数学II / 三角関数
三角関数の合成
要点整理
合成とは何か
$a\sin\theta+b\cos\theta$ のように、$\sin\theta$ の項と $\cos\theta$ の項が足し算になっている式を考えます。このままでは最大値・最小値やグラフの形が分かりにくいので、これを
$r\sin(\theta+\varphi)$
という、1つの $\sin$ だけの式に書き直す技術を三角関数の合成といいます($r$ は正の数、$\varphi$ はある角です)。1つの $\sin$ にまとまれば、これまで学んだ $\sin$ のグラフの知識(最大値・最小値・周期)がそのまま使えるようになります。
合成の公式の導出
目標は、$a\sin\theta+b\cos\theta$ を $r\sin(\theta+\varphi)$ の形に変形することです。まず、$r\sin(\theta+\varphi)$ を加法定理で展開してみます。
$r\sin(\theta+\varphi) = r(\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi) = (r\cos\varphi)\sin\theta + (r\sin\varphi)\cos\theta$
これが $a\sin\theta+b\cos\theta$ と一致してほしいので、$\sin\theta$ の係数どうし、$\cos\theta$ の係数どうしを比べて、
$r\cos\varphi = a, \qquad r\sin\varphi = b$
という2つの式が成り立てばよいことが分かります。この2式から $r$ と $\varphi$ を求めます。
$r$ を求める: 2式それぞれを2乗して足します。
$(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2 = a^2+b^2$
左辺を計算すると、
$r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi = r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi) = r^2\times1 = r^2$
よって $r^2=a^2+b^2$ となり、$r>0$ ととる約束にすると、
$r = \sqrt{a^2+b^2}$
$\varphi$ を求める: $r\cos\varphi=a$、$r\sin\varphi=b$ の両辺を $r$ で割ると、
$\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
この2つの値を満たす角 $\varphi$ を求めます(座標平面上の点 $(a,b)$ を考え、原点からその点までの動径が表す角が $\varphi$ になる、とイメージすると求めやすいです)。
まとめると、次の公式が得られます。
$a\sin\theta+b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\varphi) \qquad \left(\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$
覚え方のコツ: 座標平面に点 $(a,b)$ をとり、原点からその点までの距離が $r=\sqrt{a^2+b^2}$、原点からその点への動径が表す角が $\varphi$ です。$a$ が $\sin\theta$ の係数、$b$ が $\cos\theta$ の係数であることに対応させて、点の座標を $(a,b)=(\sin\theta$の係数$, \cos\theta$の係数$)$ の順にとるのがポイントです。
例題
例題1(基本)
問題 $\sin\theta+\cos\theta$ を $r\sin(\theta+\varphi)$ の形に合成しなさい(ただし $0\le\varphi<2\pi$)。
解答・解説を見る
$a=1$($\sin\theta$ の係数)、$b=1$($\cos\theta$ の係数)です。
$r = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$
次に $\varphi$ を求めます。
$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$
$\cos\varphi=\dfrac{\sqrt2}{2}$ かつ $\sin\varphi=\dfrac{\sqrt2}{2}$ となる角は、$0\le\varphi<2\pi$ の範囲で $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$ です。
よって、
$\sin\theta+\cos\theta = \sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$
例題2(標準)
問題 $\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$ を合成し、$0\le\theta<2\pi$ における最大値・最小値と、そのときの $\theta$ の値を求めなさい。
解答・解説を見る
$a=\sqrt3$、$b=-1$ です。
$r = \sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt4 = 2$
$\cos\varphi = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\varphi = \frac{-1}{2} = -\frac12$
$\cos\varphi>0$、$\sin\varphi<0$ なので $\varphi$ は第4象限の角です。$\cos\varphi=\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\sin\varphi=-\dfrac12$ を満たす角は $\varphi=-\dfrac{\pi}{6}$ です。
よって、
$\sqrt3\sin\theta-\cos\theta = 2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$
最大値・最小値を求める: $0\le\theta<2\pi$ のとき、$\theta-\dfrac{\pi}{6}$ の範囲は
$-\frac{\pi}{6} \le \theta-\frac{\pi}{6} < 2\pi-\frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$
この範囲の中で $\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)$ が最大値 $1$ をとるのは $\theta-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ のとき、つまり
$\theta = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6}+\frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$
このとき、最大値は $2\times1=2$。
最小値 $-1$ をとるのは $\theta-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$ のとき、つまり
$\theta = \frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6}+\frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$
このとき、最小値は $2\times(-1)=-2$。
答え: $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき最大値 $2$、$\theta=\dfrac{5\pi}{3}$ のとき最小値 $-2$
例題3(応用)
問題 $0\le\theta<2\pi$ のとき、方程式 $\sin\theta-\sqrt3\cos\theta=1$ を解きなさい。
解答・解説を見る
左辺を合成します。$a=1$、$b=-\sqrt3$ より、
$r = \sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2} = \sqrt{1+3} = 2$
$\cos\varphi = \frac12, \qquad \sin\varphi = -\frac{\sqrt3}{2}$
これを満たす角は $\varphi=-\dfrac{\pi}{3}$ です。よって、
$\sin\theta-\sqrt3\cos\theta = 2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)$
方程式は $2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=1$ となるので、両辺を $2$ で割って、
$\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) = \frac12$
ここで $\theta-\dfrac{\pi}{3}$ を1つの文字、例えば $t$ とおくと、$t=\theta-\dfrac{\pi}{3}$ の範囲は $0\le\theta<2\pi$ より
$-\frac{\pi}{3} \le t < 2\pi-\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$
この範囲で $\sin t=\dfrac12$ を解くと、$t=\dfrac{\pi}{6}$ または $t=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ です(どちらも範囲内に入っています)。
$t=\theta-\dfrac{\pi}{3}$ だったので、$\theta=t+\dfrac{\pi}{3}$ に戻します。
$\theta = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$
$\theta = \frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}+\frac{2\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$
答え: $\theta=\dfrac{\pi}{2}, \ \dfrac{7\pi}{6}$
練習問題
問題 $-\sin\theta+\cos\theta$ を $r\sin(\theta+\varphi)$ の形に合成しなさい(ただし $0\le\varphi<2\pi$)。
答え
$a=-1, b=1$ より $r=\sqrt{1+1}=\sqrt2$、$\cos\varphi=-\dfrac{\sqrt2}{2}$、$\sin\varphi=\dfrac{\sqrt2}{2}$ となる角は $\varphi=\dfrac{3\pi}{4}$。
$-\sin\theta+\cos\theta = \sqrt2\sin\left(\theta+\frac{3\pi}{4}\right)$