区分求積法と定積分の関係

要点整理

定積分は、細かい長方形の面積の和の極限

これまで、定積分 $\int_a^b f(x)\,dx$ を「原始関数 $F(x)$ を使って $F(b)-F(a)$ を計算するもの」として扱ってきました。ここでは、定積分のそもそもの成り立ち(定義)に立ち返り、それが「面積を細かい長方形の集まりで近似したものの極限」であることを確認します。

区間 $[0,1]$ を、$n$ 個の等しい幅の小区間に分割します。1つの小区間の幅は $\dfrac{1}{n}$ です。$k$ 番目の小区間の右端の $x$ 座標は $\dfrac{k}{n}$($k=1,2,\dots,n$)になります。それぞれの小区間の上に、高さが $f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ の細長い長方形を立てると、その長方形の面積は、

$f\left(\frac{k}{n}\right)\times\frac{1}{n}$

です。これを $k=1$ から $k=n$ まで全部足し合わせたもの(リーマン和と呼ばれます)は、

$\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\times\frac{1}{n}$

となります。この長方形の集まりは、$n$ が大きくなる(長方形の幅がどんどん細かくなる)ほど、曲線 $y=f(x)$ の下側の面積(=定積分の値)に近づいていきます。したがって、$n\to\infty$ の極限を取ると、

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx$

という関係が成り立ちます。これを区分求積法といいます。同じ考え方を、一般の区間 $[a,b]$($n$ 等分、小区間の幅 $\dfrac{b-a}{n}$、$k$ 番目の右端 $a+k\cdot\dfrac{b-a}{n}$)に広げると、次の公式が得られます。

$\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(a+k\cdot\frac{b-a}{n}\right) = \int_a^b f(x)\,dx$

使い方:$\Sigma$ を含む数列の極限を定積分に変換する

区分求積法は、逆向きに使うと非常に強力な道具になります。つまり、$\Sigma$(シグマ、和の記号)を含んだ、そのままでは求めにくい数列の極限が出てきたとき、それが「区分求積法の形」になっていることを見抜ければ、対応する定積分を計算するだけで、その極限の値が求められるのです。見抜くためのポイントは、

和の中に $\dfrac{1}{n}$(または $\dfrac{b-a}{n}$)という因数がないか探す。これが「長方形の幅」の役割を果たしている。
残りの部分が、$\dfrac{k}{n}$(または $a+k\cdot\dfrac{b-a}{n}$)を代入した関数 $f$ の形になっていないか確認する。
形が一致すれば、$x=\dfrac{k}{n}$ とみなして、対応する定積分に書き換える。

例題

例題1(基本)

問題

次の極限を、区分求積法を利用して求めなさい。

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2$

解答・解説を見る

和の中を見ると、$\dfrac{1}{n}$(長方形の幅)と、$\dfrac{k}{n}$ を代入した関数 $f(x)=x^2$ の形($\left(\dfrac{k}{n}\right)^2$)が掛け算されています。これは、区間 $[0,1]$、$f(x)=x^2$ の区分求積法の形そのものです。

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2 = \int_0^1 x^2\,dx$

右辺の定積分を計算します。

$\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}-0 = \frac{1}{3}$

答え:$\dfrac{1}{3}$

例題2(標準)

問題

次の極限を、区分求積法を利用して求めなさい。

$\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)$

解答・解説を見る

区間 $[0,\pi]$ を $n$ 等分すると、小区間の幅は $\dfrac{\pi-0}{n}=\dfrac{\pi}{n}$、$k$ 番目の右端は $0+k\times\dfrac{\pi}{n}=\dfrac{k\pi}{n}$ になります。この問題の和は、まさにこの形(幅 $\dfrac{\pi}{n}$、関数 $f(x)=\sin x$ に $x=\dfrac{k\pi}{n}$ を代入したもの)になっています。

$\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \int_0^{\pi}\sin x\,dx$

右辺の定積分を計算します。

$\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos 0) = -(-1)-(-1) = 1+1 = 2$

答え:$2$

例題3(応用)

問題

次の極限を、区分求積法を利用して求めなさい。

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n}}$

解答・解説を見る

和の中は、幅 $\dfrac{1}{n}$ と、$f(x)=\sqrt{1+x}$ に $x=\dfrac{k}{n}$ を代入した形になっています。区間は $[0,1]$ です。

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{1+x}\,dx$

右辺の定積分を、置換積分法を使って計算します。$u=1+x$ とおくと $du=dx$ で、積分区間は $x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=2$ となります。

$\int_0^1\sqrt{1+x}\,dx = \int_1^2\sqrt{u}\,du = \left[\frac{2}{3}u^{\frac32}\right]_1^2$

上端 $u=2$、下端 $u=1$ を代入します。

$\frac{2}{3}\left(2^{\frac32}-1^{\frac32}\right) = \frac{2}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)$

答え:$\dfrac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$

練習問題

問題1

次の極限を、区分求積法を利用して求めなさい。

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^3$

答え

$\displaystyle\int_0^1 x^3\,dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac14$ です。

問題2

次の極限を、区分求積法を利用して求めなさい。

$\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{2k}{n}\right)^2$

答え

区間 $[0,2]$、$f(x)=x^2$ の区分求積法の形なので、$\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac83$ です。