章末問題

弧度法の定義より、中心角 $\theta$ は弧の長さ $l$ を半径 $r$ で割ったものです。

$\theta = \frac{l}{r} = \frac{2\pi}{3}$

面積は $S=\dfrac12 rl$ の公式を使います。

$S = \frac12\times3\times2\pi = 3\pi$

答え: 中心角 $\dfrac{2\pi}{3}$、面積 $3\pi$

$\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{1}{\sqrt3}$ なので、$\tan^2\theta=\dfrac13$ です。$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ に代入すると、

$1+\frac13 = \frac{1}{\cos^2\theta} \quad\Longrightarrow\quad \frac43 = \frac{1}{\cos^2\theta} \quad\Longrightarrow\quad \cos^2\theta = \frac34$

$\theta$ は第3象限なので $\cos\theta<0$ より $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}$。

$\sin\theta=\tan\theta\times\cos\theta$ に代入すると、

$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt3}\times\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) = -\frac12$

答え: $\sin\theta=-\dfrac12$、$\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}$(第3象限で両方負であることとも一致します)

周期: $\cos(b\theta)$ の周期は $\dfrac{2\pi}{b}$ です。ここでは $b=3$ なので、周期は $\dfrac{2\pi}{3}$。

振幅: $\cos$ の前の係数の絶対値なので、$|-2|=2$。

最大値・最小値: $\cos3\theta$ の値は $-1$ 以上 $1$ 以下を動きます。係数が負であることに注意すると、$\cos3\theta=-1$ のとき $-2\cos3\theta$ は最大の $2$ になるので、

$y_{\max} = -2\times(-1)+1 = 2+1 = 3$

$\cos3\theta=1$ のとき $-2\cos3\theta$ は最小の $-2$ になるので、

$y_{\min} = -2\times1+1 = -2+1 = -1$

答え: 周期 $\dfrac{2\pi}{3}$、振幅 $2$、最大値 $3$、最小値 $-1$

$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を使って $\cos\theta$ だけの式に直します。

$2(1-\cos^2\theta)-3\cos\theta=0$

展開すると、

$2-2\cos^2\theta-3\cos\theta=0$

両辺に $-1$ をかけて、$\cos^2\theta$ の係数を正にします。

$2\cos^2\theta+3\cos\theta-2=0$

$\cos\theta=x$ とおくと、$2x^2+3x-2=0$ という2次方程式になります。解の公式($x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$、$a=2,b=3,c=-2$)を使うと、

$x = \frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times2\times(-2)}}{2\times2} = \frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4} = \frac{-3\pm\sqrt{25}}{4} = \frac{-3\pm5}{4}$

よって、

$x = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac12, \qquad x = \frac{-3-5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$\cos\theta$ のとりうる値は $-1$ 以上 $1$ 以下なので、$x=-2$ は不適です。よって $\cos\theta=\dfrac12$ を解きます。

$\theta = \frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{3}$

答え: $\theta=\dfrac{\pi}{3}, \ \dfrac{5\pi}{3}$

$15°=45°-30°$ として、正接の加法定理 $\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$ を使います。$\tan45°=1$、$\tan30°=\dfrac{1}{\sqrt3}$ を代入します。

$\tan15° = \frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{1+1\times\frac{1}{\sqrt3}} = \frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}$

分母・分子に $\sqrt3$ をかけて、分数の中の分数を整理します。

$= \frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}$

分母を有理化するために、分母・分子に $\sqrt3-1$ をかけます。

$= \frac{(\sqrt3-1)(\sqrt3-1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)} = \frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}$

分子を展開します。$(\sqrt3-1)^2=3-2\sqrt3+1=4-2\sqrt3$ なので、

$= \frac{4-2\sqrt3}{2} = 2-\sqrt3$

答え: $\tan15°=2-\sqrt3$

$\alpha$ が鋭角なので $\cos\alpha>0$ です。$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ より、

$\cos^2\alpha = 1-\left(\frac23\right)^2 = 1-\frac49 = \frac59$

$\cos\alpha = \sqrt{\frac59} = \frac{\sqrt5}{3}$

$\cos2\alpha$: $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ に代入します。

$\cos2\alpha = 1-2\times\frac49 = 1-\frac89 = \frac19$

$\sin2\alpha$: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ に代入します。

$\sin2\alpha = 2\times\frac23\times\frac{\sqrt5}{3} = \frac{4\sqrt5}{9}$

答え: $\cos2\alpha=\dfrac19$、$\sin2\alpha=\dfrac{4\sqrt5}{9}$

合成の公式を使います。$a=1$、$b=\sqrt3$ より、

$r=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2, \qquad \cos\varphi=\frac12, \ \sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}$

これを満たすのは $\varphi=\dfrac{\pi}{3}$ なので、

$f(\theta) = 2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$

$\sin$ の値は $-1$ 以上 $1$ 以下なので、最大値は $2$、最小値は $-2$ です。

最大値をとるのは $\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$、つまり $\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$ のときです。

$\theta = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6}-\frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

答え: 最大値 $2$、最小値 $-2$、最大値をとるのは $\theta=\dfrac{\pi}{6}$

$t=\sin\theta+\cos\theta$ とおきます。合成すると $t=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ で、$\theta$ が $0\le\theta<2\pi$ を動くとき $t$ は

$-\sqrt2 \le t \le \sqrt2$

の範囲をすべて動きます。また、$t^2=(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta=1+\sin2\theta$ より、

$\sin2\theta = t^2-1$

これらを $y$ の式に代入します。

$y = (t^2-1)+2t = t^2+2t-1$

平方完成します。

$t^2+2t-1 = (t+1)^2-1-1 = (t+1)^2-2$

これは $t=-1$ で最小値をとる下に凸な放物線です。定義域 $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ の中に $t=-1$ が含まれるので、

$y_{\min} = (-1+1)^2-2 = -2$

最大値は定義域の端で調べます。

$t=\sqrt2: \ y=(\sqrt2+1)^2-2 = (3+2\sqrt2)-2 = 1+2\sqrt2$

$t=-\sqrt2: \ y=(-\sqrt2+1)^2-2 = (3-2\sqrt2)-2 = 1-2\sqrt2$

$1+2\sqrt2 \approx 3.83$、$1-2\sqrt2\approx-1.83$ なので、大きい方の $1+2\sqrt2$ が最大値です。

答え: 最大値 $1+2\sqrt2$、最小値 $-2$