数学C / 平面上の曲線と複素数平面
楕円
要点整理
前のページでは、放物線を「焦点と準線から等距離にある点の集まり」として定義しました。ここで学ぶ楕円は、少しつぶれた円のような形をした曲線で、「2つの焦点までの距離の和が一定」という条件で定義されます。
楕円の定義
平面上に2つの点 $\mathrm{F}(c, 0)$、$\mathrm{F}'(-c, 0)$($c>0$)を定めます(この2点を焦点といいます)。そして、正の定数 $a$($a>c$)を1つ決めます。このとき、
$\mathrm{PF} + \mathrm{PF'} = 2a$
を満たす点 $\mathrm{P}$ 全体が描く曲線を楕円といいます。「焦点までの距離の和がつねに $2a$ で一定」というのがポイントです(2点の位置を決めて糸をピンと張り、鉛筆でなぞると楕円が描ける、という作図方法を耳にしたことがあるかもしれません。それがまさにこの定義そのものです)。
標準形の方程式の導出
$\mathrm{P}(x, y)$ とすると、定義の式は、
$\sqrt{(x-c)^2+y^2} + \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a$
です。根号が2つあるので、1つずつ処理していきます。まず、右側の根号を左辺に残し、もう一方を右辺に移項します。
$\sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2+y^2}$
両辺を2乗します。右辺は $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ の形で展開します。
$(x+c)^2+y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2$
両辺から $y^2$ を引いて消します。
$(x+c)^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2$
左辺の $(x+c)^2$ から右辺の $(x-c)^2$ を引く形に整理するため、両辺から $(x-c)^2$ を引きます。
$(x+c)^2-(x-c)^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
左辺を計算します。$(x+c)^2 = x^2+2cx+c^2$、$(x-c)^2=x^2-2cx+c^2$ なので、
$(x+c)^2-(x-c)^2 = (x^2+2cx+c^2)-(x^2-2cx+c^2) = 4cx$
したがって、
$4cx = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
両辺を $4$ で割ります。
$cx = a^2 - a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
根号の項だけを左辺に残すように整理します。
$a\sqrt{(x-c)^2+y^2} = a^2 - cx$
もう一度、両辺を2乗します。
$a^2\left[(x-c)^2+y^2\right] = (a^2-cx)^2$
左辺を展開します。
$a^2(x^2-2cx+c^2+y^2) = a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2$
右辺も展開します。
$(a^2-cx)^2 = a^4-2a^2cx+c^2x^2$
したがって、
$a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2 = a^4-2a^2cx+c^2x^2$
両辺に共通する $-2a^2cx$ を消します。
$a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2 = a^4+c^2x^2$
$x^2$ の項どうし、定数の項どうしを整理するために、両辺から $c^2x^2$ と $a^2c^2$ を引きます。
$a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2 = a^4-a^2c^2$
左辺の $x^2$ の項をまとめ、右辺を $a^2$ でくくります。
$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2 = a^2(a^2-c^2)$
ここで、$a>c>0$ なので $a^2-c^2>0$ です。この正の値を $b^2$ とおきます。
$b^2 = a^2-c^2 \quad (b>0)$
代入すると、
$b^2x^2+a^2y^2 = a^2b^2$
両辺を $a^2b^2$ で割ります。
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$
これが楕円の標準形の方程式です。
標準形のグラフの特徴
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)のグラフについて、まとめておきます。
- $x$ 軸、$y$ 軸のどちらに関しても対称であり、原点に関しても対称です。
- $y=0$ とすると $x=\pm a$ となるので、点 $(\pm a, 0)$ を通ります。$x=0$ とすると $y=\pm b$ となるので、点 $(0,\pm b)$ を通ります。これら4つの点を頂点と呼びます。
- $a>b$ なので、$x$ 軸方向に長く伸びた形になります。長い方の軸(長さ $2a$)を長軸、短い方の軸(長さ $2b$)を短軸と呼びます。
- 焦点は長軸上にあり、$c=\sqrt{a^2-b^2}$ として、$(\pm c, 0)$ です。
もし $a 問題 楕円 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ の焦点の座標と、4つの頂点の座標を求めなさい。 標準形 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ と見比べます。 $a^2 = 25, \qquad b^2 = 16$ $a>0$、$b>0$ なので、 $a = 5, \qquad b = 4$ $a>b$ なので、焦点は $x$ 軸上にあります。$c=\sqrt{a^2-b^2}$ に代入します。 $c = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$ 答え: 焦点 $(3, 0)$、$(-3, 0)$。頂点 $(5,0)$、$(-5,0)$、$(0,4)$、$(0,-4)$ 問題 2点 $(0, 4)$、$(0, -4)$ を焦点とし、焦点までの距離の和が $10$ である楕円の方程式を求めなさい。 焦点が $y$ 軸上にあるので、この楕円は長軸が $y$ 軸方向を向いている(縦長の)楕円です。焦点までの距離の和が $2a=10$ なので、 $a = 5$ 焦点の座標から $c=4$ です。$b^2=a^2-c^2$ の関係(長軸方向の半径の2乗から焦点までの距離の2乗を引くと短軸方向の半径の2乗になる、という関係)を使って $b^2$ を求めます。 $b^2 = a^2-c^2 = 5^2-4^2 = 25-16 = 9$ 長軸が $y$ 軸方向なので、標準形は $\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1$ の形になります($y^2$ の分母の方が大きくなるようにします)。$a^2=25$、$b^2=9$ を代入すると、 答え: $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25}=1$ 問題 楕円 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 上の点 $\mathrm{P}$ から一方の焦点 $\mathrm{F}(\sqrt{7}, 0)$ までの距離が $3$ であるとき、もう一方の焦点 $\mathrm{F}'(-\sqrt{7}, 0)$ までの距離を求めなさい。 標準形と見比べると $a^2=16$、$b^2=9$ なので $a=4$、$b=3$ です。焦点までの距離は $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$ となり、確かに問題文の焦点の座標 $(\pm\sqrt{7},0)$ と一致します。 ここで、楕円の定義を思い出しましょう。楕円上のすべての点で、2つの焦点までの距離の和はつねに $2a$ で一定でした。 $\mathrm{PF} + \mathrm{PF'} = 2a = 2\times4 = 8$ $\mathrm{PF}=3$ が与えられているので、この式に代入します。 $3 + \mathrm{PF'} = 8$ 両辺から $3$ を引きます。 $\mathrm{PF'} = 5$ 答え: $\mathrm{PF'} = 5$ (このように、楕円の定義である「距離の和が一定」という性質を使うと、点 $\mathrm{P}$ の座標を実際に求めなくても、もう一方の焦点までの距離がすぐに計算できます。) 問題1 楕円 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ の焦点の座標と頂点の座標を求めなさい。 焦点 $(\sqrt{5}, 0)$、$(-\sqrt{5}, 0)$。頂点 $(3,0)$、$(-3,0)$、$(0,2)$、$(0,-2)$ (解説: $a^2=9$、$b^2=4$ より $a=3$、$b=2$。$c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。) 問題2 2点 $(2,0)$、$(-2,0)$ を焦点とし、焦点までの距離の和が $6$ である楕円の方程式を求めなさい。 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$ (解説: $2a=6$ より $a=3$。$c=2$ なので $b^2=a^2-c^2=9-4=5$。焦点が $x$ 軸上なので標準形は $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$。) 問題3 楕円 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 上の点 $\mathrm{P}$ から焦点 $\mathrm{F}(4,0)$ までの距離が $6$ であるとき、もう一方の焦点 $\mathrm{F}'(-4,0)$ までの距離を求めなさい。 $4$ (解説: $a^2=25$ より $a=5$。距離の和は $2a=10$ なので、$\mathrm{PF'}=10-6=4$。)例題
例題1(基本)
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例題2(標準)
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例題3(応用)
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練習問題
答え
答え
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