1$、すなわち $\theta=\pi, \dfrac{3\pi}{2}$ のとき)
練習問題
問題 $y=\cos^2\theta-\sin\theta\cos\theta$ を $2\theta$ を用いた1つの三角関数の式(合成した形)に直しなさい。
答え
$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$、$\sin\theta\cos\theta=\dfrac12\sin2\theta$ を使うと、
$y = \frac{1+\cos2\theta}{2}-\frac12\sin2\theta = \frac12-\frac12\sin2\theta+\frac12\cos2\theta$
$-\dfrac12\sin2\theta+\dfrac12\cos2\theta$ の部分を合成すると、$a=-\dfrac12, b=\dfrac12$ より $r=\sqrt{\frac14+\frac14}=\dfrac{\sqrt2}{2}$、$\varphi=\dfrac{3\pi}{4}$ となるので、
$y = \frac12+\frac{\sqrt2}{2}\sin\left(2\theta+\frac{3\pi}{4}\right)$