章末問題

(1) 三角形の成立条件の確認

「三角形の成立条件」とは、3辺の長さ $a, b, c$ について、どの2辺の和も残りの1辺より大きくなっている、という条件のことです。この条件を満たさないと、3本の線分をつなげても三角形の形にならず(一直線に近くなりすぎて閉じない)、三角形は作れません。

与えられた3辺 $AB=7$, $BC=5$, $CA=9$ について、3通りの組み合わせをすべて確認します。

$AB + BC = 7 + 5 = 12 > 9 = CA$

$AB + CA = 7 + 9 = 16 > 5 = BC$

$BC + CA = 5 + 9 = 14 > 7 = AB$

3つとも「2辺の和 > 残りの1辺」が成り立っているので、この3辺で三角形を作ることができます。

(2) 辺と角の大小関係

「辺と角の大小関係」とは、三角形において

• 長い辺の向かい側(対辺)にある角は大きい
• 短い辺の向かい側(対辺)にある角は小さい

という性質のことです。まず、それぞれの角の対辺(向かい合う辺)を確認します。三角形の頂点Aの対辺は、Aを含まない辺、つまり辺BCです。同様に考えると次のようになります。

• $\angle A$ の対辺は $BC = 5$
• $\angle B$ の対辺は $CA = 9$
• $\angle C$ の対辺は $AB = 7$

対辺の長さを小さい順に並べると、

$BC(5) < AB(7) < CA(9)$

辺と角の大小関係は対応して入れ替わらない(長い辺には大きい角、短い辺には小さい角)ので、角の大小もこの順番と対応します。

$\angle A < \angle C < \angle B$

したがって、小さい順に $\angle A$, $\angle C$, $\angle B$ となります。

(1) 重心が中線を2:1に分ける性質の利用

$AG:GM = 2:1$ ということは、線分AMを3つに分けたとき、AG側が2つ分、GM側が1つ分の長さになっている、という意味です。そこで、GMの長さを $k$ とおくと、AGの長さは $2k$ と表せます。

線分ADは点Gによって2つに分けられているので、

$AG + GM = AM$

に、$AG=2k$, $GM=k$, $AM=18$ を代入します。

$2k + k = 18$

$3k = 18$

$k = 6$

したがって、

$GM = k = 6\ (\text{cm})$

$AG = 2k = 2 \times 6 = 12\ (\text{cm})$

答え:$AG = 12\ \text{cm}$, $GM = 6\ \text{cm}$

(2) 直角三角形の外心が斜辺の中点になる理由

まず、外心の定義を確認します。外心Oとは、三角形の3つの頂点A, B, Cから等しい距離にある点、つまり $OA = OB = OC$ を満たす点のことです。

ここで、斜辺ABの中点をMとし、Mを中心として半径MAの円(点A, Bを通る円)をかいたとします。このとき、中心Mから円周までの距離(半径)はどこでも等しいので、

$MA = MB$

はすでに成り立っています(Mは線分ABの中点なので、AとBまでの距離はどちらも等しく、これはMを中心とする円の半径そのものです)。

問題は、この円が本当に頂点Cも通るかどうか、すなわち $MC = MA$ が成り立つかどうかです。ここで円周角の定理の逆の考え方を使います。「直径に対する円周角は $90^\circ$ である」という性質の逆、つまり「ある角が $90^\circ$ であれば、その角の頂点は、対応する線分を直径とする円周上にある」という事実を使うと、$\angle ACB = 90^\circ$(直角三角形の条件)であることから、点Cは線分ABを直径とする円周上にある、と言えます。

線分ABを直径とする円の中心は、直径ABの中点、つまりMです。点Cがこの円周上にあるということは、中心Mから点Cまでの距離は、この円の半径、つまり $MA$(または $MB$)に等しいということです。

$MC = MA = MB$

これで $MA = MB = MC$ が示せました。つまり、点Mは3頂点A, B, Cから等しい距離にある点であり、これはまさに外心の定義そのものです。

したがって、外心OはMと一致します。すなわち、直角三角形の外心は、斜辺の中点になります。

(3) 内心の性質

内心Iは、三角形の3つの辺すべてから等しい距離にある点です。この「等しい距離」を半径とする円(内接円)が、三角形の3辺すべてに接するようになっています。

(1) チェバの定理の利用

チェバの定理とは、三角形ABCの辺BC, CA, AB上(またはその延長上)にそれぞれ点D, E, Fがあり、線分AD, BE, CFが1点で交わるとき、次の関係が成り立つ、という定理です。

$\frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} \times \frac{AF}{FB} = 1$

これは、頂点B→D→Cという向きで辺BC上の比を取り、次に頂点C→E→Aという向きで辺CA上の比を取り、最後に頂点A→F→Bという向きで辺AB上の比を取ると、3つの比の積がちょうど1になる、という性質です。

与えられた値 $BD:DC = 3:2$ より $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{3}{2}$、また $CE:EA = 1:4$ より $\dfrac{CE}{EA} = \dfrac{1}{4}$ を、この式に代入します。

$\frac{3}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{AF}{FB} = 1$

左辺の分数どうしをまず掛け算します。

$\frac{3}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3 \times 1}{2 \times 4} = \frac{3}{8}$

したがって、

$\frac{3}{8} \times \frac{AF}{FB} = 1$

両辺に $\dfrac{8}{3}$ を掛けて、$\dfrac{AF}{FB}$ だけを残す形にします。

$\frac{AF}{FB} = 1 \times \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$

したがって、

$AF:FB = 8:3$

(2) メネラウスの定理の利用

メネラウスの定理とは、三角形ABCの辺(またはその延長)が、三角形の頂点を通らない1本の直線とそれぞれ交わるとき、その3つの交点によってできる比の積が1になる、という定理です。今回は、直線が辺ABとMで、辺CAとNで、辺BCの延長とPで交わっているので、次の関係が成り立ちます。

$\frac{AM}{MB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CN}{NA} = 1$

これも、A→M→B、B→P→C、C→N→Aという向きで、それぞれの辺(または延長)上の比を取ったものです。

まず、$\dfrac{AM}{MB}$ を求めます。Mは辺ABの中点なので、AMとMBの長さは等しく、

$\frac{AM}{MB} = 1$

次に、$\dfrac{CN}{NA}$ を求めます。$AN:NC = 1:2$ ということは、AN(AからNまで)を1とすると、NC(NからCまで)は2ということです。ここで必要なのはCN(CからNまで)の長さで、これはNCと同じ長さなので、

$CN = NC,\qquad \frac{CN}{NA} = \frac{NC}{AN} = \frac{2}{1} = 2$

これらをメネラウスの定理の式に代入します。

$1 \times \frac{BP}{PC} \times 2 = 1$

$2 \times \frac{BP}{PC} = 1$

両辺を2で割ります。

$\frac{BP}{PC} = \frac{1}{2}$

したがって、

$BP:PC = 1:2$

なお、点Pは辺BCの延長上(問題文の条件どおり、線分BCの外側)にある点です。メネラウスの定理は、このように線分の延長上に交点があるときにも使うことができる便利な定理です。

(1) 円に内接する四角形の対角の性質

円に内接する四角形では、向かい合う角(対角)の和が $180^\circ$ になる、という性質があります。四角形ABCDでは、$\angle A$ と $\angle C$ が対角の関係、$\angle B$ と $\angle D$ が対角の関係になっています。

まず $\angle C$ を求めます。

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

$70^\circ + \angle C = 180^\circ$

$\angle C = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

次に $\angle D$ を求めます。

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

$95^\circ + \angle D = 180^\circ$

$\angle D = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$

答え:$\angle C = 110^\circ$, $\angle D = 85^\circ$

念のため、四角形の内角の和が $360^\circ$ になっているかも確認しておきましょう。

$70^\circ + 95^\circ + 110^\circ + 85^\circ = 360^\circ$

確かに $360^\circ$ になっているので、計算は正しそうです。

(2) 外角と対角の関係

点Eは、辺ABをBの方向へ延長した直線上の点なので、A, B, Eはこの順に一直線上に並びます。したがって、直線AE上でBを頂点とする角 $\angle ABC$ と $\angle CBE$ は、合わせて $180^\circ$(一直線の角)になります。

$\angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$

$\angle ABC = \angle B = 95^\circ$ なので、

$95^\circ + \angle CBE = 180^\circ$

$\angle CBE = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$

(1)で求めた $\angle D = 85^\circ$ と比べると、確かに一致しています。

このように、円に内接する四角形では「1つの内角の外角は、その内角と向かい合わない方の対角(内対角)と等しい」という性質が成り立ちます。これは、対角の和が $180^\circ$ になる性質と、外角(内角のとなりの一直線の角)が $180^\circ -$(内角)になる性質を組み合わせると、自然に導かれる関係です。

(1) 接線の長さの性質

円の外部の1点から、その円に引くことができる接線はちょうど2本あり、それぞれの接点までの距離(接線の長さ)は等しくなる、という性質があります。

したがって、

$PB = PA = 8\ (\text{cm})$

(理由の説明)円外の点Pと円の中心Oを結んだ線分POは、2つの接線PA, PBを対称の軸として、図形全体を左右対称に折り返す軸になっています。接線と接点でできる半径(OA, OB)はどちらも円の半径として等しく($OA = OB$)、また接線は接点における半径と垂直に交わる($\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$)という性質があるため、直角三角形OAPと直角三角形OBPは、斜辺OPが共通で、他の1辺(半径)も等しいことから合同になります(直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい場合の合同条件)。合同な図形では対応する辺の長さが等しいので、$PA = PB$ が成り立ちます。

(2) 接線と半径の垂直性、三平方の定理の利用

接線は、接点における半径と垂直に交わるという性質があります。したがって、三角形OTQ(O:中心、T:接点、Q:外部の点)は、Tを直角の頂点とする直角三角形になります。

直角三角形なので、三平方の定理(直角三角形の斜辺の長さの2乗は、他の2辺の長さの2乗の和に等しい、という定理)が使えます。斜辺はOQ(直角の頂点Tと向かい合う辺)なので、

$OQ^2 = OT^2 + QT^2$

$OQ = 13$, $OT = 5$(半径)を代入します。

$13^2 = 5^2 + QT^2$

$169 = 25 + QT^2$

両辺から25を引きます。

$QT^2 = 169 - 25 = 144$

$QT$ は長さなので正の値をとり、

$QT = \sqrt{144} = 12\ (\text{cm})$

答え:$QT = 12\ \text{cm}$

($5, 12, 13$ は三平方の定理でよく使われる数の組み合わせの1つです。覚えておくと計算がスムーズになります。)

(1) 方べきの定理の利用

方べきの定理とは、円の内部の点Pを通る2本の弦AB, CDについて、次の関係が成り立つ、という定理です。

$PA \times PB = PC \times PD$

これは、点Pによって弦が2つに分けられた長さの積が、どちらの弦を選んでも同じ値になる、という性質です。

与えられた値を代入します。

$4 \times 9 = 6 \times PD$

左辺を計算します。

$36 = 6 \times PD$

両辺を6で割ります。

$PD = \frac{36}{6} = 6$

答え:$PD = 6$

(2) 相似な三角形を使った証明

図の中に、線分ACと線分DBを新たに引いてみます。すると、三角形PACと三角形PDBという2つの三角形ができます。この2つの三角形が相似であることを示します。

1つ目の角の関係として、$\angle APC$ と $\angle DPB$ に注目します。弦ABと弦CDは、点Pで交わる2本の直線とみなせます。2本の直線が1点で交わるとき、向かい合う角(対頂角)は等しいという性質があるので、

$\angle APC = \angle DPB \quad \text{(対頂角)}$

2つ目の角の関係として、$\angle ACP$ と $\angle DBP$ に注目します。点Pは線分CD上にあるので、半直線CPは半直線CDと同じ向きです。したがって、

$\angle ACP = \angle ACD$

同様に、点Pは線分AB上にあるので、半直線BPは半直線BAと同じ向きです。したがって、

$\angle DBP = \angle DBA$

ここで円周角の定理(1つの弧に対する円周角は、その弧を見る位置によらずすべて等しい、という定理)を使います。点の並び順がA, C, B, Dの順なので、点Cと点Bは、弦ADによって分けられた2つの弧のうち、同じ側の弧(点AとDを除いた、弧AC・弧CB・弧BDをまとめて含む側の弧)の上にあります。同じ側の弧の上にある点から、共通の弦ADを見込む角は等しいので、

$\angle ACD = \angle ABD$

すなわち、

$\angle ACP = \angle ACD = \angle ABD = \angle DBP$

したがって、$\angle ACP = \angle DBP$ が示せました。

以上より、三角形PACと三角形PDBにおいて、

$\angle APC = \angle DPB, \qquad \angle ACP = \angle DBP$

の2組の角がそれぞれ等しいので、

$\triangle PAC \backsim \triangle PDB$

(2組の角がそれぞれ等しいことによる相似条件)

相似な三角形では、対応する辺の長さの比がすべて等しくなります。対応関係は $P \leftrightarrow P$, $A \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow B$ なので、

$\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$

この式の両辺に $PD \times PB$ を掛けて分母を払うと、

$PA \times PB = PC \times PD$

となり、方べきの定理の関係式が導かれました。

2つの円の半径をそれぞれ $R = 7$(円O)、$r = 3$(円$O'$)とします。2円の位置関係は、中心間の距離 $OO'$ と、$R+r$(半径の和)、$R-r$(半径の差)の大小を比べることで判定できます。まず、これらの基準値を計算しておきます。

$R + r = 7 + 3 = 10$

$R - r = 7 - 3 = 4$

判定の基準は、次の5パターンです。

• $OO' > R+r$ のとき:2円は互いに外部にあり、離れている(共通接線4本)
• $OO' = R+r$ のとき:2円は外接する、つまり外側で接する(共通接線3本)
• $R-r < OO' < R+r$ のとき:2円は異なる2点で交わる(共通接線2本)
• $OO' = R-r$ のとき:2円は内接する、つまり一方が他方の内部にあって接する(共通接線1本)
• $OO' < R-r$ のとき:一方の円が他方の円の内部に完全に含まれ、共有点を持たない(共通接線0本)

これをもとに、それぞれの場合を判定します。

(1) $OO' = 12$ の場合

$R+r = 10$ と比べると、$12 > 10$ なので、$OO' > R+r$ にあたります。

位置関係:互いに外部にあり、離れている。共通接線の本数:4本

(2) $OO' = 4$ の場合

$R-r = 4$ と比べると、$OO' = 4 = R - r$ にあたります。

位置関係:内接する(円$O'$が円Oの内部にあり、1点で接している)。共通接線の本数:1本

(3) $OO' = 10$ の場合

$R+r = 10$ と比べると、$OO' = 10 = R + r$ にあたります。

位置関係:外接する(2つの円が外側で1点だけ接している)。共通接線の本数:3本

(4) $OO' = 2$ の場合

$R-r = 4$ と比べると、$2 < 4$ なので、$OO' < R-r$ にあたります。

位置関係:円$O'$が円Oの内部に完全に含まれていて、共有点を持たない。共通接線の本数:0本

(1) 辺ABと辺DHの位置関係

辺ABは、下の面(正方形ABCD)の1辺であり、頂点Aから頂点Bへ向かう水平な方向を持つ辺です。

一方、辺DHは、頂点D(下の面)から、その真上にある頂点Hへ向かう、垂直な方向を持つ辺です。

この2つの辺について、次の2点を確認します。

• 平行ではない:辺ABの向き(水平方向)と辺DHの向き(垂直方向)はまったく異なる向きなので、平行ではありません。
• 交わらない:辺ABは頂点A, Bを通る直線上に、辺DHは頂点D, Hを通る直線上にあります。A, B, D, Hの4点はどの3点をとっても一直線上になく、辺ABと辺DHは共有する点を持ちません。

このように、平行でもなく、かつ交わりもしない2つの直線(辺)は、同じ平面上にはのっておらず、空間の中でねじれた位置関係にあります。このような位置関係を「ねじれの位置」と呼びます。

したがって、辺ABと辺DHはねじれの位置にあります。

(2) 正十二面体の辺の数と頂点の数

正十二面体は、面の数が $F=12$ で、どの面も正五角形です。正五角形には辺が5本あるので、すべての面についての辺の本数を単純に合計すると、

$12 \times 5 = 60$

しかし、多面体では、1つの辺は必ずとなり合う2つの面によって共有されています。つまり、上の60という数は、本当の辺の数をちょうど2回ずつ数えてしまった数になっています。したがって、本当の辺の数Eは、60を2で割って求めます。

$E = \frac{12 \times 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$

答え:辺の数は $E = 30$(本)

次に頂点の数を求めます。正五角形には頂点が5個あるので、すべての面についての頂点の個数を単純に合計すると、同じように

$12 \times 5 = 60$

ですが、正十二面体では、1つの頂点に必ず3つの面が集まっています。つまり、この60という数は、本当の頂点の数をちょうど3回ずつ数えてしまった数になっています。したがって、本当の頂点の数Vは、60を3で割って求めます。

$V = \frac{12 \times 5}{3} = \frac{60}{3} = 20$

答え:頂点の数は $V = 20$(個)

(3) オイラーの多面体定理の確認

オイラーの多面体定理とは、へこみのない(凸な)多面体について、頂点の数V、辺の数E、面の数Fの間に、

$V - E + F = 2$

という関係が必ず成り立つ、という定理です。

(2)で求めた $V=20$, $E=30$ と、与えられた $F=12$ を、この式に代入します。

$V - E + F = 20 - 30 + 12$

まず、左から順に計算します。

$20 - 30 = -10$

$-10 + 12 = 2$

したがって、

$V - E + F = 2$

が成り立つことが確認できました。正十二面体についても、オイラーの多面体定理が正しく成立しています。