高次方程式の解法

まず、解の候補を探します。左辺を $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$ とおくと、最高次の係数は $1$ なので、解の候補は定数項 $-6$ の約数、つまり $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$ です。

$x=1$ を代入してみます。

$f(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6=1-6+11-6=0$

$f(1)=0$ となったので、因数定理より $f(x)$ は $x-1$ を因数に持ちます。

そこで、$f(x)$ を $x-1$ で割ります。割り算を1つずつ確認していきましょう。

商の最初の項を求めます。$x^3 \div x = x^2$ なので、商の最初の項は $x^2$ です。

$x^2\times(x-1)=x^3-x^2$

これを $f(x)$ から引きます。

$(x^3-6x^2+11x-6)-(x^3-x^2)=-5x^2+11x-6$

次に、商の2番目の項を求めます。$-5x^2\div x=-5x$ です。

$-5x\times(x-1)=-5x^2+5x$

これを引きます。

$(-5x^2+11x-6)-(-5x^2+5x)=6x-6$

最後に、商の3番目の項を求めます。$6x\div x=6$ です。

$6\times(x-1)=6x-6$

これを引くと、

$(6x-6)-(6x-6)=0$

余りが $0$ になったので、割り算はここで終わりです。商は $x^2-5x+6$ でした。よって、

$f(x)=(x-1)(x^2-5x+6)$

さらに $x^2-5x+6$ を因数分解します。積が $6$、和が $-5$ になる2つの数は $-2$ と $-3$ なので、

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

したがって、

$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)=0$

これが成り立つのは、$x-1=0$ または $x-2=0$ または $x-3=0$ のときです。よって、

$x=1,\ 2,\ 3$

$f(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6$ とおきます。最高次の係数は $1$ なので、解の候補は定数項 $-6$ の約数 $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$ です。

$x=1$ を代入します。

$f(1)=1-5+5+5-6=0$

$f(1)=0$ なので、$f(x)$ は $x-1$ を因数に持ちます。$f(x)$ を $x-1$ で割ります。

商の1番目の項は $x^4\div x=x^3$ です。

$x^3\times(x-1)=x^4-x^3$

$(x^4-5x^3+5x^2+5x-6)-(x^4-x^3)=-4x^3+5x^2+5x-6$

商の2番目の項は $-4x^3\div x=-4x^2$ です。

$-4x^2\times(x-1)=-4x^3+4x^2$

$(-4x^3+5x^2+5x-6)-(-4x^3+4x^2)=x^2+5x-6$

商の3番目の項は $x^2\div x=x$ です。

$x\times(x-1)=x^2-x$

$(x^2+5x-6)-(x^2-x)=6x-6$

商の4番目の項は $6x\div x=6$ です。

$6\times(x-1)=6x-6$

$(6x-6)-(6x-6)=0$

余りが $0$ になったので、商は $x^3-4x^2+x+6$ です。よって、

$f(x)=(x-1)(x^3-4x^2+x+6)$

まだ $x^3-4x^2+x+6$ の次数が2次より高いので、もう一度同じ手順を繰り返します。$g(x)=x^3-4x^2+x+6$ とおき、解の候補(定数項 $6$ の約数 $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$)を代入していきます。

$x=-1$ を代入します。

$g(-1)=(-1)^3-4\cdot(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0$

$g(-1)=0$ なので、$g(x)$ は $x-(-1)$、つまり $x+1$ を因数に持ちます。$g(x)$ を $x+1$ で割ります。

商の1番目の項は $x^3\div x=x^2$ です。

$x^2\times(x+1)=x^3+x^2$

$(x^3-4x^2+x+6)-(x^3+x^2)=-5x^2+x+6$

商の2番目の項は $-5x^2\div x=-5x$ です。

$-5x\times(x+1)=-5x^2-5x$

$(-5x^2+x+6)-(-5x^2-5x)=6x+6$

商の3番目の項は $6x\div x=6$ です。

$6\times(x+1)=6x+6$

$(6x+6)-(6x+6)=0$

余りが $0$ になったので、商は $x^2-5x+6$ です。よって、

$g(x)=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3)$

(最後の因数分解は例題1と同じ計算です。)まとめると、

$f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x-3)=0$

よって、

$x=1,\ -1,\ 2,\ 3$

係数を左から並べると $1,\ -5,\ 6,\ -5,\ 1$ となっていて左右対称です。このような相反方程式は、$x^2$ で割って次数を下げます。まず、$x=0$ をこの方程式に代入すると $1=0$ となって成り立たないので、$x=0$ はこの方程式の解ではありません。したがって、方程式の両辺を $x^2$ で割っても同値な式が得られます。

$\frac{x^4-5x^3+6x^2-5x+1}{x^2}=\frac{0}{x^2}$

左辺を項ごとに割ります。

$x^2-5x+6-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

順番を並べ替えて、$x^2$ を含む項どうし、$x$ を含む項どうしをまとめます。

$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0$

ここで $t=x+\frac{1}{x}$ とおきます。すると、

$t^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}$

この式を変形すると、

$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$

が得られます。これを先ほどの式に代入すると、

$(t^2-2)-5t+6=0$

整理すると、

$t^2-5t+4=0$

左辺を因数分解します。積が $4$、和が $-5$ になる2つの数は $-1$ と $-4$ なので、

$(t-1)(t-4)=0$

よって、$t=1$ または $t=4$ です。

(i) $t=1$ のとき

$x+\frac{1}{x}=1$ です。両辺に $x$ をかけると、

$x^2+1=x$

移項して、

$x^2-x+1=0$

解の公式を使います。$a=1,\ b=-1,\ c=1$ として、

$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$

ルートの中が負の数なので、複素数を使って表します。$\sqrt{-3}=\sqrt{3}\,i$ なので、

$x=\frac{1\pm\sqrt{3}\,i}{2}$

(ii) $t=4$ のとき

$x+\frac{1}{x}=4$ です。両辺に $x$ をかけると、

$x^2+1=4x$

移項して、

$x^2-4x+1=0$

解の公式を使います。$a=1,\ b=-4,\ c=1$ として、

$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}$

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ なので、

$x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}$

以上をまとめると、この4次方程式の解は次の4つです。

$x=\frac{1\pm\sqrt{3}\,i}{2},\ \ 2\pm\sqrt{3}$

$f(x)=x^3-2x^2-5x+6$ とおくと、$f(1)=1-2-5+6=0$ なので $f(x)$ は $x-1$ を因数に持ちます。$f(x)$ を $x-1$ で割ると、商は $x^2-x-6$ になります。これを因数分解すると $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ なので、

$f(x)=(x-1)(x-3)(x+2)=0$

よって、

$x=1,\ 3,\ -2$