確率の基本性質

要点整理

確率を考える舞台:試行と事象

まず、言葉の意味を確認するところから始めましょう。さいころを1回投げる、コインを1枚投げる、袋から玉を1個取り出す――このように、同じ条件のもとで何度でも繰り返すことができ、その結果が偶然によって決まる実験や観察のことを試行といいます。

試行の結果として起こりうるすべての結果全体の集合を全事象といい、記号 $U$ で表します。例えば「さいころを1回投げる」という試行では、出る目は1から6のどれかなので、

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

です。

そして、この全事象 $U$ の中の一部分(部分集合)として起こることがらを事象といいます。例えば「偶数の目が出る」ということがらを事象 $A$ とすると、

$A = \{2, 4, 6\}$

と表せます。事象は集合として扱えるので、これまで学んできた集合の考え方や、要素の個数を数える組合せの知識が、そのまま活躍します。

確率の定義

さいころのように、ゆがみがなく、どの目が出ることも同じ程度に期待できるとき、これを同様に確からしいといいます。全事象 $U$ に含まれるすべての結果が同様に確からしいとき、事象 $A$ の起こる確率 $P(A)$ を、次の式で定義します。

$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}$

ここで、$n(U)$ は全事象に含まれる結果の総数(起こりうるすべての場合の数)、$n(A)$ は事象 $A$ に含まれる結果の個数(事象 $A$ が起こる場合の数)を表しています。つまり、確率とは「全体の場合の数のうち、目的の場合の数がどれくらいの割合を占めるか」を表す数値だということです。この $n(A)$ や $n(U)$ を求める場面で、これまで学んできた場合の数・順列・組合せの計算がそのまま使われます。

具体例で確認しましょう。さいころを1回投げて偶数の目が出る確率を考えます。全事象は $U = \{1,2,3,4,5,6\}$ なので $n(U) = 6$、事象 $A$(偶数の目)は $A = \{2,4,6\}$ なので $n(A) = 3$ です。したがって、

$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

と求められます。

確率の基本性質

確率 $P(A)$ には、次の3つの基本性質があります。1つずつ、なぜそう言えるのか確認していきましょう。

性質1:$0 \leqq P(A) \leqq 1$

事象 $A$ に含まれる場合の数 $n(A)$ は、どんなに少なくても0個(1つも起こらない)、どんなに多くても $n(U)$ 個(全事象のすべてが $A$ に含まれる)までのどこかの値になります。つまり、

$0 \leqq n(A) \leqq n(U)$

が成り立ちます。この不等式の各辺を、正の数である $n(U)$ で割ります(不等式の各辺を正の数で割っても、不等号の向きは変わらないという性質を使います)。

$\frac{0}{n(U)} \leqq \frac{n(A)}{n(U)} \leqq \frac{n(U)}{n(U)}$

左辺は $0$、右辺は $1$ になるので、

$0 \leqq P(A) \leqq 1$

が得られます。確率は、どんな事象であっても必ず0以上1以下の値になる、ということです。

性質2:$P(U) = 1$

全事象 $U$ そのものを1つの事象と考えると、$U$ に含まれる場合の数は $n(U)$ 個そのものなので、

$P(U) = \frac{n(U)}{n(U)} = 1$

となります。「試行の結果、必ず起こることがら」の確率は1である、という性質です。

性質3:$P(\varnothing) = 0$

一方、1つも要素を含まない事象、つまり空集合 $\varnothing$(決して起こらないことがら)を考えると、$n(\varnothing) = 0$ なので、

$P(\varnothing) = \frac{n(\varnothing)}{n(U)} = \frac{0}{n(U)} = 0$

となります。「決して起こらないことがら」の確率は0である、という性質です。

余事象の確率

事象 $A$ に対して、「$A$ が起こらない」ということがらを $A$ の余事象といい、記号 $\overline{A}$ で表します。例えば、さいころを1回投げて「偶数の目が出る」事象を $A$ とすると、その余事象 $\overline{A}$ は「偶数の目が出ない」、つまり「奇数の目が出る」という事象になります。

事象 $A$ と余事象 $\overline{A}$ には、次の2つの特徴があります。

• $A$ と $\overline{A}$ を合わせると、全事象 $U$ のすべての結果をちょうど1回ずつ、もれなくカバーする
• $A$ と $\overline{A}$ は同時には起こらない(重なる部分がない)

この2つの特徴から、要素の個数について、次の関係が成り立ちます。

$n(U) = n(A) + n(\overline{A})$

この式の両辺を、正の数である $n(U)$ で割ります。

$\frac{n(U)}{n(U)} = \frac{n(A)}{n(U)} + \frac{n(\overline{A})}{n(U)}$

左辺は $1$ になり、右辺の2つの分数は、それぞれ確率の定義よりちょうど $P(A)$ と $P(\overline{A})$ を表しているので、

$1 = P(A) + P(\overline{A})$

左右を入れ替えると、

$P(A) + P(\overline{A}) = 1$

という関係式が得られます。この式で、左辺の $P(\overline{A})$ を右辺に移項する(移項するときは符号が反対になります)と、

$P(A) = 1 - P(\overline{A})$

同じように $P(A)$ を移項すれば、

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

という形にもできます。この公式は、「事象 $A$ が起こる確率」を直接求めるのが面倒なときに、「$A$ が起こらない確率(余事象の確率)」を先に求めて、それを1から引くという形で使います。特に「少なくとも1つは~である」というタイプの確率を求めるときに、とても強力な道具になります。例題3と練習問題で、実際の使い方を確認していきましょう。

例題

例題1(基本)

問題 1個のさいころを1回投げるとき、3の倍数の目が出る確率を求めなさい。

解答・解説を見る

まず、この試行の全事象 $U$ を確認します。さいころの目は1から6までの6通りが同様に確からしく起こるので、

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, \quad n(U) = 6$

です。

次に、「3の倍数の目が出る」ということがらを事象 $A$ とします。1から6までの整数のうち、3の倍数は3と6の2つなので、

$A = \{3, 6\}, \quad n(A) = 2$

です。

確率の定義 $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)}$ に、これらの値を代入します。

$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{2}{6}$

分子と分母を、最大公約数である2で約分すると、

$P(A) = \frac{1}{3}$

したがって、答えは $\dfrac{1}{3}$ です。

例題2(標準)

問題 1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードがあります。この中から同時に2枚を取り出すとき、取り出した2枚のカードの数字がともに奇数である確率を求めなさい。

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ステップ1:全事象の場合の数 $n(U)$ を求める

9枚のカードから2枚を同時に取り出すので、これは「順序を区別しない選び方」、つまり組合せの考え方を使います。9枚の中から2枚を選ぶ選び方の総数が $n(U)$ です。

$n(U) = {}_{9}\mathrm{C}_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1}$

分子を計算すると $9 \times 8 = 72$、分母は $2 \times 1 = 2$ なので、

$n(U) = \frac{72}{2} = 36$

ステップ2:事象Aの場合の数 $n(A)$ を求める

事象 $A$ を「取り出した2枚がともに奇数である」とします。1から9までの整数のうち、奇数は $1, 3, 5, 7, 9$ の5個です。この5個の奇数のカードの中から2枚を選ぶ選び方の総数が $n(A)$ になります。

$n(A) = {}_{5}\mathrm{C}_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1}$

分子は $5 \times 4 = 20$、分母は $2 \times 1 = 2$ なので、

$n(A) = \frac{20}{2} = 10$

ステップ3:確率の定義に代入する

確率の定義 $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)}$ に、ステップ1、ステップ2で求めた値を代入します。

$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{10}{36}$

分子と分母を、最大公約数である2で約分すると、

$P(A) = \frac{5}{18}$

したがって、答えは $\dfrac{5}{18}$ です。

例題3(応用)

問題 男子5人、女子4人の合計9人の中から、くじ引きで3人の代表を選びます。このとき、選ばれた3人の中に少なくとも1人は女子が含まれる確率を求めなさい。

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「少なくとも1人は女子が含まれる」という事象を直接数えようとすると、「女子がちょうど1人選ばれる場合」「女子がちょうど2人選ばれる場合」「女子がちょうど3人選ばれる場合」の3つをすべて数えて足し合わせる必要があり、計算が複雑になってしまいます。このようなときは、要点整理で学んだ余事象の考え方を使うと、計算がぐっと簡単になります。

ステップ1:余事象を考える

事象 $A$ を「選ばれた3人の中に少なくとも1人は女子が含まれる」とします。このとき、余事象 $\overline{A}$ は「女子が1人も選ばれない」、つまり「3人とも男子である」という事象になります。「少なくとも1つはである」の余事象は「1つもない」になる、という対応をしっかり押さえておきましょう。

ステップ2:全事象の場合の数 $n(U)$ を求める

9人の中から3人の代表を選ぶ(順序を区別しない)ので、組合せを使います。

$n(U) = {}_{9}\mathrm{C}_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}$

分子を計算すると $9 \times 8 \times 7 = 504$、分母は $3 \times 2 \times 1 = 6$ なので、

$n(U) = \frac{504}{6} = 84$

ステップ3:余事象の場合の数 $n(\overline{A})$ を求める

「3人とも男子である」選び方は、男子5人の中から3人を選ぶ選び方の総数なので、

$n(\overline{A}) = {}_{5}\mathrm{C}_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$

分子は $5 \times 4 \times 3 = 60$、分母は $3 \times 2 \times 1 = 6$ なので、

$n(\overline{A}) = \frac{60}{6} = 10$

ステップ4:余事象の確率 $P(\overline{A})$ を求める

確率の定義に、ステップ2、ステップ3で求めた値を代入します。

$P(\overline{A}) = \frac{n(\overline{A})}{n(U)} = \frac{10}{84}$

分子と分母を、最大公約数である2で約分すると、

$P(\overline{A}) = \frac{5}{42}$

ステップ5:余事象の公式を使って $P(A)$ を求める

$P(A) = 1 - P(\overline{A})$ に、ステップ4で求めた値を代入します。

$P(A) = 1 - \frac{5}{42}$

$1$ を、分母が42の分数の形に直すと $1 = \dfrac{42}{42}$ なので、

$P(A) = \frac{42}{42} - \frac{5}{42} = \frac{37}{42}$

したがって、答えは $\dfrac{37}{42}$ です。

練習問題

問題 赤玉3個、白玉2個、合計5個の玉が入っている袋があります。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、少なくとも1個は赤玉が出る確率を求めなさい。

答え

事象 $A$ を「少なくとも1個は赤玉が出る」とすると、余事象 $\overline{A}$ は「2個とも白玉である」です。

全事象:$n(U) = {}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

余事象(白玉は2個しかないので、2個とも選ぶ選び方は1通り):$n(\overline{A}) = {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 1$

$P(\overline{A}) = \frac{1}{10}$

$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

答え:$\dfrac{9}{10}$