章末問題

まず確認しておきたいのは、$f(x)$ という書き方の意味です。これは「$x$ にある数を代入して計算すると、この式で決まる値になる」という対応(関数)を表す記号です。$f(0)$ と書いたら、$f(x)$ の式の $x$ に $0$ を代入して計算した値のことを指します。

(1)

$f(0)$ を求めます。$x=0$ を代入します。

$f(0) = 0^2 - 3 \times 0 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2$

次に $f(2)$ を求めます。$x=2$ を代入します。

$f(2) = 2^2 - 3 \times 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

最後に $f(-1)$ を求めます。$x=-1$ を代入します。マイナスを代入するときは、符号のミスをしないように1つずつ丁寧に計算します。

$f(-1) = (-1)^2 - 3 \times (-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$

したがって、$f(0)=2$、$f(2)=0$、$f(-1)=6$ です。

(2)

$f(a)=0$ ということは、$f(x)$ の式の $x$ に $a$ を代入したものが $0$ になる、つまり

$a^2 - 3a + 2 = 0$

という方程式を満たす $a$ を求めればよい、ということです。左辺を因数分解します。因数分解とは、足し算・引き算の形の式を、かけ算の形に直すことでした。かけて $2$、足して $-3$ になる2つの数を探すと、$-1$ と $-2$ が見つかります(実際に $(-1)\times(-2)=2$、$(-1)+(-2)=-3$ となっていますね)。よって

$a^2 - 3a + 2 = (a-1)(a-2)$

と因数分解できます。したがって方程式は

$(a-1)(a-2) = 0$

となります。かけ算の結果が $0$ になるのは、かけている数のどちらかが $0$ のときだけなので、

$a - 1 = 0 \quad \text{または} \quad a - 2 = 0$

より、$a = 1, 2$ です。

(1)

平方完成とは、$ax^2+bx+c$ の形の式を $a(x-p)^2+q$ の形に変形することです。この形に直すと、$(x-p)^2 \ge 0$ であることを使って、グラフの頂点の座標が $(p, q)$ であることがすぐにわかるようになります。

まず、$x^2$ の係数である $2$ で、$x^2$ の項と $x$ の項をくくり出します。

$y = 2x^2 - 8x + 5 = 2(x^2 - 4x) + 5$

次に、かっこの中の $x^2 - 4x$ を平方完成します。$(x-2)^2$ を展開すると

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

となるので、両辺から $4$ を引くと

$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

という関係が成り立ちます。これをさきほどの式に代入します。

$y = 2\left[(x-2)^2 - 4\right] + 5$

かっこをはずします(全体に $2$ をかけます)。

$y = 2(x-2)^2 - 8 + 5$

計算をまとめます。

$y = 2(x-2)^2 - 3$

これで平方完成が完了しました。$y = a(x-p)^2+q$ の形では頂点が $(p,q)$ になるので、この放物線(2次関数のグラフのこと)の頂点の座標は $(2, -3)$ です。

(2)

一般に、グラフ $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、移動後のグラフの方程式は

$y = f(x-p) + q$

になります。$x$ 方向にずらす場合は、式の $x$ のところに $x-p$ を代入する、という決まりでしたね。

今回は $p=3$、$q=-2$、$f(x) = 2x^2-8x+5$ です。まず $f(x-3)$ を計算します。

$f(x-3) = 2(x-3)^2 - 8(x-3) + 5$

$(x-3)^2$ を展開します。

$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$

なので

$2(x-3)^2 = 2x^2 - 12x + 18$

また

$-8(x-3) = -8x + 24$

これらをすべて足し合わせます。

$f(x-3) = (2x^2 - 12x + 18) + (-8x+24) + 5 = 2x^2 - 20x + 47$

最後に $q=-2$ を足します。

$y = f(x-3) - 2 = (2x^2-20x+47) - 2 = 2x^2 - 20x + 45$

これが移動後のグラフの方程式です。

検算として、頂点を使った確かめ方も紹介します。(1)より元の頂点は $(2,-3)$ でした。頂点は $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $-2$ 移動するので、移動後の頂点は $(2+3,\ -3-2) = (5,-5)$ になります。放物線の開き具合(2次の係数)は平行移動では変わらないので、移動後の式は

$y = 2(x-5)^2 - 5$

とも書けます。これを展開すると $y = 2(x-5)^2-5 = 2x^2-20x+50-5 = 2x^2-20x+45$ となり、先ほどの答えと一致します。

2次関数のグラフ(放物線)は、$x^2$ の係数が正のとき下に凸(U字型)、負のときは上に凸(山型)になります。上に凸の放物線には頂点で最大値をとり、最大値より大きい値は存在しません。今回は $x^2$ の係数が $-3$(負の数)なので、上に凸の放物線です。まずは平方完成をして頂点を求めます。

$x^2$ の係数 $-3$ で、$x^2$ の項と $x$ の項をくくり出します。マイナスでくくることに注意しましょう。

$y = -3x^2 + 6x - 5 = -3(x^2 - 2x) - 5$

かっこの中の $x^2-2x$ を平方完成します。$(x-1)^2 = x^2-2x+1$ なので、両辺から $1$ を引くと

$x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$

これを代入します。

$y = -3\left[(x-1)^2 - 1\right] - 5$

かっこをはずします。

$y = -3(x-1)^2 + 3 - 5$

計算をまとめます。

$y = -3(x-1)^2 - 2$

ここで、$(x-1)^2$ はどんな実数 $x$ に対しても $0$ 以上の値になります(2乗した数は必ず $0$ 以上になるからです)。したがって $-3(x-1)^2$ は必ず $0$ 以下の値になります。つまり

$y = -3(x-1)^2 - 2 \le -2$

が常に成り立ち、等号(イコールが成り立つこと)は $(x-1)^2=0$、つまり $x=1$ のときに成立します。

したがって、$y$ の最大値は $x=1$ のとき $-2$ です。

$0 \le x \le 3$ のように、$x$ が動くことのできる範囲が決められているとき、その範囲を定義域と呼びます。定義域が制限されている場合は、頂点の $y$ 座標がそのまま最大値・最小値になるとは限らないため、区間の両端(この問題では $x=0$ と $x=3$)での値も必ず確認する必要があります。

まず平方完成をして頂点を求めます。

$f(x) = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1$

$x^2-4x$ を平方完成します。$(x-2)^2 = x^2-4x+4$ なので、

$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

これを代入します。

$f(x) = -\left[(x-2)^2 - 4\right] + 1 = -(x-2)^2 + 4 + 1 = -(x-2)^2 + 5$

頂点は $(2, 5)$ です。

次に、頂点の $x$ 座標 $x=2$ が定義域 $0 \le x \le 3$ に含まれているかを確認します。$0 \le 2 \le 3$ なので、頂点はこの定義域の内側にあります。

この関数は $x^2$ の係数が負なので上に凸の放物線です。頂点が定義域の内側にあるので、この区間での最大値は頂点での値、つまり

$f(2) = 5$

がそのまま最大値になります。

最小値については、上に凸の放物線は頂点から離れるほど $y$ の値が小さくなっていきます。頂点 $x=2$ から見て、区間の両端 $x=0$ と $x=3$ のうち、より離れている端のほうが最小値の候補になります。それぞれの値を実際に計算して比べてみましょう。

$f(0) = -(0-2)^2 + 5 = -4 + 5 = 1$

$f(3) = -(3-2)^2 + 5 = -1 + 5 = 4$

$1 < 4$ なので、最小値は $x=0$ のときの $f(0)=1$ です。

以上より、最大値は $x=2$ のとき $5$、最小値は $x=0$ のとき $1$ です。

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数は、判別式と呼ばれる $D = b^2-4ac$ の符号を調べることでわかります。$D>0$ のとき異なる2つの実数解をもち、$D=0$ のとき実数解はただ1つ(重解)、$D<0$ のとき実数解をもたない、という関係があります。

今回の方程式 $x^2-2(k+1)x+k^2+5=0$ を $ax^2+bx+c=0$ と見比べると、

$a=1,\qquad b=-2(k+1),\qquad c=k^2+5$

です。これらを判別式 $D=b^2-4ac$ に代入します。

$D = \left[-2(k+1)\right]^2 - 4 \times 1 \times (k^2+5)$

まず $\left[-2(k+1)\right]^2$ を計算します。$2$乗するとマイナスの符号は消えるので、

$\left[-2(k+1)\right]^2 = 4(k+1)^2$

$(k+1)^2$ を展開すると $k^2+2k+1$ なので、

$4(k+1)^2 = 4(k^2+2k+1) = 4k^2 + 8k + 4$

次に $4 \times 1 \times (k^2+5) = 4k^2+20$ です。

これらを $D$ の式に代入します。

$D = (4k^2+8k+4) - (4k^2+20)$

かっこをはずすときは、引き算なのですべての符号を反転させることに注意します。

$D = 4k^2+8k+4 - 4k^2 - 20$

$4k^2$ 同士が打ち消し合い、

$D = 8k + 4 - 20 = 8k - 16$

異なる2つの実数解をもつ条件は $D>0$ なので、

$8k - 16 > 0$

両辺に $16$ を足します。

$8k > 16$

両辺を $8$ で割ります(正の数で割るので不等号の向きは変わりません)。

$k > 2$

したがって、求める $k$ の値の範囲は $k>2$ です。

2次不等式を解くときは、まず左辺を因数分解して、対応する2次方程式の解(放物線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標)を求め、そのうえでグラフの形をもとに不等式を満たす範囲を判断します。

まず $2x^2-5x-3$ を因数分解します。$(2x+1)(x-3)$ という形を予想して、実際に展開して確かめてみましょう。

$(2x+1)(x-3) = 2x \times x + 2x \times (-3) + 1 \times x + 1 \times (-3)$

$= 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$

もとの式と一致したので、

$2x^2 - 5x - 3 = (2x+1)(x-3)$

と因数分解できることがわかりました。よって、不等式は

$(2x+1)(x-3) \le 0$

と書き直せます。

ここで、$y=(2x+1)(x-3)$ のグラフを考えます。この式を展開すると $x^2$ の係数は正の $2$ なので、下に凸の放物線です。このグラフが $x$ 軸と交わる点(共有点)の $x$ 座標は、$(2x+1)(x-3)=0$ を解いて求められます。

$2x+1=0 \quad \text{または} \quad x-3=0$

より、

$x = -\frac{1}{2}, \quad x=3$

下に凸の放物線は、この2つの交点の間では $x$ 軸より下側($y \le 0$)にあり、2つの交点の外側では $x$ 軸より上側($y \ge 0$)にあります。今回求めたいのは $y \le 0$ となる $x$ の範囲なので、2つの交点の間の部分です。等号(イコール)も含むことに注意すると、答えは

$-\frac{1}{2} \le x \le 3$

です。

まず、この式の $x^2-2ax+a^2$ の部分に注目します。これは展開公式 $(x-a)^2 = x^2-2ax+a^2$ の右辺とまったく同じ形をしています。つまり、この部分はすでに $(x-a)^2$ という形にまとまっているということです。したがって、

$f(x) = x^2-2ax+a^2+1 = (x-a)^2 + 1$

と、平方完成をせずにそのまま頂点の形に書き直すことができます。頂点の座標は $(a, 1)$ で、$x^2$ の係数が正の $1$ なので下に凸の放物線です。

下に凸の放物線は、頂点から $x$ が離れるほど $y$ の値が大きくなっていきます。つまり、頂点に近いところほど $y$ の値は小さくなります。今回は定義域が $0 \le x \le 4$ に制限されていて、頂点の $x$ 座標 $a$ の位置によって、この区間のどこで最小値がとれるかが変わってきます。$a$ の位置で3つの場合に分けて考えます。

(i) $a < 0$ のとき

頂点は定義域 $0\le x\le4$ より左側にあります。この区間の $x$ はすべて頂点の $x$ 座標 $a$ より右側にあるので、区間の中では $x$ が小さいほど頂点に近く、$y$ の値も小さくなります。したがって、区間の中で最も頂点に近い $x=0$ で最小値をとります。

$f(0) = (0-a)^2+1 = a^2+1$

(ii) $0 \le a \le 4$ のとき

頂点の $x$ 座標 $a$ がちょうど定義域の内側に入っています。この場合は、区間の中に頂点そのものが含まれているので、最小値は頂点での値になります。

$f(a) = (a-a)^2+1 = 1$

(iii) $a > 4$ のとき

頂点は定義域 $0\le x\le4$ より右側にあります。この区間の $x$ はすべて頂点の $x$ 座標 $a$ より左側にあるので、区間の中では $x$ が大きいほど頂点に近く、$y$ の値も小さくなります。したがって、区間の中で最も頂点に近い $x=4$ で最小値をとります。

$f(4) = (4-a)^2+1$

$(4-a)^2$ を展開すると $16-8a+a^2$ なので、

$f(4) = a^2-8a+16+1 = a^2-8a+17$

以上をまとめると、最小値は次のようになります。

• $a<0$ のとき、最小値は $a^2+1$($x=0$ のとき)
• $0\le a\le4$ のとき、最小値は $1$($x=a$ のとき)
• $a>4$ のとき、最小値は $a^2-8a+17$($x=4$ のとき)

(1)

グラフ $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、移動後のグラフの方程式は $y=f(x-p)+q$ になります。ここでは $f(x)=x^2-2x-1$、$p=-1$、$q=2$ です。まず $x-p$ を計算すると $x-(-1)=x+1$ なので、$f(x+1)$ を計算します。

$f(x+1) = (x+1)^2 - 2(x+1) - 1$

$(x+1)^2$ を展開します。

$(x+1)^2 = x^2+2x+1$

また

$-2(x+1) = -2x-2$

これらと $-1$ をすべて足し合わせます。

$f(x+1) = (x^2+2x+1) + (-2x-2) + (-1) = x^2 + (2x-2x) + (1-2-1) = x^2 - 2$

最後に $q=2$ を足します。

$y = f(x+1) + 2 = (x^2-2)+2 = x^2$

したがって、放物線 $C$ の方程式は

$y = x^2$

です。

(2)

$C$ と直線 $y=2x-1$ が共有する点は、両方の式を同時に満たす $(x,y)$ です。$y$ が両方とも与えられているので、右辺どうしを等号で結びます。

$x^2 = 2x-1$

右辺の $2x-1$ を左辺に移項します(符号が反転することに注意します)。

$x^2 - 2x + 1 = 0$

左辺を因数分解します。これは展開公式 $(x-1)^2 = x^2-2x+1$ とまったく同じ形をしているので、

$x^2-2x+1 = (x-1)^2$

と因数分解できます。したがって方程式は

$(x-1)^2 = 0$

これを解くと $x=1$ のみが得られます。このように、2乗の形が $0$ になることで同じ解が重なって出てくる解のことを重解と呼びます。$x$ の値がただ1つに定まったということは、共有点はちょうど1つだけということです。

対応する $y$ の値を求めます。$C$ の式 $y=x^2$ に $x=1$ を代入すると

$y = 1^2 = 1$

念のため直線の式でも確認します。$y=2x-1$ に $x=1$ を代入すると

$y = 2\times1-1 = 1$

どちらも $y=1$ となり、一致しました。

したがって、$C$ と直線の共有点の個数は $1$ 個で、その座標は $(1, 1)$ です。

なお、方程式 $x^2-2x+1=0$ の判別式を計算すると $D=(-2)^2-4\times1\times1=4-4=0$ となり、$D=0$ のときは実数解がただ1つ(重解)になるという判別式の性質とも一致しています。共有点が1個ということは、この直線は放物線 $C$に、交わらずにちょうど触れるように接している、ということを表しています。