平均変化率と微分係数

平均変化率の公式 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ に、$a=1$、$a+h=3$(つまり $h=2$)を当てはめます。まず $f(1)$ と $f(3)$ の値を求めます。

$f(1) = 1^2+1 = 2, \qquad f(3) = 3^2+1 = 10$

平均変化率は、

$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{10-2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

定義式 $f'(2)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ に従って計算します。

$f(2)$ を求める:

$f(2) = 2^2-3\times2 = 4-6 = -2$

$f(2+h)$ を求める: $x=2+h$ を代入します。

$f(2+h) = (2+h)^2-3(2+h)$

$(2+h)^2$ を展開すると $4+4h+h^2$ なので、

$f(2+h) = 4+4h+h^2-3(2+h) = 4+4h+h^2-6-3h$

同類項をまとめます。

$f(2+h) = h^2+(4h-3h)+(4-6) = h^2+h-2$

$f(2+h)-f(2)$ を計算する:

$f(2+h)-f(2) = (h^2+h-2)-(-2) = h^2+h-2+2 = h^2+h$

$h$ で割る: $h\neq0$ として、分子を $h$ でくくります。

$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{h^2+h}{h} = \frac{h(h+1)}{h} = h+1$

極限をとる: $h\to0$ とすると、

$f'(2) = \lim_{h\to0}(h+1) = 0+1 = 1$

答え: $f'(2)=1$

平均変化率を求める: $f(1)=1-4+3=0$、$f(5)=25-20+3=8$ より、

$\frac{f(5)-f(1)}{5-1} = \frac{8-0}{4} = 2$

$f'(a)$ を定義に従って求める: $f(a)=a^2-4a+3$、

$f(a+h) = (a+h)^2-4(a+h)+3$

$(a+h)^2=a^2+2ah+h^2$ を使って展開します。

$f(a+h) = a^2+2ah+h^2-4a-4h+3$

$f(a+h)-f(a)$ を計算します。

$f(a+h)-f(a) = (a^2+2ah+h^2-4a-4h+3)-(a^2-4a+3)$

$a^2$、$-4a$、$3$ の項がそれぞれ打ち消し合うので、

$= 2ah+h^2-4h$

$h$ でくくると、

$= h(2a+h-4)$

$h$ で割ると、

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = 2a+h-4$

$h\to0$ の極限をとると、

$f'(a) = 2a-4$

方程式を解く: 平均変化率 $2$ と $f'(a)=2a-4$ が等しいという式を立てます。

$2a-4 = 2$

両辺に $4$ を加えます。

$2a = 6$

両辺を $2$ で割ります。

$a = 3$

答え: $a=3$

$f(1)=3$、$f(1+h)=(1+h)^2+2(1+h)=1+2h+h^2+2+2h=h^2+4h+3$

$\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{h^2+4h+3-3}{h} = \frac{h^2+4h}{h} = h+4$

$h\to0$ として $f'(1)=4$